Значението на дисперсията в статистиката. Изчисляване на групова, междугрупова и обща дисперсия (според правилото за добавяне на дисперсии)

Тази страница описва стандартен пример за намиране на отклонение, можете също да разгледате други проблеми за намирането му

Пример 1. Определяне на групова, групова средна, междугрупова и обща дисперсия

Пример 2. Намиране на дисперсията и коефициента на вариация в групираща таблица

Пример 3. Намиране на дисперсия в дискретна серия

Пример 4. Следните данни са достъпни за група от 20 задочни студенти. Необходимост от изграждане интервални серииразпределение на характеристика, изчисляване на средната стойност на характеристиката и изследване на нейната дисперсия

Нека изградим интервално групиране. Нека определим обхвата на интервала с помощта на формулата:

където X max е максималната стойност на груповата характеристика;
X min – минимална стойност на груповия признак;
n – брой интервали:

Приемаме n=5. Стъпката е: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Нека създадем интервално групиране

За по-нататъшни изчисления ще изградим спомагателна таблица:

X"i – средата на интервала. (например средата на интервала 159 – 165.6 = 162.3)

Средна стойностЩе определим височината на учениците, като използваме формулата за средноаритметично претеглено:

Нека определим дисперсията с помощта на формулата:

Формулата може да се трансформира по следния начин:

От тази формула следва, че дисперсията е равна на разликата между средната стойност на квадратите на опциите и квадрата и средната стойност.

Разлика в вариационна серия с равни интервали, използвайки метода на моментите, може да се изчисли по следния начин, като се използва второто свойство на дисперсията (разделяне на всички опции на стойността на интервала). Определяне на дисперсия, изчислено по метода на моментите, като се използва следната формула е по-малко трудоемко:

където i е стойността на интервала;
A е конвенционална нула, за която е удобно да се използва средата на интервала с най-висока честота;
m1 е квадратът на момента от първи ред;
m2 - момент от втори ред

Алтернативна вариация на признака (ако в статистическа популация дадена характеристика се промени по такъв начин, че има само две взаимно изключващи се опции, тогава такава променливост се нарича алтернативна) може да се изчисли по формулата:

Замествайки q = 1- p в тази дисперсионна формула, получаваме:

Видове дисперсии

Обща дисперсия измерва вариацията на дадена характеристика в цялата съвкупност като цяло под влиянието на всички фактори, които причиняват тази вариация. Тя е равна на средния квадрат на отклоненията на отделните стойности на характеристика x от общата средна стойност на x и може да се определи като проста дисперсия или претеглена дисперсия.

Дисперсия в рамките на групата характеризира случайна вариация, т.е. част от вариацията, която се дължи на влиянието на неотчетени фактори и не зависи от фактора-атрибут, който формира основата на групата. Такава дисперсия е равна на средния квадрат на отклоненията на индивидуалните стойности на атрибута в групата X от средното аритметично на групата и може да се изчисли като проста дисперсия или като претеглена дисперсия.

По този начин, мерки за дисперсия в рамките на групатавариация на признак в група и се определя по формулата:

където xi е средното за групата;
ni е броят на единиците в групата.

Например вътрешногруповите отклонения, които трябва да бъдат определени в задачата за изследване на влиянието на квалификацията на работниците върху нивото на производителността на труда в цеха, показват вариации в производството във всяка група, причинени от всички възможни фактори (техническо състояние на оборудването, наличие на инструменти и материали, възраст на работниците, интензивност на труда и др.), с изключение на разликите в квалификационната категория (в рамките на групата всички работници имат еднаква квалификация).

Теорията на вероятностите е специален клон на математиката, който се изучава само от студенти от висши учебни заведения. Харесвате ли изчисления и формули? Не се страхувате от перспективите да се запознаете с нормалното разпределение, ансамбълната ентропия, математическото очакване и дискретната дисперсия случайна величина? Тогава тази тема ще ви бъде много интересна. Нека се запознаем с няколко от най-важните основни понятия на този клон на науката.

Нека си припомним основите

Дори ако си спомняте най-простите концепции на теорията на вероятностите, не пренебрегвайте първите параграфи на статията. Въпросът е, че без ясно разбиране на основите, няма да можете да работите с формулите, разгледани по-долу.

И така, случва се някакво случайно събитие, някакъв експеримент. В резултат на действията, които предприемаме, можем да получим няколко резултата – някои от тях се случват по-често, други по-рядко. Вероятността за събитие е съотношението на броя на действително получените резултати от един тип към общ бройвъзможен. Само знаейки класическо определениетази концепция можете да започнете да изучавате математическо очакванеи дисперсии на непрекъснати случайни променливи.

Средно аритметично

Още в училище по време на часовете по математика сте започнали да работите със средноаритметичното. Тази концепция се използва широко в теорията на вероятностите и следователно не може да бъде пренебрегната. Основното за нас в момента е, че ще го срещнем във формулите за математическото очакване и дисперсията на случайна величина.

Имаме поредица от числа и искаме да намерим средното аритметично. Всичко, което се изисква от нас, е да сумираме всичко налично и да разделим на броя на елементите в редицата. Нека имаме числа от 1 до 9. Сумата от елементите ще бъде равна на 45 и ще разделим тази стойност на 9. Отговор: - 5.

дисперсия

От научна гледна точка дисперсията е средният квадрат на отклоненията на получените стойности на дадена характеристика от средната аритметична стойност. Означава се с една главна латинска буква D. Какво е необходимо за изчисляването му? За всеки елемент от редицата изчисляваме разликата между съществуващото число и средното аритметично и го повдигаме на квадрат. Ще има точно толкова стойности, колкото могат да бъдат резултатите за събитието, което обмисляме. След това сумираме всичко получено и разделяме на броя на елементите в последователността. Ако имаме пет възможни резултата, тогава разделете на пет.

Дисперсията също има свойства, които трябва да се запомнят, за да се използват при решаване на проблеми. Например, когато случайна променлива се увеличава с X пъти, дисперсията се увеличава с X пъти на квадрат (т.е. X*X). Той никога не е по-малък от нула и не зависи от изместването на стойностите нагоре или надолу с равни количества. Освен това за независими тестоведисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите.

Сега определено трябва да разгледаме примери за дисперсията на дискретна случайна променлива и математическото очакване.

Да кажем, че сме провели 21 експеримента и сме получили 7 различни резултата. Наблюдавахме всеки от тях съответно 1, 2, 2, 3, 4, 4 и 5 пъти. На какво ще бъде равна дисперсията?

Първо, нека изчислим средното аритметично: сборът на елементите, разбира се, е 21. Разделете го на 7, получавайки 3. Сега извадете 3 от всяко число в оригиналната последователност, повдигнете на квадрат всяка стойност и добавете резултатите заедно. Резултатът е 12. Сега всичко, което трябва да направим, е да разделим числото на броя на елементите и, изглежда, това е всичко. Но има една уловка! Нека го обсъдим.

Зависимост от броя на експериментите

Оказва се, че когато се изчислява дисперсията, знаменателят може да съдържа едно от две числа: N или N-1. Тук N е броят на извършените експерименти или броят на елементите в последователността (което по същество е едно и също нещо). От какво зависи това?

Ако броят на тестовете се измерва в стотици, тогава в знаменателя трябва да поставим N. Ако в единици, тогава N-1. Учените решиха да начертаят границата съвсем символично: днес тя минава през числото 30. Ако сме провели по-малко от 30 експеримента, тогава ще разделим сумата на N-1, а ако повече, тогава на N.

Задача

Нека се върнем към нашия пример за решаване на проблема с дисперсията и математическото очакване. Имаме междинно число 12, което трябваше да бъде разделено на N или N-1. Тъй като проведохме 21 експеримента, което е по-малко от 30, ще изберем втория вариант. Така че отговорът е: дисперсията е 12/2 = 2.

Очаквана стойност

Нека да преминем към втората концепция, която трябва да разгледаме в тази статия. Математическото очакване е резултат от събиране на всички възможни резултати, умножени по съответните вероятности. Важно е да се разбере, че получената стойност, както и резултатът от изчисляването на дисперсията, се получават само веднъж за целия проблем, без значение колко резултата се разглеждат в него.

Формулата за математическото очакване е съвсем проста: вземаме резултата, умножаваме го по неговата вероятност, добавяме същото за втория, третия резултат и т.н. Всичко, свързано с тази концепция, не е трудно за изчисляване. Например сумата от очакваните стойности е равна на очакваната стойност на сумата. Същото важи и за работата. Не всяко количество в теорията на вероятностите ви позволява да извършвате такива прости операции. Нека вземем задачата и изчислим значението на две понятия, които сме изучавали едновременно. Освен това бяхме разсеяни от теория - време е за практика.

Още един пример

Проведохме 50 опита и получихме 10 вида резултати - числа от 0 до 9 - появяващи се в различни проценти. Това са съответно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Припомнете си, че за да получите вероятности, трябва да разделите процентните стойности на 100. Така получаваме 0,02; 0,1 и т.н. Нека представим пример за решаване на задачата за дисперсията на случайна променлива и математическото очакване.

Изчисляваме средното аритметично по формулата, която помним от началното училище: 50/10 = 5.

Сега нека преобразуваме вероятностите в броя на резултатите „на парчета“, за да улесним преброяването. Получаваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. От всяка получена стойност изваждаме средноаритметичното, след което повдигаме на квадрат всеки от получените резултати. Вижте как да направите това, като използвате първия елемент като пример: 1 - 5 = (-4). Следва: (-4) * (-4) = 16. За други стойности направете тези операции сами. Ако сте направили всичко правилно, след като ги съберете, ще получите 90.

Нека продължим да изчисляваме дисперсията и очакваната стойност, като разделим 90 на N. Защо избираме N вместо N-1? Правилно, защото броят на проведените експерименти надхвърля 30. И така: 90/10 = 9. Получихме дисперсията. Ако получите различен номер, не се отчайвайте. Най-вероятно сте направили проста грешка в изчисленията. Проверете добре какво сте написали и може би всичко ще си дойде на мястото.

И накрая, запомнете формулата за математическото очакване. Няма да дадем всички изчисления, а само ще напишем отговор, който можете да проверите, след като изпълните всички необходими процедури. Очакваната стойност ще бъде 5,48. Нека само да си припомним как да извършваме операции, като използваме първите елементи като пример: 0*0.02 + 1*0.1... и т.н. Както можете да видите, ние просто умножаваме стойността на резултата по неговата вероятност.

отклонение

Друга концепция, тясно свързана с дисперсията и математическото очакване, е стандартното отклонение. Обозначава се или с латински букви sd или гръцка малка буква "сигма". Тази концепция показва колко средно стойностите се отклоняват от централната характеристика. За да намерите стойността му, трябва да изчислите Корен квадратенот дисперсия.

Ако заговорите нормална дистрибуцияи искате да видите квадратното отклонение директно върху него, това може да стане на няколко етапа. Вземете половината от изображението отляво или отдясно на режима (централна стойност), начертайте перпендикуляр на хоризонталната ос, така че площите на получените фигури да са равни. Размерът на сегмента между средата на разпределението и получената проекция върху хоризонталната ос ще представлява стандартното отклонение.

Софтуер

Както се вижда от описанията на формулите и представените примери, изчисляването на дисперсията и математическото очакване не е най-простата процедура от аритметична гледна точка. За да не губите време, има смисъл да използвате програмата, използвана във висшето образование образователни институции- нарича се "R". Той има функции, които ви позволяват да изчислявате стойности за много понятия от статистиката и теорията на вероятностите.

Например, задавате вектор от стойности. Това става по следния начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Накрая

Дисперсията и математическото очакване са тези, без които е трудно да се изчисли нещо в бъдещето. В основния курс на лекциите в университетите те се обсъждат още в първите месеци на изучаване на предмета. Именно поради неразбирането на тези прости понятия и невъзможността да ги изчислят много студенти веднага започват да изостават в програмата и по-късно получават лоши оценки в края на сесията, което ги лишава от стипендии.

Практикувайте поне една седмица, половин час на ден, решавайки задачи, подобни на представените в тази статия. След това, на всеки тест по теория на вероятностите, ще можете да се справите с примерите без странични съвети и измамни листове.

Наред с изучаването на вариациите на дадена характеристика в цялата популация като цяло, често е необходимо да се проследят количествените промени в характеристиката в групите, на които е разделена популацията, както и между групите. Това изследване на вариация се постига чрез изчисляване и анализиране на различни видове вариация.
Има общи, междугрупови и вътрешногрупови дисперсии.
Обща дисперсия σ 2измерва вариацията на даден признак в цялата популация под влиянието на всички фактори, които са причинили тази вариация.

Междугруповата вариация (δ) характеризира систематичната вариация, т.е. разлики в стойността на изучавания признак, които възникват под влиянието на факторния признак, който формира основата на групата. Изчислява се по формулата:
.

Дисперсия в рамките на групата (σ)отразява случайна вариация, т.е. част от вариацията, която възниква под въздействието на неотчетени фактори и не зависи от фактора-атрибут, който формира основата на групата. Изчислява се по формулата:
.

Средна стойност на дисперсиите в рамките на групата: .

Има закон, свързващ 3 вида дисперсия. Общата дисперсия е равна на сумата от средната стойност на вътрешногруповата и междугруповата дисперсия: .
Това съотношение се нарича правило за добавяне на отклонения.

Широко използван показател в анализа е делът на дисперсията между групите в общата дисперсия. Нарича се емпиричен коефициент на детерминация (η 2): .
Корен квадратен от емпиричния коефициент на детерминация се нарича емпирично съотношение на корелация (η):
.
Той характеризира влиянието на характеристиката, която формира основата на групата, върху вариацията на получената характеристика. Емпиричното съотношение на корелация варира от 0 до 1.
Нека демонстрираме практическата му употреба, като използваме следния пример (Таблица 1).

Пример №1. Таблица 1 - Производителност на труда на две групи работници в един от цеховете на НПО "Циклон"

Нека изчислим общите и груповите средни и дисперсии:

Изходните данни за изчисляване на средната стойност на вътрешногруповата и междугруповата вариация са представени в табл. 2.
таблица 2
Изчисление и δ 2 за две групи работници.

Работнически групи	Брой работници, хора	Средно, деца/смяна	дисперсия
Завършено техническо обучение	5	95	42,0
Тези, които не са завършили техническо обучение	5	81	231,2
Всички работници	10	88	185,6

Да изчислим показателите. Средна стойност на вариациите в рамките на групата:
.
Междугрупова дисперсия

Общо отклонение:
По този начин емпиричното съотношение на корелация: .

Наред с вариациите в количествените характеристики могат да се наблюдават и вариации в качествените характеристики. Това изследване на вариацията се постига чрез изчисляване на следните видове вариации:

Вътрешногруповата дисперсия на дела се определя по формулата

Където n i– брой единици в отделни групи.
Делът на изследваната характеристика в цялата популация, който се определя по формулата:
Трите типа дисперсии са свързани помежду си, както следва:
.

Тази връзка на дисперсиите се нарича теорема за добавяне на дисперсии на дела на признака.

Очакването и дисперсията са най-често използваните числени характеристики на случайна променлива. Те характеризират най-важните характеристики на разпределението: неговото положение и степен на разсейване. В много практически задачи пълна, изчерпателна характеристика на случайна променлива - законът за разпределение - или изобщо не може да бъде получена, или изобщо не е необходима. В тези случаи човек се ограничава до приблизително описание на случайна променлива, използвайки числови характеристики.

Очакваната стойност често се нарича просто средна стойност на случайна променлива. Дисперсията на случайна променлива е характеристика на дисперсията, разпространението на случайна променлива около нейното математическо очакване.

Очакване на дискретна случайна променлива

Нека се доближим до концепцията за математическото очакване, първо въз основа на механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека единичната маса е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн, а всяка материална точка има съответстваща маса от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да се избере една точка по абсцисната ос, характеризираща позицията на цялата система от материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, към която е абсцисата на всяка точка хазвлиза с „тегло“, равно на съответната вероятност. Получената по този начин средна стойност на случайната променлива хсе нарича неговото математическо очакване.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:

Пример 1.Организирана е печеливша лотария. Има 1000 печалби, от които 400 са 10 рубли. 300 - 20 рубли всяка. 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Каква е средната печалба за някой, който закупи един билет?

Решение. Ще намерим средните печалби, ако разделим общата сума на печалбите, която е 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубли, на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средните печалби може да бъде представен в следната форма:

От друга страна, при тези условия печелившият размер е случайна променлива, която може да приема стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба е равна на сумата от произведенията на размера на печалбите и вероятността да бъдат получени.

Пример 2.Издателят реши да издаде нова книга. Той планира да продаде книгата за 280 рубли, от които той самият ще получи 200, 50 - книжарницата и 30 - авторът. Таблицата предоставя информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.

Намерете очакваната печалба на издателя.

Решение. Случайната променлива „печалба” е равна на разликата между приходите от продажби и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а цената на публикацията е 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:

Номер	печалба хаз	Вероятност страз	хаз страз
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Обща сума:		1,00	25000

Така получаваме математическото очакване на печалбата на издателя:

.

Пример 3.Вероятност за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на снаряди, които осигуряват математическо очакване на броя на попаденията, равен на 5.

Решение. От същата формула за математическо очакване, която сме използвали досега, ние изразяваме х- консумация на черупки:

.

Пример 4.Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .

Съвет: намерете вероятността от стойности на случайна променлива по Формула на Бернули .

Свойства на математическото очакване

Нека разгледаме свойствата на математическото очакване.

Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за математическо очакване:

Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:

Имот 4.Математическото очакване на произведение от случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

Имот 5.Ако всички стойности на случайна променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число СЪС, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:

Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване

В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира достатъчно случайна променлива.

Нека случайните променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:

Значение х	Вероятност
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятност
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:

Моделите им на разпространение обаче са различни. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които се различават малко от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната работна заплата не позволява да се прецени делът на високо- и нископлатените работници. С други думи, от математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайната променлива.

Дисперсия на дискретна случайна променлива

Дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:

Стандартното отклонение на случайна променлива харитметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия се нарича:

.

Пример 5.Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хИ Y, чиито закони на разпределение са дадени в таблиците по-горе.

Решение. Математически очаквания на случайни променливи хИ Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула при д(х)=д(г)=0 получаваме:

След това стандартните отклонения на случайни променливи хИ Yгрим

.

По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малка, но случайна променлива Y- значителен. Това е следствие от разликите в разпределението им.

Пример 6.Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение за всяка алтернатива.

Решение. Нека да покажем как се изчисляват тези стойности за 3-тата алтернатива:

Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.

Всички алтернативи имат еднакви математически очаквания. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-високо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска голям риск, ще избере проект 1, тъй като има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока доходност за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голямо стандартно отклонение - проект 4.

Дисперсионни свойства

Нека представим свойствата на дисперсията.

Имот 1.Дисперсията на постоянна стойност е нула:

Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:

.

Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:

,

Където .

Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:

Пример 7.Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.

Решение. Нека означим с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:

д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,

където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .

Закон за разпределение на случайна променлива:

х	−3	7
стр	0,3	0,7

Ние изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, като използваме формулата от свойство 3 на дисперсията:

д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението

Пример 8.Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата от стойностите 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.

Пример 9.В урната има 6 бели и 4 черни топки. От урната се изтеглят 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение. Случайна стойност хможе да приема стойности 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Закон за разпределение на случайна променлива:

х	0	1	2	3
стр	1/30	3/10	1/2	1/6

Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:

М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсията на дадена случайна променлива е:

д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива

За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределена непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, чийто аргумент на функцията хазпроменя се рязко; за непрекъсната случайна променлива аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.

За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функцията на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя директно влиза в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.

Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .

Според извадковото проучване вложителите са групирани според размера на техния депозит в Сбербанк на града:

Определете:

1) обхват на вариация;

2) среден размер на депозита;

3) средно линейно отклонение;

4) дисперсия;

5) стандартно отклонение;

6) коефициент на вариация на вноските.

Решение:

Тази серия на разпределение съдържа отворени интервали. В такива серии условно се приема, че стойността на интервала на първата група е равна на стойността на интервала на следващата, а стойността на интервала на последната група е равна на стойността на интервала на предишното.

Стойността на интервала от втората група е равна на 200, следователно стойността на първата група също е равна на 200. Стойността на интервала от предпоследната група е равна на 200, което означава, че последният интервал също ще имат стойност 200.

1) Нека дефинираме диапазона на вариация като разликата между най-голямата и най-малката стойност на атрибута:

Диапазонът на вариация на размера на депозита е 1000 рубли.

2) Средният размер на вноската ще бъде определен с помощта на формулата за средноаритметично претеглено.

Нека първо определим дискретната стойност на атрибута във всеки интервал. За да направим това, използвайки простата формула за средна аритметична стойност, намираме средните точки на интервалите.

Средната стойност на първия интервал ще бъде:

второто - 500 и т.н.

Нека въведем резултатите от изчислението в таблицата:

Сума на депозита, разтривайте.	Брой вложители, е	Среда на интервала, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Обща сума	400	-	312000

Средният депозит в Сбербанк на града ще бъде 780 рубли:

3) Средното линейно отклонение е средноаритметичното на абсолютните отклонения на отделните стойности на характеристика от общата средна стойност:

Процедурата за изчисляване на средното линейно отклонение в серията на интервално разпределение е следната:

1. Среднопретеглената аритметична стойност се изчислява, както е показано в параграф 2).

2. Определят се абсолютни отклонения от средната стойност:

3. Получените отклонения се умножават по честоти:

4. Намерете сумата от претеглените отклонения, без да вземете предвид знака:

5. Сумата от претеглените отклонения се дели на сумата от честотите:

Удобно е да използвате таблицата с данни за изчисление:

Сума на депозита, разтривайте.	Брой вложители, е	Среда на интервала, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Обща сума	400	-	-	-	81280

Средното линейно отклонение на размера на депозита на клиентите на Сбербанк е 203,2 рубли.

4) Дисперсията е средноаритметичната стойност на квадратните отклонения на всяка стойност на атрибута от средната аритметична стойност.

Изчисляването на дисперсията в сериите на интервално разпределение се извършва по формулата:

Процедурата за изчисляване на дисперсията в този случай е следната:

1. Определете среднопретеглената аритметична стойност, както е показано в параграф 2).

2. Намерете отклонения от средната стойност:

3. Квадратирайте отклонението на всяка опция от средната стойност:

4. Умножете квадратите на отклоненията по теглата (честотите):

5. Обобщете получените продукти:

6. Получената сума се разделя на сумата от теглата (честотите):

Нека поставим изчисленията в таблица:

Сума на депозита, разтривайте.	Брой вложители, е	Среда на интервала, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Обща сума	400	-	-	-	23040000