Математическое выражение закона кулона. Закон кулона простыми словами

Зако́н Куло́на - это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами.

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

точечность зарядов - то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров - впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;

их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца , действующая на другой движущийся заряд;

взаимодействие в вакууме .

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; - величина зарядов; - радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами - ); - коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые - притягиваются).

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока ампер , а единица заряда - кулон - производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c 2 ·10 −7 Гн /м = 8,9875517873681764·10 9 Н ·м 2 /Кл 2 (или Ф −1 ·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

где ≈ 8,854187817·10 −12 Ф/м - электрическая постоянная .

На данном уроке, тема которого: «Закон Кулона», мы поговорим о самом законе Кулона, о том, что такое точечные заряды, а для закрепления материала решим несколько задач на данную тему.

Тема урока: «Закон Кулона». Закон Кулона количественно описывает взаимодействие точечных неподвижных зарядов - то есть зарядов, которые находятся в статичном положении друг относительно друга. Такое взаимодействие называется электростатическим или электрическим и является частью электромагнитного взаимодействия.

Электромагнитное взаимодействие

Конечно, если заряды находятся в движении - они тоже взаимодействуют. Такое взаимодействие называется магнитным и описывается в разделе физики, который носит название «Магнетизм».

Стоит понимать, что «электростатика» и «магнетизм» - это физические модели, и вместе они описывают взаимодействие как подвижных, так и неподвижных друг относительно друга зарядов. И всё вместе это называется электромагнитным взаимодействием.

Электромагнитное взаимодействие - это одно из четырех фундаментальных взаимодействий, существующих в природе.

Электрический заряд

Что же такое электрический заряд? Определения в учебниках и Интернете говорят нам, что заряд - это скалярная величина, характеризующая интенсивность электромагнитного взаимодействия тел. То есть электромагнитное взаимодействие - это взаимодействие зарядов, а заряд - это величина, характеризующая электромагнитное взаимодействие. Звучит запутанно - два понятия определяются друг через друга. Разберемся!

Существование электромагнитного взаимодействия - это природный факт, что-то вроде аксиомы в математике. Люди его заметили и научились описывать. Для этого они ввели удобные величины, которые это явление характеризуют (в том числе электрический заряд) и построили математические модели (формулы, законы и т. д.), которые это взаимодействие описывают.

Закон Кулона

Выглядит закон Кулона следующим образом:

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, и является силой притяжения, если заряды разноименные, и силой отталкивания, если заряды одноименные.

Коэффициент k в законе Кулона численно равен:

Аналогия с гравитационным взаимодействием

Закон всемирного тяготения гласит: все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Такое взаимодействие называется гравитационным. Например, сила тяжести, с которой мы притягиваемся к Земле, - это частный случай именно гравитационного взаимодействия. Ведь и мы, и Земля обладаем массой. Сила гравитационного взаимодействия прямо пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Коэффициент γ называется гравитационной постоянной.

Численно он равен: .

Как видите, вид выражений, количественно описывающих гравитационное и электростатическое взаимодействия, очень похож.

В числителях обоих выражений - произведение единиц, характеризующих данный тип взаимодействия. Для гравитационного - это массы, для электромагнитного - заряды. В знаменателях обоих выражений - квадрат расстояния между объектами взаимодействия.

Обратная зависимость от квадрата расстояния часто встречается во многих физических законах. Это позволяет говорить об общей закономерности, связывающей величину эффекта с квадратом расстояния между объектами взаимодействия.

Эта пропорциональность справедлива для гравитационного, электрического, магнитного взаимодействий, силы звука, света, радиации и т. д.

Объясняется это тем, что площадь поверхности сферы распространения эффекта увеличивается пропорционально квадрату радиуса (см. рис. 1).

Рис. 1. Увеличение площади поверхности сфер

Это будет выглядеть естественным, если вспомнить, что площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса:

Физически это означает, что сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в 1 Кл, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, будет равна 9·10 9 Н (см. рис. 2).

Рис. 2. Сила взаимодействия двух точечных зарядов в 1 Кл

Казалось бы, эта сила огромна. Но стоит понимать, что ее порядок связан с еще одной характеристикой - величиной заряда 1 Кл. На практике заряженные тела, с которыми мы взаимодействуем в повседневной жизни, имеют заряд порядка микро- или даже нанокулонов.

Коэффициент и электрическая постоянная

Иногда вместо коэффициента используется другая постоянная, характеризующая электростатическое взаимодействие, которая так и называется - «электрическая постоянная». Обозначается она . С коэффициентом она связана следующим образом:

Выполнив несложные математические преобразования можно ее выразить и вычислить:

Обе константы, конечно, присутствуют в таблицах задачников. Закон Кулона тогда примет такой вид:

Обратим внимание на несколько тонких моментов.

Важно понимать, что речь идет именно о взаимодействии. То есть если мы возьмем два заряда, то каждый из них будет действовать на другой с силой, по модулю равной. Эти силы будут направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей точечные заряды.

Заряды будут отталкиваться, если они имеют один знак (оба положительные или оба отрицательные (см. рис. 3)), и притягиваться, если имеют разные знаки (один отрицательный, другой положительный (см. рис. 4)).

Рис. 3. Взаимодействие одноименных зарядов

Рис. 4. Взаимодействие разноименных зарядов

Точечный заряд

В формулировке закона Кулона присутствует термин «точечный заряд». Что это означает? Вспомним механику. Исследуя, например, движение поезда между городами, мы пренебрегали его размерами. Ведь размеры поезда в сотни или тысячи раз меньше расстояния между городами (см. рис. 5). В такой задаче мы считали поезд «материальной точкой» - телом, размерами которого в рамках решения некоторой задачи мы можем пренебречь.

Рис. 5. Размерами поезда в данном случае пренебрегаем

Так вот, точечные заряды - это материальные точки, обладающие зарядом. На практике, используя закон Кулона, мы пренебрегаем размерами заряженных тел в сравнении с расстояниями между ними. Если же размеры заряженных тел сопоставимы с расстоянием между ними, то из-за перераспределения заряда внутри тел электростатическое взаимодействие будет носить более сложный характер.

В вершинах правильного шестиугольника со стороной помещены друг за другом заряды . Найдите силу, действующую на заряд , расположенный в центре шестиугольника (см. рис. 6).

Рис. 6. Рисунок к условию задачи 1

Порассуждаем: заряд, находящийся в центре шестиугольника, будет взаимодействовать с каждым из зарядов, находящихся в вершинах шестиугольника. В зависимости от знаков это будет сила притяжения или сила отталкивания. С зарядами 1, 2 и 3, которые являются положительными, заряд, находящийся в центре, будет испытывать электростатическое отталкивание (см. рис. 7).

Рис. 7. Электростатическое отталкивание

А с зарядами 4, 5 и 6 (отрицательными) заряд в центре будет иметь электростатическое притяжение (см. рис. 8).

Рис. 8. Электростатическое притяжение

Суммарная сила, действующая на заряд, находящийся в центре шестиугольника, будет равнодействующей сил ,,,, и, модуль каждой из которых можно найти с помощью закона Кулона. Приступим к решению задачи.

Решение

Силы взаимодействия заряда, который находится в центре, с каждым из зарядов в вершинах зависит от модулей самих зарядов и расстояния между ними. Расстояние от вершин к центру правильного шестиугольника одинаковое, модули у взаимодействующих зарядов в нашем случае тоже равны (см. рис. 9).

Рис. 9. Расстояния от вершин до центра в правильном шестиугольнике равны

А значит, все силы взаимодействия заряда в центре шестиугольника с зарядами в вершинах будут равны по модулю. Воспользовавшись законом Кулона, мы можем найти этот модуль:

Расстояние от центра до вершины в правильном шестиугольнике равно длине стороны правильного шестиугольника, которая нам известна из условия, поэтому:

Теперь нам необходимо найти векторную сумму - для этого выберем систему координат: ось вдоль силы , а ось перпендикулярно (см. рис. 10).

Рис. 10. Выбор осей

Найдем суммарные проекции на оси - модуль каждой из них обозначим просто .

Так как силы и сонаправлены с осью , а находятся под углом к оси (см. рис. 11).

Проделаем такие же действия для оси :

Знак «-» - потому что силы и направлены в противоположную сторону оси . То есть проекция суммарной силы на ось , которую мы выбрали, будет равна 0. Получается, что суммарная сила будет действовать только вдоль оси , остается подставить сюда только выражения для модуля сил взаимодействия и и получить ответ. Суммарная сила будет равна:

Задача решена.

Еще один тонкий момент заключается вот в чем: в законе Кулона сказано, что заряды находятся в вакууме (см. рис. 12).

Рис. 12. Взаимодействие зарядов в вакууме

Это действительно важное замечание. Потому что в среде, отличной от вакуума, сила электростатического взаимодействия будет ослабляться (см. рис. 13).

Рис. 13. Взаимодействие зарядов в среде, отличной от вакуума

Чтобы учесть этот фактор, в модель электростатики была введена специальная величина, которая позволяет сделать «поправку на среду». Называется она диэлектрической проницаемостью среды. Обозначается, как и электрическая постоянная, греческой буквой «эпсилон», но уже без индекса.

Физический смысл этой величины заключается в следующем.

Сила электростатического взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в среде, отличной от вакуума, будет в ε раз меньше, чем сила взаимодействия таких же зарядов на таком же расстоянии в вакууме.

Таким образом, в среде, отличной от вакуума, сила электростатического взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов будет равна:

Значения диэлектрической проницаемости различных веществ давно найдены и собраны в специальных таблицах (см. рис. 14).

Рис. 14. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ

Мы можем свободно использовать табличные значения диэлектрической проницаемости необходимых нам веществ при решении задач.

Важно понимать, что при решении задач сила электростатического взаимодействия рассматривается и описывается в уравнениях динамики как обычная сила. Решим задачу.

Два одинаковых заряженных шарика подвешены в среде с диэлектрической проницаемостью на нитях одинаковой длины , закрепленных в одной точке. Определите модуль заряда шариков, если нити находятся под прямым углом друг к другу (см. рис. 15). Размеры шариков пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Массы шариков равны .

Рис. 15. Рисунок к условию задачи 2

Порассуждаем: на каждый из шариков будут действовать три силы - сила тяжести ; сила электростатического взаимодействия и сила натяжения нити (см. рис. 16).

Рис. 16. Силы, действующие на шарики

По условию шарики одинаковые, то есть их заряды равны как по модулю, так и по знаку, а значит, сила электростатического взаимодействия в данном случае будет силой отталкивания (на рис. 16 силы электростатического взаимодействия направлены в разные стороны). Так как система находится в равновесии, будем использовать первый закон Ньютона:

Так как в условии сказано, что шарики подвешены в среде с диэлектрической проницаемостью , а размеры шариков пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними, то в соответствии с законом Кулона сила, с которой будут отталкиваться шарики, будет равна:

Решение

Распишем первый закон Ньютона в проекциях на оси координат. Ось направим горизонтально, а ось вертикально (см. рис. 17).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Урок 213. Электрические заряды и их взаимодействие. Закон Кулона

✪ 8 кл - 106. Закон Кулона

✪ Закон Кулона

✪ физика ЗАКОН КУЛОНА решение задач

✪ Урок 215. Задачи на закон Кулона - 1

Субтитры

Формулировки

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

Точечность зарядов, то есть расстояние между заряженными телами должно быть много больше их размеров. Впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
Их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца , действующая на другой движущийся заряд;
Расположение зарядов в вакууме .

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

F → 12 = k ⋅ q 1 ⋅ q 2 r 12 2 ⋅ r → 12 r 12 , {\displaystyle {\vec {F}}_{12}=k\cdot {\frac {q_{1}\cdot q_{2}}{r_{12}^{2}}}\cdot {\frac {{\vec {r}}_{12}}{r_{12}}},}

где F → 12 {\displaystyle {\vec {F}}_{12}} - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q 1 , q 2 {\displaystyle q_{1},q_{2}} - величина зарядов; r → 12 {\displaystyle {\vec {r}}_{12}} - радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами - r 12 {\displaystyle r_{12}} ); k {\displaystyle k} - коэффициент пропорциональности.

Коэффициент k

k = 1 ε . {\displaystyle k={\frac {1}{\varepsilon }}.} k = 1 4 π ε ε 0 . {\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}.}

Закон Кулона в квантовой механике

Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики

История

Впервые исследовать экспериментально закон взаимодействия электрически заряженных тел предложил Г. В. Рихман в 1752-1753 гг. Он намеревался использовать для этого сконструированный им электрометр-«указатель». Осуществлению этого плана помешала трагическая гибель Рихмана.

Примерно за 11 лет до Кулона, в 1771 г., закон взаимодействия зарядов был экспериментально открыт Г. Кавендишем , однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д. К. Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г.

Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы . Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.

Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла

Степень точности закона Кулона

Закон Кулона - экспериментально установленный факт. Его справедливость неоднократно подтверждалась всё более точными экспериментами. Одним из направлений таких экспериментов является проверка того, отличается ли показатель степени r в законе от 2. Для поиска этого отличия используется тот факт, что если степень точно равна двум, то поле внутри полости в проводнике отсутствует, какова бы ни была форма полости или проводника .

Такие опыты впервые провел Кавендиш и повторил Максвелл в усовершенствованном виде, получив для максимального отличия показателя в степени от двух величину 1 21600 {\displaystyle {\frac {1}{21600}}}

Эксперименты, проведённые в 1971 г. в США Э. Р. Уильямсом, Д. Е. Фоллером и Г. А. Хиллом, показали, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до (3 , 1 ± 2 , 7) × 10 − 16 {\displaystyle (3,1\pm 2,7)\times 10^{-16}} .

Для проверки точности закона Кулона на внутриатомных расстояниях У. Ю. Лэмбом и Р. Резерфордом в 1947 г. были использованы измерения относительного расположения уровней энергии водорода. Было установлено, что и на расстояниях порядка атомных 10 −8 см, показатель степени в законе Кулона отличается от 2 не более чем на 10 −9 .

Коэффициент k {\displaystyle k} в законе Кулона остается постоянным с точностью до 15⋅10 −6 .

Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике

На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона , λ e = ℏ m e c {\displaystyle \lambda _{e}={\tfrac {\hbar }{m_{e}c}}} ≈3.86⋅10 −13 м , где m e {\displaystyle m_{e}} - масса электрона , ℏ {\displaystyle \hbar } - постоянная Планка , c {\displaystyle c} - скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон -позитронных (а также мюон -антимюонных и таон -антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка e − 2 r / λ e {\displaystyle e^{-2r/\lambda _{e}}} в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона.

Φ (r) = Q r ⋅ (1 + α 4 π e − 2 r / λ e (r / λ e) 3 / 2) , {\displaystyle \Phi (r)={\frac {Q}{r}}\cdot \left(1+{\frac {\alpha }{4{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-2r/\lambda _{e}}}{(r/\lambda _{e})^{3/2}}}\right),}

где λ e {\displaystyle \lambda _{e}} - комптоновская длина волны электрона, α = e 2 ℏ c {\displaystyle \alpha ={\tfrac {e^{2}}{\hbar c}}} - постоянная тонкой структуры и r ≫ λ e {\displaystyle r\gg \lambda _{e}} .

На расстояниях порядка λ W = ℏ m w c {\displaystyle \lambda _{W}={\tfrac {\hbar }{m_{w}c}}} ~ 10 −18 м, где m w {\displaystyle m_{w}} - масса W-бозона , в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка m e c 2 e λ e {\displaystyle {\tfrac {m_{e}c^{2}}{e\lambda _{e}}}} ~10 18 В/м или m e c e λ e {\displaystyle {\tfrac {m_{e}c}{e\lambda _{e}}}} ~10 9 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд , а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро- но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально .

Закон Кулона и поляризация вакуума

Закон Кулона и сверхтяжелые ядра

Значение закона Кулона в истории науки

Закон Кулона является первым открытым количественным и сформулированным на математическом языке фундаментальным законом для электромагнитных явлений. С открытия закона Кулона началась современная наука об электромагнетизме .

См. также

Ссылки

Закон Кулона (видеурок, программа 10 класса)

Примечания

Сивухин Д. В. Общий курс физики. - М. : Физматлит ; Изд-во МФТИ , 2004. - Т. III. Электричество. - С. 17. - 656 с. - ISBN 5-9221-0227-3 .
Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т . Т. 2 Теория поля. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 536 с. -

В результате долгих наблюдений учеными было установлено, что разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные наоборот – отталкиваются. Это значит, что между телами возникают силы взаимодействия. Французский физик Ш. Кулон опытным путем исследовал закономерности взаимодействия металлических шаров и установил, что сила взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами будет прямопропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерений физических величин, которые входят в формулу, а также и от среды, в которой находятся электрические заряды q 1 и q 2 . r – расстояние между ними.

Отсюда можем сделать вывод, что закон Кулона будет справедлив только точечных зарядов, то есть для таких тел, размерами которых вполне можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними.

В векторной форме закон Кулона будет иметь вид:

Где q 1 и q 2 заряды, а r – радиус-вектор их соединяющий; r = |r|.

Силы, которые действуют на заряды, называют центральными. Они направлены по прямой, соединяющей эти заряды, причем сила, действующая со стороны заряда q 2 на заряд q 1 , равна силе, действующей со стороны заряда q 1 на заряд q 2 , и противоположна ей по знаку.

Для измерения электрических величин могут использоваться две системы счисления – система СИ (основная) и иногда могут использовать систему СГС.

В системе СИ одной из главных электрических величин является единица силы тока – ампер (А), то единица электрического заряда будет ее производной (выражается через единицу силы тока). Единицей определения заряда в СИ является кулон. 1 кулон (Кл) – это количество «электричества», проходящего через поперечное сечение проводника за 1 с при токе в 1 А , то есть 1 Кл = 1 А·с.

Коэффициент k в формуле 1а) в СИ принимается равным:

И закон Кулона можно будет записать в так называемой «рационализированной» форме:

Многие уравнения, описывающие магнитные и электрические явления, содержат множитель 4π. Однако, если данный множитель ввести в знаменатель закона Кулона, то он исчезнет из большинства формул магнетизма и электричества, которые очень часто применяют в практических расчетах. Такую форму записи уравнения называют рационализированной.

Величина ε 0 в данной формуле – электрическая постоянная.

Основными единицами системы СГС являются механические единицы СГС (грамм, секунда, сантиметр). Новые основные единицы дополнительно к вышеперечисленным трем в системе СГС не вводятся. Коэффициент k в формуле (1) принимается равным единице и безразмерным. Соответственно закон Кулона в не рационализированной форме будет иметь вид:

В системе СГС силу измеряют в динах: 1 дин = 1 г·см/с 2 , а расстояние в сантиметрах. Предположим, что q = q 1 = q 2 , тогда из формулы (4) получим:

Если r = 1см, а F = 1 дин, то из этой формулы следует, что в системе СГС за единицу заряда принимают точечный заряд, который (в вакууме) действует на равный ему заряд, удаленный от него на расстояние 1 см, с силой в 1 дин. Такая единица заряда называется абсолютной электростатической единицей количества электричества (заряда) и обозначается СГС q . Ее размерность:

Для вычисления величины ε 0 , сравним выражения для закона Кулона, записанные в системе СИ и СГС. Два точечных заряда по 1 Кл каждый, которые находятся на расстоянии 1 м друг от друга, будут взаимодействовать с силой (согласно формуле 3):

В СГС данная сила будет равна:

Сила взаимодействия между двумя заряженными частицами зависит от среды, в которой они находятся. Чтобы характеризовать электрические свойства различных, сред было введено понятие относительной диэлектрической проницательности ε.

Значение ε это различная величина для разных веществ – для сегнетоэлектриков ее значение лежит в пределах 200 – 100 000, для кристаллических веществ от 4 до 3000, для стекла от 3 до 20, для полярных жидкостей от 3 до 81, для неполярных жидкостей от 1,8 до 2,3; для газов от 1,0002 до 1,006.

Также от температуры окружающей среды зависит и диэлектрическая проницаемость (относительная).

Если учесть диэлектрическую проницаемость среды, в которую помещены заряды, в СИ закон Кулона примет вид:

Диэлектрическая проницаемость ε – величина безразмерная и она не зависит от выбора единиц измерения и для вакуума считается равной ε = 1. Тогда для вакуума закон Кулона примет вид:

Поделив выражение (6) на (5) получим:

Соответственно относительная диэлектрическая проницаемость ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия между точечными зарядами в какой-то среде, которые находятся на расстоянии r друг относительно друга меньше, чем в вакууме, при том же расстоянии.

Для раздела электричества и магнетизма систему СГС иногда называют системой Гаусса. До появления системы СГС действовали системы СГСЭ (СГС электрическая) для измерения электрических величин и СГСМ (СГС магнитная) для измерения магнитных величин. В первой равной единице принималась электрическая постоянная ε 0 , а второй магнитная постоянная μ 0 .

В системе СГС формулы электростатики совпадают соответствующими формулами СГСЭ, а формулы магнетизма, при условии, что они содержат только магнитные величины – с соответствующими формулами в СГСМ.

Но если в уравнении одновременно будет содержаться и магнитные, и электрические величины, то данное уравнение, записанное в системе Гаусса, будет отличаться от этого же уравнения, но записанного в системе СГСМ или СГСЭ множителем 1/с или 1/с 2 . Величина с равна скорости света (с = 3·10 10 см/с) называется электродинамической постоянной.

Закон Кулона в системе СГС будет иметь вид:

Пример

На двух абсолютно идентичных каплях масла недостает по одному электрону. Силу ньютоновского притяжения уравновешивает сила кулоновского отталкивания. Нужно определить радиусы капель, если расстояния между ними значительно превышает их линейные размеры.

Решение

Поскольку расстояние между каплями r значительно больше их линейных размеров, то капли можно принять за точечные заряды, и тогда сила кулоновского отталкивания будет равна:

Где е – положительный заряд капли масла, равный заряду электрона.

Силу ньютоновского притяжения можно выразить формулой:

Где m – масса капли, а γ – гравитационная постоянная. Согласно условию задачи F к = F н, поэтому:

Масса капли выражена через произведение плотности ρ на объем V, то есть m = ρV, а объем капли радиуса R равен V = (4/3)πR 3 , откуда получаем:

В данной формуле постоянные π, ε 0 , γ известны; ε = 1; также известен и заряд электрона е = 1,6·10 -19 Кл и плотность масла ρ = 780 кг/м 3 (справочные данные). Подставив числовые значения в формулу получим результат: R = 0,363·10 -7 м.

Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами.

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
взаимодействие в вакууме.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; — величина зарядов; — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — ); — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).

Коэффициент k

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c2·10-7 Гн/м = 8,9875517873681764·109 Н·м2/Кл2 (или Ф−1·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

где ≈ 8,854187817·10−12 Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется относительная диэлектрическая проницаемость среды ε.

Закон Кулона в квантовой механике

В квантовой механике закон Кулона формулируется не при помощи понятия силы, как в классической механике, а при помощи понятия потенциальной энергии кулоновского взаимодействия. В случае, когда рассматриваемая в квантовой механике система содержит электрически заряженные частицы, к оператору Гамильтона системы добавляются слагаемые, выражающие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, так, как она вычисляется в классической механике.

Так, оператор Гамильтона атома с зарядом ядра Z имеет вид:

j}\frac{e^2}{r_{ij}}" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/0/8/d081b99fac096b0e0c5b4290a9573794.png">.

Здесь m — масса электрона, е — его заряд, — абсолютная величина радиус-вектора j -го электрона, . Первое слагаемое выражает кинетическую энергию электронов, второе слагаемое — потенциальную энергию кулоновского взаимодействия электронов с ядром и третье слагаемое — потенциальную кулоновскую энергию взаимного отталкивания электронов. Суммирование в первом и втором слагаемом ведется по всем N электронам. В третьем слагаемом суммирование идёт по всем парам электронов, причём каждая пара встречается однократно.

Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики

Согласно квантовой электродинамике, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц осуществляется путём обмена виртуальными фотонами между частицами. Принцип неопределённости для времени и энергии допускает существование виртуальных фотонов на время между моментами их испускания и поглощения. Чем меньше расстояние между заряженными частицами, тем меньшее время нужно виртуальным фотонам для преодоления этого расстояния и следовательно, тем большая энергия виртуальных фотонов допускается принципом неопределенности. При малых расстояниях между зарядами принцип неопределённости допускает обмен как длинноволновыми, так и коротковолновыми фотонами, а при больших расстояниях в обмене участвуют только длинноволновые фотоны. Таким образом, с помощью квантовой электродинамики можно вывести закон Кулона.

История

Впервые исследовать экспериментально закон взаимодействия электрически заряженных тел предложил Г. В. Рихман в 1752—1753 гг. Он намеревался использовать для этого сконструированный им электрометр-«указатель». Осуществлению этого плана помешала трагическая гибель Рихмана.

В 1759 г. профессор физики Санкт-Петербургской академии наук Ф. Эпинус, занявший кафедру Рихмана после его гибели, впервые предположил, что заряды должны взаимодействовать обратно пропорционально квадрату расстояния. В 1760 г. появилось краткое сообщениео том, что Д. Бернулли в Базеле установил квадратичный закон с помощью сконструированного им электрометра. В 1767 г. Пристли в своей «Истории электричества» отметил, что опыт Франклина, обнаружившего отсутствие электрического поля внутри заряженного металлического шара, может означать, что «электрическое притяжение следует точно такому же закону, как и тяготение, то есть квадрату расстояния» . Шотландский физик Джон Робисон утверждал (1822), что в 1769 г. обнаружил, что шары с одинаковым электрическим зарядом отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, и таким образом предвосхитил открытие закона Кулона (1785).

Примерно за 11 лет до Кулона, в 1771 г., закон взаимодействия зарядов был экспериментально открыт Г. Кавендишем, однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д. К. Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г.

Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы. Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.

Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики и . То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей.

Cтепень точности закона Кулона

Закон Кулона — экспериментально установленный факт. Его справедливость неоднократно подтверждалась всё более точными экспериментами. Одним из направлений таких экспериментов является проверка того, отличается ли показатель степени r в законе от 2. Для поиска этого отличия используется тот факт, что если степень точно равна двум, то поле внутри полости в проводнике отсутствует, какова бы ни была форма полости или проводника.

Эксперименты, проведённые в 1971 г. в США Э. Р. Уильямсом, Д. Е. Фоллером и Г. А. Хиллом, показали, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до .

Для проверки точности закона Кулона на внутриатомных расстояниях У. Ю. Лэмбом и Р. Резерфордом в 1947 г. были использованы измерения относительного расположения уровней энергии водорода. Было установлено, что и на расстояниях порядка атомных 10−8 см, показатель степени в законе Кулона отличается от 2 не более чем на 10−9.

Коэффициент в законе Кулона остается постоянным с точностью до 15·10−6.

Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике

На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона, ≈3.86·10−13 м, где — масса электрона, — постоянная Планка, — скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона. Например, выражение для потенциала точечного заряда в системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка принимает вид:

где — комптоновская длина волны электрона, — постоянная тонкой структуры и . На расстояниях порядка ~ 10−18 м, где — масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка ~1018 В/м или ~109 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро- но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально.

Закон Кулона и поляризация вакуума

Явление поляризации вакуума в квантовой электродинамике заключается в образовании виртуальных электронно-позитронных пар. Облако электронно-позитронных пар экранирует электрический заряд электрона. Экранировка растет с ростом расстояния от электрона, в результате эффективный электрический заряд электрона является убывающей функцией расстояния . Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом , можно описать зависимостью вида . Эффективный заряд зависит от расстояния по логарифмическому закону:

— т. н. постоянная тонкой структуры ≈7.3·10−3;

— т. н. классический радиус электрона ≈2.8·10−13 см.

Эффект Юлинга

Явление отклонения электростатического потенциала точечных зарядов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлинга, который впервые вычислил отклонения от закона Кулона для атома водорода. Эффект Юлинга даёт поправку к лэмбовскому сдвигу 27 мггц.

Закон Кулона и сверхтяжелые ядра

В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжелых ядер с зарядом 170" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/d/7/0d7b5476a5437d2a99326cf04b131458.png"> осуществляется перестройка вакуума, аналогичная обычному фазовому переходу. Это приводит к поправкам к закону Кулона.

Значение закона Кулона в истории науки

Закон Кулона является первым открытым количественным и сформулированным на математическом языке законом для электромагнитных явлений. С открытия закона Кулона началась современная наука об электромагнетизме.