Паралельні прямі, ознаки та умови паралельності прямих. Ознаки паралельності двох прямих

29. Намалюємо від руки кілька зигзагів, на кшталт даних на чер. 31. У кожному з цих зигзагів ми бачимо по 2 кути (вони занумеровані нумерами 1 і 2 у кожному зигзагу креслення 31). Кожен зигзаг складається з двох променів та відрізка, що з'єднує точки, з яких виходять промені. Напр., в останньому зигзагу маємо: 1) промінь AB, що виходить з точки A; 2) промінь CD, що виходить з точки C і 3) відрізок AC. Кути 1-ий і 2-ой прийнято називати внутрішніми навхрест-лежачими кутами по відношенню до променів, що становлять цей зигзаг. Вправи повинні привчити око до розташування таких кутів.

Побудуємо тепер зигзаг так, щоб його кути були б рівні між собою. Для цього почнемо побудову з довільного кута BDC (чер. 33, I) або ∠1; потім, закріпивши точку C, збудуємо при ній, згідно з п. 28, ∠3 (або ∠MCD) = ∠1.

Для більшої ясності відтворюємо цю побудову тут на чер. 32.
1) будуємо ◡α, приймаючи точку D за центр, довільним радіусом;
2) тим самим радіусом будуємо ◡β, приймаючи точку C за центр;
3) беремо циркулем хорду дуги α, відповідну куту 1-му - кінцями її служать точки перетину дуги α з променем DB та відрізком DC;
4) цю хорду відкладаємо на ◡β від точки перетину цієї дуги з відрізком DC, спостерігаючи, щоб кут при точці C, що відповідає цій хорді, виявився внутрішнім навхрест, що лежить з ∠1;
5) з'єднавши кінець цієї хорди з точкою C, отримаємо ∠3 = ∠1, причому ці кути – внутрішні навхрест-лежачі.

Тоді отримаємо необхідний зигзаг MCDB. Якщо промені MC і DB продовжити (CN є продовження променя CM і DA – продовження DB), то отримаємо ще другий зигзаг NCDA, внутрішні навхрест-лежачі кути якого позначені нумерами 2 і 4. Загалом, отримана фігура складається з трьох прямих MN, AB і CD, причому в останній свідомо відомо, що вона перетинає MN у точці C та AB у точці D, чому ми і будемо пряму CD називати секучою .

Розучимо отриману фігуру.

1. Ми бачимо, що ∠1 і ∠2 суміжні, тобто бачимо, що

∠1 + ∠2 = випр. кутку.

Також бачимо, що ∠3 та ∠4 суміжні, тобто.

∠3 + ∠4 = випр. кутку.

Але ми будували ∠3 = ∠1. Тому укладаємо, що обов'язково ∠4 має дорівнювати ∠2. Отже, виявилося, що й друга пара внутрішніх навхрест лежачих кутів (∠2 і ∠4) складається з рівних кутів. Ця обставина заслуговує на увагу, і ми її можемо сфотографувати словами: якщо дві прямі перетнуті січею і якщо два внутрішніх навхрест-лежачих кута рівні між собою, то й інші два всередину. накр.-леж. кута теж рівні . (Будь-яка властивість фігури, виражена словами і отримана після деяких міркувань, називається теоремою. Тут ми маємо теорему про внутрішні хрест-лежачі кути.)

2. Усю фігуру, дану на чер. 33, I, ми розчленуємо на 2 фігури: фігуру MCDA і фігуру NCDB – ми називатимемо їх «лівою» і «правою» фігурами. Для ясності уявімо ці фігури окремо (чер. 33, II). Вони є по рівному відрізку: отр. CD лівої фігури дорівнює відрізку CD правої, оскільки раніше ці відрізки збіглися. Накладемо, користуючись цією рівністю, праву фігуру на ліву (потрібно праву фігуру повернути, як на чер. 33, III, а потім накладати на ліву) так, щоб точка D правої фігури поєдналася з точкою C лівою і щоб відрізок DC правою пішов по відрізку CD лівий; в силу їхньої рівності та інші їхні кінці поєднаються. Так як потім за побудовою ∠3 = ∠1, то промінь DB правої фігури повинен піти променем CM лівої, в силу ж з'ясованої рівності ∠2 і ∠4, промінь CN правої фігури повинен піти променем DA лівої. Звідси укладаємо, що наші постаті рівні (це слово «рівні» в геометрії і означає, що одна фігура поєднується при накладенні з іншого).

3. Звертаючись знову до чер. 33, I, ми можемо запитати: чи перетинаються прямі MN та AB? Якщо припустити, що вони перетинаються і точка перетину розташована праворуч від січної CD, то, зважаючи на рівність правої і лівої фігури, ми повинні дійти висновку, що і ліворуч від січної CD має бути те саме, що і праворуч, тобто. і зліва має бути точка, якою проходять обидві прямі і MN і AB. Тоді виявилося б, що через 2 точки проходять дві прямі MN та AB, що неможливо. Отже, припущення, що AB та MN перетинаються праворуч від січної, не годиться. Зрозуміло, що також не можна припустити, що вони перетинаються ліворуч від січної. Тому приходимо до висновку, що нам удалося побудувати дві прямі AB та MN, які один з одним зовсім не перетинаються.

Дві прямі, які розташовані на одній площині і не перетинаються, називаються паралельними прямими.

Для позначення паралельності двох прямих використовують символ ||; у такий спосіб ми маємо MN || AB (MN паралельна AB). З попередньої побудови випливає:

можна побудувати паралельні прямі

паралельні прямі існують.

Ми можемо фігуру, дану на чер. 33 (I), будувати в іншому порядку: 1) побудуємо довільну пряму AB (назвемо даною); 2) поза нею побудуємо довільну точку C (її також називатимемо даною); 3) через точку C будуємо січу CD, що утворює з даною прямою AB ∠1 і ∠2; 4) при точці C будуємо ∠3 = ∠1 так, щоб ці кути виявилися внутрішніми навхрест-лежачими – отримаємо промінь CM; 5) продовжуємо промінь CM у напрямку CN - тоді отримаємо пряму MN, паралельну AB.

Звідси випливає висновок:

Через точку, дану поза цією прямою, можна побудувати пряму, паралельну даної.

Так як для побудови паралельних прямих потрібно було побудувати рівні всередину. навхрест-лежачі кути (∠3 = ∠1), то укладаємо ще, що

якщо дві прямі перетнуті січучою і якщо отримані внутрішні навхрест-лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

30. У попередньому п. ми навчилися будувати через цю точку пряму, паралельну даній. Виникає тепер питання: скільки можна побудувати через цю точку прямих, паралельних даній? Відповідь на це питання можлива лише на основі нашого уявлення про розташування паралельних прямих: якщо ми уявімо, що пряма MN (чер. 33, I), яка || AB, повернеться біля точки C у тому чи іншому напрямку, то нам ясно, що паралельність порушиться і що тоді MN де-небудь з одного боку від січної CD перетнеться з AB; можливо ця точка перетину виявиться так далеко, що на кресленні ми не зможемо її зобразити, але від цього наша впевненість у тому, що пряма AB і повернена пряма MN перетинаються, не зменшиться. Міркуваннями, що ґрунтуються на попередньому, підкріпити цю впевненість виявляється неможливим. Тому приймають лише на підставі нашого уявлення, що

Через точку, дану поза прямою, можна побудувати лише одну пряму, паралельну даній.

Вперше це становище запроваджено науку знаменитим грецьким геометром Евклидом, який дав повний систематичний курс геометрії (за 300 років до Р. Х.). Ця властивість озаглавлена ​​їм ім'ям «XI аксіома», яка виражена трохи інакше, ніж тут, але її основна думка та сама. Іноді це властивість називають ім'ям «V постулат Евкліда». Різниця між цими двома назвами наступна: аксіомами називають такі властивості, які очевидні відразу, і думка про те, що їх не можна шляхом міркувань вивести з інших властивостей, вже встановлених, з'являється при ретельному розгляді системи геометрії; постулатами називають припущення, які необхідно прийняти, щоб йти далі, але справедливість яких не така очевидна. Втім, різниця між цими двома поняттями така незначна, що їх часто змішують.

У тих словах, якими ми тут висловили постулат Евкліда про паралельні, полягають дві думки: 1) через точку можна побудувати пряму, паралельну даній, – ця думка аж ніяк не відноситься до змісту постулату: у п. 29 ми з'ясували можливість такої побудови; 2) тільки одну паралельну, - ця думка, що виражається словами «тільки одну», і становить зміст постулату.

31. З постулату про паралельні зараз випливає кілька нових властивостей, які тому можна назвати наслідками з постулату про паралельні.

I. Нехай збудовано: 1) AB || CD (ч. 34); 2) пряма MN, що перетинає AB у точці E. Виникає питання: чи перетинаються MN та CD?
Відповідь зрозуміла: не можна припустити, що MN не перетинає CD, - тоді через точку E виявилися б побудованими дві прямих AB і MN, паралельних CD, що суперечить постулату про паралельні.

ІІ. Нехай збудовано: 1) EF || AB та 2) CD || AB (чер. 35) (для цієї побудови зручно скористатися тільки однією сікною CEK і побудувати ∠2 = ∠1 та ∠3 = ∠1). Виникає питання: чи перетинаються чи ні прямі CD та EF?

Припустимо, що CD та EF перетинаються в точці M; тоді виявилося б, що через M побудовано дві прямі MDC і MFE, паралельні порізно прямий AB, що суперечить постулату про паралельні. Звідси дійшли висновку, що CD || EF. Можливий, звичайно, випадок, що ці точки C і E розташовані так, що побудовані через них прямі, паралельні AB, зливаються в одну. Отже, маємо:

Якщо через кожну з двох даних точок побудувати пряму, паралельну даній, то побудовані прямі або паралельні між собою або зливаються в одну пряму.

На підставі цього випадок збігу двох прямих часто розглядають як окремий випадок паралельності.

ІІІ. Нехай збудовано: 1) AB || CD за допомогою січної MN (чер. 36) і 2) січна EF, причому утворилися при точках перетину E і F всередину. накр.-лежачі кути, напр., ∠1 і ∠4. Постає питання: чи рівні між собою ці кути?

Розглянемо точку E. Ми знаємо (п. 29), що через цю точку можна побудувати пряму, паралельну CD, для чого можна скористатися секучою EF і побудувати при точці E кут, рівний ∠1 так, щоб він був внутрішнім хрестом, що лежить з ∠ 1; з іншого боку, на підставі постулату (п. 30), ми знаємо, що можна побудувати лише одну паралельну, а вона вже збудована – AB || CD, причому промінь EB утворює з січею EF ∠4, внутрішній навхрест-лежачий з ∠1. Тому ми укладаємо, що цей ∠4 необхідно має дорівнювати ∠1. Отже,

Якщо дві паралельні перетнуті січею, то внутрішні навхрест-лежачі кути рівні.

32. Уявімо, що січна EF (чер. 36) продовжена в обидві сторони; тоді отримаємо фігуру, дану на чер. 37, причому при точках E та F ми маємо 8 кутів (вони занумеровані нумерами 1-8 вже в іншому порядку, порівняно з чер. 35). Ми тепер бачимо, що 1) ∠1 = ∠4 (як вертикальні) = ∠5 (як внутр. навхрест-лежачі) = ∠8 (як вертикальні); 2) ∠2 = ∠3 (як вертикальні) = ∠6 (як внутр. навхрест-лежачі) = ∠7 (як вертикальні).

Таким чином, всі 8 кутів розбиваються на 2 групи: 1) ∠1, ∠4, ∠5 та ∠8 і 2) ∠2, ∠3, ∠6 та ∠7. Кути однієї групи всі між собою рівні, але будь-який кут з однієї групи взагалі не дорівнює куту іншої групи. Але ми бачимо, що, напр.,

∠5 + ∠6 = випр. кутку.

Оскільки кожен із решти кутів першої групи дорівнює ∠5-му і кожен із решти кутів другої групи дорівнює ∠6-му, то укладаємо, що сума будь-якого кута першої групи з будь-яким кутом другої групи дорівнює випрямленому куту. Отже:

Якщо дві паралельні перетнуті січею, то отримані 8 кутів поділяються на дві групи по 4 кути в кожній: кути кожної групи рівні між собою і сума двох кутів, з яких один кут належить одній групі, а інший кут – іншій групі, що дорівнює випрямленому куту.

Звернімо увагу на окремі пари кутів, причому в пари з'єднуватимемо кути, один з яких при вершині E, а інший при вершині F.

Ми вже знаємо, що ∠4 = ∠5 і ∠3 = ∠6, тобто, що внутрішні навхрест-лежачі кути рівні.

З першої групи ми маємо ще ∠1 = ∠8. Ці кути (∠1 і ∠8) розташовані по різні сторони січної та їх внутрішні області розташовані поза смугою, що виділяється прямими AB та CD. Тому їх називають зовнішніми навхрест-лежачими кутами. У 2-й групі є пара таких кутів: ∠2 і ∠7, причому ∠2 = ∠7. Отже, при паралельних прямих зовнішні навхрест-лежачі кути рівні.

З першої групи маємо ∠1 = ∠5. Ці 2 кути розташовані по одну сторону січної та один з них зовнішній (∠1), а інший внутрішній (∠5). Такі два кути називаються відповідними. Ми маємо ще пари відповідних кутів: ∠4 = ∠8 (обидва у I групі), ∠2 = ∠6 (обидва у II групі), ∠3 = ∠7 (обидва у II групі). Отже, відповідні кути при паралельних рівні між собою.

∠3 належить до ІІ групи, а ∠5 – до I; тому ∠3 + ∠5 = випрямлення. кутку. Обидва ці кути розташовані по одну сторону від січної та обидва вони внутрішні. Тому їх називають внутрішніми односторонніми кутами. Є ще пара таких самих кутів: ∠4 і ∠6; для них (оскільки вони належать до різних груп) також маємо ∠4 + ∠6 = випрямлення. кутку. Отже, внутрішні односторонні кути при паралельних складають у сумі випрямлений кут.

Пари: 1) ∠1 та ∠7 і 2) ∠2 та ∠8 називаються зовнішніми односторонніми кутамиі для них маємо (бо кути кожної пари належать до різних груп):

∠1 + ∠7 = випр. кутку; ∠2 + ∠8 = випр. кутку,

тобто. зовнішні односторонні кути при паралельних складають у сумі випрямлення. кут.

Нарешті, пари: 1) ∠1 та ∠6, 2) ∠2 та ∠5, 3) ∠3 та ∠8 та 4) ∠4 та ∠7 особливої ​​назви не мають, але кожна пара складається з двох кутів, один з яких зовнішній, а інший внутрішній, причому вони розташовані по різні боки січучої. Оскільки кути кожної пари належать різним групам, маємо:

∠1 + ∠6 = випр. кутку; ∠2 + ∠5 = випр. кутку; ∠3 + ∠8 = випр. кутку; ∠4 + ∠7 = випр. кутку,

тобто. при паралельних парах різнобічних кутів, з яких один внутрішній, а інший зовнішній, у сумі складають випрямлений кут.

33. Не важко тепер бачити, що паралельні прямі можна будувати за допомогою інших пар кутів, які не внутрішніх навхрест-лежать, як у п. 29. Справді, побудуємо при точці E (чер. 37) ∠1 = ∠5 так, щоб ці кути були відповідними. Тоді знайдемо, що ∠1 = ∠4 і, отже, ∠4 = ∠5, тобто, що AB || CD. Також можна користуватися і зовнішніми накр.-леж. кутами (якщо ∠1 = ∠8, то і ∠4 = ∠5, тобто, що AB || CD. Також можна користуватися і зовнішніми накр.-леж. кутами (∠1 = ∠8, то і ∠4 = ∠5 і прямі паралельні) Можна також будувати внутрішні односторонні кути так, щоб їх сума дорівнювала випрямленому куту (якщо ∠3 + ∠5 = випрям., то ∠4 = ∠5, оскільки ∠3 + ∠4 = випрям. , – слід., AB ||CD), можна також користуватися і зовнішніми односторонніми кутами.

Якщо дві прямі перетнуті січею і якщо внутрішні навхрест-лежачі кути рівні, або якщо зовнішні навхрест-лежачі кути рівні, або якщо відповідні кути рівні, або якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює випрямленому, або якщо сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює двох різнобічних кутів, з яких один внутрішній, а інший зовнішній, дорівнює випрямленому, то прямі паралельні.

Для побудови двох паралельних прямих зазвичай (і це найзручніше) користуються або внутрішніми навхрест-лежачими кутами або відповідними.

Додавання. Постулат про паралельні прямі (п. 30) може бути виражений у такій формі:

Якщо сума однієї пари внутрішніх односторонніх кутів менша за випрямлений кут, а отже сума іншої пари більша за випрямлений, то ці прямі перетинаються з того боку від сіючої, де сума менша за випрямлений.

Якщо, наприклад, ∠1 + ∠2< выпр. угла (чер. 38), то, следовательно, ∠3 + ∠4 >випрямленого кута, оскільки ∠1 + ∠3 = випрямлення. куті та ∠2 + ∠4 = випрям. кутку. Наші прямі перетинаються з того боку сіючої, де розташовані ∠1 та ∠2. У цій формі і був дано постулат про паралельних Евклідом.

34. Вправи. 1. Побудувати через цю точку (див. різні положення, дані на чер. 39) пряму, паралельну даній.

На 1-му кресленні побудова виконана: з A будуємо секучу AB; з точки B, як центру, будуємо дугу і таким самим радіусом (зручніше цей радіус брати невеликим) описуємо дугу, приймаючи A за центр. Потім при A будуємо кут, що дорівнює ∠B, щоб вийшли 2 внутр. накр.-леж. кута, і т.д.

2. Побудувати пару паралельних прямих у будь-якому положенні.

3. Дані 2 прямих, що перетинаються; побудувати через цю точку дві нових прямих, паралельних відповідно до двох даних.

4. Побудувати дві пари паралельних прямих у будь-якому положенні, але щоб усі 4 прямі були між собою паралельні.

35. Побудовано дві пари паралельних прямих: 1) з || b та 2) d || a (чер. 40) (кожна пряма названа однією малою літерою). При точці перетину прямих a і b вийшли кути, розглянемо один із них, саме ∠1, і порівняємо його з кутами 2, 3, 4 і 5-м, отриманими при перетині прямих c і d.

Продовжимо пряму c до перетину з прямою a - при точці перетину отримаємо ще кути, один з яких позначений нумером 6. Тоді маємо: 1) ∠2 = ∠6, як відповідні при паралельних a і d і січній c; 2) ∠6 = ∠1, як відповідні при паралельних c та b та січній a. Отже, ∠2 = ∠1. Оскільки ∠4 = ∠2, то і ∠4 = ∠1. Оскільки ∠3 + ∠2 = випр. кутку. Помітивши, що сторони ∠1 паралельні сторонам будь-якого з кутів 2, 3, 4 та 5, знайдемо:

Якщо сторони двох кутів попарно паралельні, ці кути або рівні між собою чи сумі становлять випрямлений кут.

Виникає питання: чи не можна встановити ознаку, користуючись якою можна було б розділити ці два випадки. Для цієї мети будемо дивитися на кут, як на результат обертання променя і початковим положенням вважатимемо таке розташування променів, коли вони в ∠1 і в одному з кутів 2, 3, 4 або 5 розташовуються паралельно, наприклад, прямим b і c . Тоді стрілки, дані на кресленні, вкажуть напрямок, у якому треба обертати промінь, щоб отримати бажаний кут. Зручно порівнювати цей напрямок із рухом годинникової стрілки. Бачимо, що для отримання ∠1 треба промінь AX (чер. 41) обертати проти годинникової стрілки, для ∠2 треба промінь BY (BY || AX) обертати проти годинникової стрілки, для отримання ∠3 треба промінь BZ обертати за годинниковою стрілкою та для ∠5 – промінь BY за годинниковою стрілкою. Звідси можна вивести, що кути з паралельними сторонами рівні, якщо напрями обертання однакові, і що такі кути доповнюють один одного до випрямленого кута, якщо напрями їх обертання протилежні.

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системи координат на площині і в тривимірному просторі.

Навігація на сторінці.

Паралельні прямі основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Визначення.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .

Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль щодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.

Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямихє достатня умова паралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.

Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що таке «необхідна умова паралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.

Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.

Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.

Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завдань вирішується під час уроків геометрії у неповній середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні розв'язки характерних завдань.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а і - нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як , або , або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду , а пряму b - то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду . Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти прямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a та пряму b у ​​прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду і , або параметричні рівняння прямої на площині виду і відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Чи паралельні прямі і?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння прямої: . Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t, для якого правильна рівність ( ). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

приклад.

Чи є прямі та паралельними?

Рішення.

Наведемо канонічний рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

Сторінка 3 з 3

Запитання 21.Що таке кут трикутника при цій вершині?
Відповідь.Кутом трикутника ABC при вершині A називається кут, утворений напівпрямими AB та AC. Також визначаються кути трикутника при вершинах B і C.

Запитання 22.Які відрізки називаються рівними?
Відповідь.Відрізки називаються рівними, якщо їх довжини дорівнюють.
Питання 23. Які кути називаються рівними?
Відповідь.Кути називаються рівними, якщо їх градусні заходи дорівнюють.
Запитання 24.Які трикутники називаються рівними?
Відповідь.Трикутники називаються рівними, якщо у них відповідні сторони рівні та відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін.
Запитання 25.Як на малюнку позначаються у рівних трикутників відповідні сторони та кути?
Відповідь.На кресленні рівні відрізки зазвичай відзначають однією, двома або трьома рисочками, а рівні кути - однією, двома або трьома дужками.

Запитання 26.Поясніть на малюнку 23 існування трикутника, що дорівнює даному.
Відповідь.

Нехай маємо трикутник ABC і промінь a (рис. 23, а). Перемістимо трикутник ABC так, щоб його вершина A поєдналася з початком променя a, вершина B потрапила на промінь a, а вершина C опинилася в заданій напівплощині щодо променя a та його продовження. Вершини нашого трикутника в цьому новому положенні позначимо A1, B1, C1 (рис. 23, б).
Трикутник A 1 B 1 C 1 дорівнює трикутнику ABC.
Запитання 27.Які прямі називаються паралельними? Який знак використовується для позначення паралельності прямих?
Відповідь.Дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Для позначення паралельності прямих використовується знак

Запитання 28.Сформулюйте основну властивість паралельних прямих.
Відповідь.Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.
Запитання 29.Наведіть приклад теореми.
Відповідь.Якщо пряма, що не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін.

Ознаки паралельності двох прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:

навхрест лежачі кути рівні, або

відповідні кути рівні, або

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то

прямі паралельні(Рис.1).

Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.

Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).

Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.

Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.

Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).

Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.

З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.

Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.

Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.

Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.

1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).

2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).

Справедлива та наступна теорема.

Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:

навхрест лежачі кути рівні;

відповідні кути рівні;

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).

Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.

Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, ​​не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.

приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.

Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.

У цій статті ми розповімо про паралельні прямі, дамо визначення, позначимо ознаки та умови паралельності. Для наочності теоретичного матеріалу будемо використовувати ілюстрації та вирішення типових прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Паралельні прямі на площині- Дві прямі на площині, що не мають спільних точок.

Визначення 2

Паралельні прямі у тривимірному просторі- Дві прямі в тривимірному просторі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Необхідно звернути увагу, що для визначення паралельних прямих у просторі вкрай важливе уточнення «що лежать в одній площині»: дві прямі в тривимірному просторі, що не мають спільних точок і не лежать в одній площині, є не паралельними, а схрещуються.

Щоб позначити паралельність прямих, загальноприйнято використовувати символ . Тобто якщо задані прямі a і b паралельні, коротко записати цю умову потрібно так: a ‖ b . Словесно паралельність прямих позначається так: прямі a і b паралельні, або пряма а паралельна прямий b , або пряма b паралельна прямий а.

Сформулюємо твердження, що грає важливу роль у темі, що вивчається.

Аксіома

Через точку, що не належить заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна заданій. Це твердження неможливо довести з урахуванням відомих аксіом планіметрії.

У випадку, коли йдеться про простір, вірна теорема:

Теорема 1

Через будь-яку точку простору, що не належить заданій прямій, проходитиме єдина пряма, паралельна заданій.

Цю теорему легко довести з урахуванням вищевказаної аксіоми (програма геометрії 10 - 11 класів).

Ознака паралельності є достатньою умовою, при виконанні якої гарантовано паралельність прямих. Інакше висловлюючись, виконання цієї умови достатньо, щоб підтвердити факт паралельності.

У тому числі, мають місце необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у просторі. Пояснимо: необхідне – означає умова, виконання якого необхідне паралельності прямих; якщо його не виконано – прямі є паралельними.

Резюмуючи, необхідну та достатню умову паралельності прямих – така умова, дотримання якої необхідно і достатньо, щоб прямі були паралельні між собою. З одного боку, це ознака паралельності, з іншого – властивість, властива паралельним прямим.

Перед тим, як дати точне формулювання необхідної та достатньої умови, нагадаємо ще кілька додаткових понять.

Визначення 3

Поточна пряма- Пряма, що перетинає кожну з двох заданих неспівпадаючих прямих.

Перетинаючи дві прямі, січна утворює вісім нерозгорнутих кутів. Щоб сформулювати необхідну та достатню умову, будемо використовувати такі типи кутів, як навхрест лежачі, відповідні та односторонні. Продемонструємо їх на ілюстрації:

Теорема 2

Якщо дві прямі на площині перетинаються січною, то для паралельності заданих прямих необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівними, або були рівними відповідні кути, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Проілюструємо графічно необхідну та достатню умову паралельності прямих на площині:

Доказ зазначених умов є у програмі геометрії за 7 - 9 класи.

Загалом, ці умови застосовні і для тривимірного простору при тому, що дві прямі та січна належать одній площині.

Вкажемо ще кілька теорем, які часто використовуються при доказі факту паралельності прямих.

Теорема 3

На площині дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Ця ознака доводиться на основі аксіоми паралельності, зазначеної вище.

Теорема 4

У тривимірному просторі дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Доказ ознаки вивчається у програмі геометрії 10 класу.

Дамо ілюстрацію зазначених теорем:

Вкажемо ще одну пару теорем, що є доказом паралельності прямих.

Теорема 5

На площині дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

Сформулюємо аналогічне для тривимірного простору.

Теорема 6

У тривимірному просторі дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

Проілюструємо:

Усі зазначені вище теореми, ознаки та умови дозволяють зручно довести паралельність прямих методами геометрії. Тобто, щоб навести доказ паралельності прямих, можна показати, що рівні відповідні кути, або продемонструвати факт, що дві задані прямі перпендикулярні до третьої і т.д. Але зазначимо, що найчастіше для доказу паралельності прямих на площині чи тривимірному просторі зручніше використовувати метод координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат

У заданій прямокутній системі координат пряма визначається рівнянням прямої на площині одного з можливих видів. Так і прямий лінії, заданої у прямокутній системі координат у тривимірному просторі, відповідають деякі рівняння прямої у просторі.

Запишемо необхідні та достатні умови паралельності прямих у прямокутній системі координат залежно від типу рівняння, що описує задані прямі.

Почнемо з умови паралельності прямих на площині. Воно базується на визначеннях напрямного вектора прямої та нормального вектора прямої на площині.

Теорема 7

Щоб на площині дві несхожі прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори заданих прямих були колінеарними, або колінеарними нормальні вектори заданих прямих, або напрямний вектор однієї прямий був перпендикулярний нормальному вектору іншої прямої.

Стає очевидно, що умова паралельності прямих на площині базується на умові колінеарності векторів або перпендикулярності умов двох векторів. Тобто, якщо a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) є напрямними векторами прямих a і b;

і n b → = (n b x , n b y) є нормальними векторами прямих a і b , то зазначену вище необхідну та достатню умову запишемо так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y або n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y або a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , де t – деяке дійсне число. Координати напрямних чи прямих векторів визначаються за заданими рівняннями прямих. Розглянемо основні приклади.

1. Пряма a у прямокутній системі координат визначається загальним рівнянням прямої: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; пряма b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (А1, В1) і (А2, В2) відповідно. Умову паралельності запишемо так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

1. Пряма a описується рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом виду y = k 1 x + b 1 . Пряма b - y = k 2 x + b 2 . Тоді нормальні вектори заданих прямих матимуть координати (k 1 -1) і (k 2 -1) відповідно, а умову паралельності запишемо так:

k 1 = t · k 2 - 1 = t · (- 1) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким чином, якщо паралельні прямі на площині прямокутної системі координат задаються рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти заданих прямих будуть рівні. І вірне зворотне твердження: якщо неспадні прямі на площині прямокутної системі координат визначаються рівняннями прямої з однаковими кутовими коефіцієнтами, ці задані прямі паралельні.

1. Прямі a і b у прямокутній системі координат задані канонічними рівняннями прямої на площині: x - x 1 a x = y - y 1 a y і x - x 2 b x = y - y 2 b y або параметричними рівняннями прямої на площині: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y та x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тоді напрямні вектори заданих прямих будуть: a x , a y і b x , b y відповідно, а умову паралельності запишемо так:

a x = t · b x a y = t · b y

Розберемо приклади.

Приклад 1

Задано дві прямі: 2 x - 3 y + 1 = 0 та x 1 2 + y 5 = 1 . Необхідно визначити, чи вони паралельні.

Рішення

Запишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Ми бачимо, що n a → = (2 , - 3) - нормальний вектор прямий 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2 , 1 5 - нормальний вектор прямий x 1 2 + y 5 = 1 .

Отримані вектори є колінеарними, т.к. не існує такого значення t, при якому буде вірна рівність:

2 = t · 2 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Таким чином, не виконується необхідна і достатня умова паралельності прямих на площині, а отже, задані прямі не паралельні.

Відповідь:задані прямі не паралельні.

Приклад 2

Задані прямі y = 2 x + 1 та x 1 = y - 4 2 . Чи паралельні вони?

Рішення

Перетворимо канонічне рівняння прямої x 1 = y - 4 2 до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Ми, що рівняння прямих y = 2 x + 1 і y = 2 x + 4 є однаковими (якщо було інакше, прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже задані прямі є паралельними.

Спробуємо розв'язати задачу інакше. Спочатку перевіримо, чи збігаються задані прямі. Використовуємо будь-яку точку прямої y = 2 x + 1 наприклад, (0 , 1) , координати цієї точки не відповідають рівнянню прямої x 1 = y - 4 2 , а значить прямі не збігаються.

Наступним кроком визначимо виконання умови паралельності заданих прямих.

Нормальний вектор прямий y = 2 x + 1 це вектор n a → = (2 , - 1) , а напрямний вектор другої заданої прямої є b → = (1 , 2) . Скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 = 0

Таким чином, вектори перпендикулярні: це демонструє нам виконання необхідної та достатньої умови паралельності вихідних прямих. Тобто. задані прямі паралельні.

Відповідь:дані прямі паралельні.

Для доказу паралельності прямих у прямокутній системі координат тривимірного простору використовується така необхідна та достатня умова.

Теорема 8

Щоб дві несхожі прямі в тривимірному просторі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб вектори напрямних векторів цих прямих були колінеарними.

Тобто. при заданих рівняннях прямих у тривимірному просторі у відповідь питання: паралельні вони чи ні, перебуває з допомогою визначення координат напрямних векторів заданих прямих, і навіть перевірки умови їх коллинеарности. Інакше кажучи, якщо a → = (a x , a y , a z) і b → = (b x , b y , b z) є напрямними векторами прямих a і b відповідно, то для того щоб вони були паралельні, необхідно існування такого дійсного числа t , щоб виконувалася рівність:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Приклад 3

Задані прямі x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 і x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необхідно довести паралельність цих прямих.

Рішення

Умовами завдання задані канонічні рівняння однієї прямої у просторі та параметричні рівняння іншої прямої у просторі. Напрямні вектори a → і b → заданих прямих мають координати: (1 , 0 , - 3) та (2 , 0 , - 6) .

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Отже, необхідну та достатню умову паралельності прямих у просторі виконано.

Відповідь:паралельність заданих прямих доведено.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter