Прямая и обратная пропорциональности

Если t - время движение пешехода (в часах), s - пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t. Так как каждому значению t соответствует единственное значение s, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у=kх, где k - неравное нулю действительное число.

Название функции у = k х связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными . В нашем случае = k (k≠0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = k х является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k=2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = k х и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = 2х, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).

3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения; при k < 0 - убывает на всей области определения.

4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х 1 , у 1), (х 2 , у 2) - пары соответственных значений переменных х и у, причем х 2 ≠0 то .

Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у=kх, и тогда у 1 = kх 1 , у 2 = kх 2 . Так как при х 2 ≠0 и k≠0, то у 2 ≠0. Поэтому и значит .

Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того количество сделанных деталей и время работы- величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность - k, то получим, что = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24 (ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности к, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t - время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v∙t = 20 или v = .

Так как каждому значению t (t ≠ 0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v = задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k - неравное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в у = есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k(к ≠0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в л: банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х-у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k=12.

Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1.Областью определения функции у = и областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1 -й и 3-й четвертях и функция у = является убывающей на всей области определения х (рис. 8).

Рис. 8 Рис.9

При к < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).

4. Если функция f - обратная пропорциональность и (х 1 , у 1), (х 2 , у 2) - пары соответственных значений переменных х и у, то .

Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = ,и тогда . Так как х 1 ≠0, х 2 ≠0, х 3 ≠0, то

Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ - k, то получим, что ху = k или у = , т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности к, он равен 60, а затем, зная, что у = , нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х≤5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?

Решение. Катя купила у = 2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х обозначает количество карандашей и х≤5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, графиком функции у = 2х с областью определения {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество точек, изображенных на рисунке 10. Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.

Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.

Такие разные пропорциональности

Пропорциональностью называют две величины, которые взаимно зависимы друг от друга.

Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.

Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки. Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).

Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.

Функция и ее график

Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x . В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.

Эта функция обладает следующими свойствами:

1. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D (y ): (-∞; 0) U (0; +∞) .
2. Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
4. Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
5. Непериодическая.
6. Ее график не пересекает оси координат.
7. Не имеет нулей.
8. Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:

Задачи на обратную пропорциональность

Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.

Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?

Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.

Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V 2 , которая по условию выше в 2 раза: V 2 = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t 2 , которое требуется от нас по условию задачи: t 2 = 360/120 = 3 ч.

Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.

Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:

↓ 60 км/ч – 6 ч

↓120 км/ч – х ч

Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.

Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?

Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:

↓ 6 рабочих – 4 ч

↓ 3 рабочих – х ч

Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.

Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?

Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.

Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ х л/мин – 75 мин

А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.

В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?

Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:

↓ 42 визитки/ч – 8 ч

↓ 48 визитки/ч – х ч

Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.

Заключение

Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.

Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.

Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

I. Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.

Примеры.

1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.

2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.

3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )

II. Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?

Решение.

Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:

12: 9=8: х;

х=9· 8: 12;

х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.

Решение задачи можно было оформить и так:

Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.

(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).

Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.

Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?

Решение.

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.

Задача 3. Из трубы поступает вода в бассейн. За 2 часа она заполняет 1/5 бассейна. Какая часть бассейна заполняется водой за 5 часов ?

Решение.

Отвечаем на вопрос задачи: за 5 часов наполнится 1/х часть бассейна. (Весь бассейн принимается за одну целую).

Выполнил: Чепкасов Родион

учащийся 6 «Б» класса

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул

Руководитель: Булыкина О.Г.

учитель математики

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул

Введение. 1

Отношения и пропорции. 3

Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 4

Применение прямой и обратной пропорциональной 6

зависимости при решении различных задач.

Заключение. 11

Литература. 12

Введение .

Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.

Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура писал: "Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению". Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона по знает ученый".

Пропорциями пользовались при решении разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач и теперь легко и быстро решаются при помощи пропорций. Пропорции и пропорциональность применялись и применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами разных частей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения искусств. Пропорциональность в таких случаях является условием правильного и красивого построения и изображения

В своей работе я пытался рассмотреть применение прямой и обратной пропорциональной зависимостей в различных областях окружающей жизни, проследить связь с учебными предметами через задачи.

Отношения и пропорции .

Частное двух чисел называется отношением этих чисел .

Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Задача.

В магазин привезли 2,4 т груш и 3,6 т яблок. Какую часть привезённых фруктов составляют груши?

Решение . Найдём сколько всего привезли фруктов: 2,4+3,6=6(т). Чтобы найти какую часть привезённых фруктов составляют груши, составим отношение 2,4:6=. Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах: = 0,4 = 40 %.

Взаимно обратными называют числа , произведения которых равно 1. Поэтому отношения называют обратным отношению .

Рассмотрим два равных отношения: 4,5:3 и 6:4. Поставим между ними знак равенства и получим пропорцию: 4,5:3=6:4.

Пропорция – это равенство двух отношений: a : b =c :d или = , где a и d – крайние члены пропорции , c и b – средние члены (все члены пропорции отличны от нуля).

Основное свойство пропорции :

в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Применив переместительное свойство умножения, получим, что в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены. Получившиеся пропорции также будут верными.

Используя основное свойство пропорции, можно находить её неизвестный член, если все остальные члены известны.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и разделить на известный крайний член. x : b = c : d , x =

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены и разделить на известный средний член. a : b =x : d , x =.

Прямая и обратные пропорциональные зависимости.

Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно - длина стороны квадратазависит от его площади.

Две величины называют пропорциональными, если при увеличении

(уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пример прямой пропорциональной зависимости .

На заправочной станции 2 л бензина весят 1,6 кг. Сколько будут весить 5 л бензина?

Решение:

Вес керосина пропорционален его объему.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2:5=1,6:х,

х= 5*1,6 х =4

Ответ: 4 кг.

Здесь отношение веса к объему остается неизменным.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

П ример обратной пропорциональной зависимости.

Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдём ширину второго прямоугольника.

Решение:

1 прямоугольник 3,6 м 2,4 м

2 прямоугольник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х = 3,6*2,4 = 1,8 м

Ответ: 1,8 м.

Как видим, задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.

Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Задача № 1

В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотечном фонде?

Решение:

Всего учебников - ? - 100%

Математики - 210 -15%

15 % 210 уч.

Х = 100* 210 = 1400 учебников

100% х уч. 15

Ответ: 1400 учебников.

Задача № 2

Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время велосипедист проедит 125 км с той же скоростью?

Решение:

3 ч – 75 км

Ч – 125 км

Время и расстояние являются прямо пропорциональными величинами, поэтому

3: х = 75: 125,

х=
,

х=5.

Ответ: за 5 ч.

Задача № 3

8 одинаковых труб заполняют бассейн за 25 минут. За сколько минут заполнят бассейн 10 таких труб?

Решение:

8 труб – 25 минут

10 труб - ? минут

Количество труб обратно пропорционально времени, поэтому

8: 10 = х: 25,

х =

х = 20

Ответ: за 20 минут.

Задача № 4

Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 15 дней. Сколько рабочих сможет выполнить задание за 10 дней, работая с той же производительностью?

Решение:

8 рабочих – 15 дней

Рабочих - 10 дней

Количество рабочих обратно пропорционально количеству дней, поэтому

х: 8 = 15: 10,

х=
,

х= 12.

Ответ: 12 рабочих.

Задача № 5

Из 5,6 кг помидоров получают 2 л соуса. Сколько литров соуса можно получить из 54 кг помидоров?

Решение:

5,6 кг – 2 л

54 кг - ? л

Количество килограммов помидоров прямо пропорционально количеству получаемого соуса, поэтому

5,6: 54 = 2: х,

х =
,

х = 19 .

Ответ: 19 л.

Задача № 6

Для отопления здания школы заготовлено угля на 180 дней при норме расхода

0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если его расходовать ежедневно по 0,5 т?

Решение:

Кол-во дней

Норма расхода

Количество дней обратно пропорционально норме расхода угля, поэтому

180: х = 0,5: 0,6,

х = 180*0,6:0,5,

х = 216.

Ответ: на 216 дней.

Задача № 7

В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

Решение:

Кол-во частей

Масса

Железо

73,5

Примеси

Количество частей прямо пропорционально массе, поэтому

7: 73,5 = 3: х.

х = 73,5 * 3: 7,

х = 31,5.

Ответ: 31,5 т

Задача № 8

Автомобиль проехал 500 км, истратив 35 л бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 420 км?

Решение:

Расстояние, км

Бензин, л

Расстояние прямо пропорционально расходованию бензина, поэтому

500: 35 = 420: х,

х = 35*420:500,

х = 29,4.

Ответ: 29,4 л

Задача № 9

За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа?

Решение:

Количество карасей не зависит от времени. Эти величины не являются ни прямо пропорциональными, ни обратно пропорциональными.

Ответ: ответа не существует.

Задача № 10

Горнорудному предприятию требуется закупить на определённую сумму денег 5 новых машин по цене 12 тыс.рублей за одну. Сколько таких машин сможет купить предприятие, если цена за одну машину станет 15 тыс.рублей?

Решение:

Кол-во машин, шт.

Цена, тыс.руб.

Количество машин обратно пропорционально стоимости, поэтому

5: х = 15: 12,

х= 5*12:15,

х=4.

Ответ: 4 машины.

Задача № 11

В городе N на площади P находится магазин, хозяин которого настолько строг, что за опоздание вычитает из заработной платы 70 рублей за 1 опоздание в день. В одном отделе работают две девушки Юля и Наташа. Их заработная плата зависит от числа рабочих дней. Юля за 20 дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но она опаздывала 3 дня подряд. Сколько рублей получит Наташа?

Решение:

Рабочие дни

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наташа

Зарплата прямо пропорционально количеству рабочих дней, поэтому

20: 21 = 4100: х,

х= 4305.

4305 руб. должна была получить Наташа.

4305 – 3 * 70 = 4095 (руб.)

Ответ: Наташа получит 4095 руб.

Задача № 12

Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1: 250000.

Решение:

Обозначим расстояние между городами на местности через х (в сантиметрах) и найдём отношение длины отрезка на карте к расстоянию на местности, которое будет равно масштабу карты: 6: х = 1: 250000,

х = 6*250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Ответ: 15 км.

Задача № 13

В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Какова концентрация соли в данном растворе?

Решение:

Масса, г

Концентрация, %

Раствор

4000

Соль

4000: 80 = 100: х,

х =
,

х = 2.

Ответ: концентрация соли составляет 2 %.

Задача № 14

Банк даёт кредит под 10% годовых. Вы получили кредит 50 000 рублей. Какую сумму Вы должны вернуть банку через год?

Решение:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х = 100: 10,

х= 50000*10:100,

х=5000.

5000 руб. составляет 10%.

50 000 + 5000=55 000 (руб.)

Ответ: через год банку вернут 55 000 руб.

Заключение.

Как видим из приведённых примеров, прямая и обратная пропорциональные зависимости применимы в различных областях жизни:

Экономике,

Торговле,

На производстве и промышленности,

Школьной жизни,

Кулинарии,

Строительстве и архитектуре.

Спорте,

Животноводстве,

Топографии,

Физики,

Химии и т.д.

В русском языке также встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимости:

Как аукнется, так и откликнется.

Чем выше пень, тем выше тень.

Чем больше народа, тем меньше кислорода.

И готово, да бестолково.

Математика – одна из древнейших наук, возникла она на основе потребностей и нужд человечества. Пройдя историю становления еще с Древней Греции, она до сих пор остается актуальной и необходимой в повседневной жизни любого человека. Понятие о прямой и обратной пропорциональной зависимости известны еще с древних времен, поскольку именно законы пропорции двигали архитекторами при какой-либо постройке или создании какой-либо скульптуры.

Знания о пропорциях широко используются во всех сферах жизни и деятельности человека – без них не обойтись при написании картин (пейзажей, натюрмортов, портретов и прочее), также имеют широкое распространение среди архитекторов и инженеров, – , в общем, тяжело себе представить создание хоть чего-нибудь без использования знаний о пропорциях и их соотношении.

Литература.

Математика-6, Н.Я. Виленкин и др.

Алгебра -7, Г.В. Дорофеев и др.

Математика-9, ГИА-9, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактические материалы, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Задачи по математике для 4-5 классов, И.В.Баранова и др., М. «Просвещение»1988

Сборник задач и примеров по математике 5-6 класс, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997

О плюсах обучения с помощью видеуроков можно говорить бесконечно. Во-первых, они излагают мысли четко и понятно, последовательно и структурировано. Во-вторых, они занимают определенное фиксированное время, не являются, зачастую растянутыми и утомительными. В третьих, они являются более увлекательными для школьников, чем обычные уроки, к которым они привыкли. Просмотреть их можно жома в спокойной обстановке.

Во многих задачах из курса математики ученики 6 класса будут сталкиваться с прямой и обратной пропорциональной зависимостью. Прежде, чем начать изучение данной темы, стоит вспомнить, что же такое пропорции, и каким основным свойством они обладают.

Теме “Пропорции” посвящен предыдущий видеоурок. Данный же является логическим продолжением. Стоит отметить, что тема достаточно важная и часто встречаемая. Ее стоит как следует понять раз и навсегда.

Чтобы показать важность темы, видеоурок начинается с задачи. Условие появляется на экране и озвучивается диктором. Запись данных приводится в виде некоторой схемы, чтобы школьник, просматривающий видеозапись, мог как можно лучше понять. Буде лучше, если на первое время он будет придерживаться такой форме записи.

Неизвестное, как это принято в большинстве случаев, обознается латинской буквой x. Для его нахождения необходимо в первую очередь перемножить значения крест-накрест. Таким образом, получится равенство двух соотношений. Это говорит о том, что дело имеет с пропорциями и стоит вспомнить основное их свойство. Обращаем внимание на то, что все величины указаны в одинаковой единице измерения. В противном случае необходимо было привести их к одному измерению.

Просмотрев метод решения в видеозаписи, не должно возникнуть никаких трудностей при подобных задачах. Диктор комментирует каждый ход, объясняет все действия, напоминает изученный материал, который используется.

Сразу после просмотра первой части видеурока «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» можно предложить школьнику решить эту же задачу без помощи подсказок. После, можно предложить альтернативную иную задачу.

В зависимости от умственных способностей ученика, можно увеличивать постепенно сложности последующих задач.

После первой рассмотренной задачи приводится определение прямо пропорциональных величин. Определение зачитывается диктором. Основное понятие выделено красным.

Далее демонстрируется еще одна задача, на основе которой объясняется обратная пропорциональная зависимость. Эти понятия школьнику лучше всего записать в тетради. В случае необходимости перед контрольными работами, ученик может с легкостью найти все правила и определения и перечитать.

Просмотрев данную видеозапись, 6-классник поймет, каким образом нужно использовать пропорции в тех или иных задачах. Это достаточно важная тема, которую нельзя пропустить ни в коем случае. Если школьник не приспособлен воспринимать материал, преподносимый учителем во время урока среди других учеников, то подобные обучающие ресурсы станут отличным спасением!