Open Library - открытая библиотека учебной информации. Прогнозирование.Доверительный интервал прогноза

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Экстраполяция тенденций динамических рядов сравнительно широко применяется в практических исследованиях в силу ее простоты, возможности осуществления на основе относительно небольшого объема информации, наконец, ясности принимаемых допущений. Отсутствие иной информации помимо отдельно рассматриваемого динамического ряда часто оказывается решающим аргументом при выборе этого метода прогнозирования.

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер признака, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить порознь их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

1) развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной (эволюторной) траекторией - трендом;

2) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются “зафиксированными” в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.

Выше были сформулированы основные условия, наличие которых дает возможность осуществлять экстраполяцию тренда. В практике прогнозирования может возникнуть вопрос, а как поступить, если условия формирования тренда заметно изменяются и этого следует ожидать и в будущем? В этом случае возможны различные подходы к решению проблем. В частности, в ряде случаев тренд можно “исправить”, сокращая период наблюдения, отсекая члены ряда, сформировавшиеся при явно других условиях и искажающие новую тенденцию. Однако далеко не всегда можно провести четкую границу во времени, разделяющую новые и старые условия развития исследуемого явления. В этом случае подходящим является оценивание параметров, учитывающее устаревание данных. Такой прием возможен тогда, когда переход к новым условиям не имеет резкой границы и в то же время есть, основания считать влияние этого перехода достаточно эффективным. Наконец, возможна корректировка параметров уравнений, характеризующих тренд. Например, изменение постоянного члена в уравнении полинома сдвигает тренд по оси ординат, не изменяя формы кривой. Такой прием применим, когда предполагается, что развитие будет следовать прошлой тенденции, однако есть основание для перехода к какому-либо базовому уровню, отличающемуся от уровня, полученного по уравнению тренда.

Корректированию могут быть подвергнуты и другие параметры (помимо постоянного члена). Такого рода поправки изменяют форму тренда. Например, изменяют угол наклона прямой, растягивают или сжимают кривую и т.д. Подобные деформации тренда, разумеется, должны иметь достаточные основания.

По-видимому, самым правильным было бы рассматривать экстраполяцию не как конечный результат прогнозирования, а как некоторый отправной момент, на основе которого с привлечением дополнительной информации, не содержащейся в самом динамическом ряду, разрабатывают прогноз. Вместе с тем часто ее результат с соответствующей корректировкой или без нее рассматривается и как окончательный прогноз.

Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, о которых говорилось выше, то процесс прогнозирования заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд.

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (полином 3-ей степени) для третьего периода исходного динамического ряда:

Для экспорта,

Для импорта.

Соответственно прогноз объем экспорта и импорта на 2006 год (t=13) составит:

Экспорт: млрд.$ US,

Импорт: млрд.$US.

Соответственно прогноз объем экспорта и импорта на 2007 год (t=14) составит:

Экспорт: млрд.$ US,

Импорт: млрд.$US.

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания, поскольку “попадание” в точку имеет нулевую вероятность. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т.е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

6.1. Доверительные интервалы прогноза

При определении прогностических значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет, по-видимому, не сама экстраполяция - это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.

Доверительные интервалы могут быть определены двояко: формально и неформально. Что касается последнего, то это дело экспертного суждения, которое выносится при качественном осмыслении результатов прогноза, сопоставлении их с другими имеющимися у эксперта данными. При этом, естественно, эксперт должен учитывать не только степень колеблемости фактических уровней вокруг тренда в прошлом, но и возможность деформации тренда в будущем (соответственно могут быть получены различные варианты прогноза).

Формальный доверительный интервал учитывает лишь ту неопределенность, которая связана с ограниченностью числа наблюдений и соответствующей неточностью найденных оценок параметров кривой. Основной вопрос - в какой мере в будущем сохранится найденная тенденция, - естественно, не может быть решен с помощью таких доверительных интервалов. Это дело содержательного экономического анализа и экспертной оценки. Основное внимание в данном учебном пособии уделим оценке формальных доверительных интервалов, базирующихся на статистическом анализе. Заметим, что формальные доверительные интервалы можно получить далеко не во всех случаях. В частности, для сложных кривых, отличающихся от полиномов, если их и можно определить, доверительные интервалы имеют достаточно условный характер.Как было сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явление маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники:

1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

3) тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.

Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень - время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Традиционно в качестве такого измерителя колеблемости используется среднее квадратическое (стандартное) отклонение фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда. В общем виде среднее квадратическое отклонение от тренда можно выразить как

где ¾соответственно фактическое и расчетное значения уровня ряда;

f ¾ число степеней свободы, f = n ‑ т, где т ¾ число оцениваемых параметров; n ¾ число наблюдений. Так, если выравнивание производится по прямой, то f = n ‑ 2, для параболы второй степени f = n ‑ 3 и т. д.

Сумму квадратов отклонений от тренда (возьмем для простоты линейный тренд) можно, очевидно, разложить следующим образом:

Это выражение можно упростить. Допустим, что начало отсчета времени находится в середине ряда, тогда St = 0. Параметры а и b, как мы уже убедились ранее, в этом случае равны:

Отсюда после упрощений получаем:

Разность первых двух членов правой стороны этого равенства равна сумме квадратов отклонений от средней арифметической, т. е. . Таким образом,

Выражение показывает, что сумма квадратов отклонений от линейного тренда меньше, чем от средней арифметической. Этим выражением можно воспользоваться в тех случаях, когда характеристика колебаний вокруг тренда определяется до того, как определен сам тренд.

Сумма квадратов отклонений от линий тренда, т. е. , и среднее квадратическое отклонение от тренда S y являются основой при определении средней квадратической ошибки отдельных параметров уравнения тренда и их доверительных интервалов, а также ошибки и доверительных интервалов тренда и прогноза.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является, в некоторой мере, произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.

Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

где ¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

¾расчетное значение y t ;

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда.

В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами и представляет собой некоторую “естественную доверительную область” для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный “доверительный интервал” теряет всякий смысл.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S y , то есть остаточной дисперсии.Остается только извлечь из него квадратный корень. Однако, необходимо помнить, о том, что мы пользовались линеаризацией, а соответственно этот показатель также необходимо пересчитать.

При определении прогнозных значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет, по-видимому, не сама экстраполяция – это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.

Основное внимание в данном учебном пособии уделим оценке формальных доверительных интервалов, базирующихся на статистическом анализе.

Соответствующая погрешность имеет следующие источники:

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

, (4.1)

где – средняя квадратическая ошибка тренда; –расчетное значение уровня ряда; –значение t -статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа (см. рис. 3.17). Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле (3.11) для S y , то есть остаточной дисперсии.Остается только извлечь из него квадратный корень ( тыс.чел.).

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в предсказании будущего на основе данных прошлого.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

§ развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной траекторией - трендом;

§ общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для экспорта за период 2001-2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики экспорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для импорта за период 2001-2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики импорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т.е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

Доверительные интервалы прогноза

При составлении прогноза погрешность имеет следующие источники:

§ выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

§ оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

§ тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом.

Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

где - средняя квадратическая ошибка тренда;

Расчетное значение y t ;

Значение t-статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S y , то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.

Для экспорта (см. таблицу 77), для импорта (см. таблицу 80).

Значит, для экспорта S y = 18,11,для импорта S y = 25,45.

Значение коэффициента доверия t находим по таблице Стьюдента с учетом доверительной вероятности 95%. При использовании линейной и степенной функций число степеней свободы равно 4, соответственно значение критерия равно 2,776.

Таким образом, доверительный интервал прогноза для экспорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество экспорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 704,542 млрд. долл. до 805,089 млрд. долл.

Доверительный интервал прогноза для импорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество импорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 596,072 млрд. долл. до 737,371 млрд. долл.

Графическое представление результатов прогнозирования

Завершающим этапом прогнозирования является построение графических изображений, дающих представление о точности прогноза и наглядно демонстрирующих размах доверительных интервалов.

Таблица 89. Данные прогнозирования для экспорта

Рис. 63.

Таблица 90. Данные прогнозирования для экспорта

Рис. 64.

К сожалению, в нашем случае реальные значения вышли за пределы доверительного интервала прогноза, что лишний раз подчёркивает трудности выбора модели тренда.

Экстраполяция на основе среднего темпа роста и среднего абсолютного прироста

В данном пункте рассмотрим прогнозирование на основе среднего темпа роста. Значения будущих периодов получают, руководствуясь формулой:

где - средний темп роста; - уровень, принятый за базу для экстраполяции.

Средний темп роста определяется как:

где y n - данные за последний год периода, а y 1 - данные по первому году в рассматриваемом периоде.

Рассчитаем для экспорта:

Доверительный интервал:

Таблица 91. Расчеты по формуле, средний темп роста для экспорта Японии

Идея экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится ив прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t= п + 1, п + 2,..., п + к, где к - период упреждения.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами:

1) выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты;
2) прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой; поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту;
3) тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели (т.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид

где о е - стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда); п-р - число степеней свободы (для линейной модели у = a Q + a { t количество параметров р = 2).

Коэффициент / является табличным значением ^-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. (Примечание. Табличное значение t можно получить с помощью функции Excel стьюдраспобр.)

Для других моделей величина Щк) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы (3.5.21), величина U(k) зависит прямо пропорционально от точности модели коэффициента доверительной вероятности / , степени углубления в будущее на к шагов вперед, т.е. на момент t=п + к, и обратно пропорциональна объему наблюдений.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Пример 3.5.4. Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.:

1. Определить линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).
2. Оценить качество (т.е. адекватность и точность) построенной модели на основе исследования:
- а) случайности остаточной компоненты по критерию «пиков»;
- б) независимости уровней ряда остатков по ^w-критерию (в качестве критических значений использовать уровни d x = 1,08 и d 2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого г(1) = 0,36;
- в) нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;
- г) средней по модулю относительной ошибки.
3. Определить размеры платежей на три последующих месяца (построить точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед (при уровне значимости 0,1), отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования).

Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс. руб.

1. Построение модели
1) Оценка параметров модели с помощью надстройки Excel Анализ данных. Построим линейную модель регрессии Y от /. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:
- ? Выберите команду Сервис => Анализ данных.
- ? В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем нажмите кнопку ок.
- ? В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал У введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X введите адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t. Если выделены и заголовки столбцов, установите флажок Метки в первой строке.
- ? Выберите параметры вывода (в данном примере - Новая рабочая книга).
- ? В поле График подбора поставьте флажок.
- ? В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.

Результат регрессионного анализа будет получен в виде, приведенном на рис. 3.5.11 и 3.5.12.

Рис. 3.5.11.

Второй столбец на рис. 3.5.11 содержит коэффициенты уравнения регрессии а 0 , a v

Кривая роста зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид

2) Оценка параметров модели «вручную». В табл. 3.5.8 приведены промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (3.5.16). В результате расчетов получаем те же значения:

Рис. 3.5.12.

Таблица 3.5.8

y t	(t-T)(y,-y)	у, =a 0 + a x t

Иногда для проверки расчетов полезно проверить введенные формулы. Для этого следует выбрать команду Сервис => Параметры и поставить флажок в окне формулы (рис. 3.5.13).

Рис. 3.5.13.

После этого на листе Excel расчетные значения будут заменены соответствующими формулами и функциями (табл. 3.5.9).

2. Оценка качества модели
1) Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 3.5.10).

При проверке независимости (отсутствияавтокорреляции) определяется отсутствие в ряде остатков систематической составляющей, например, с помощью ^w-критерия Дарбина - Уотсона по формуле (3.4.8):


		0t-T)(y t -y )	9t= а о + a x t
			=$С$18 + $С$16*А2
=(АЗ - $А$14)	=(ВЗ - $В$14)		=$С$18 + $С$16*АЗ
			=$С$18 + $С$16*А4
			=$С$18 + $С$16*А5
			=$С$18 + $С$16*А6
			=$С$18 + $С$16*А7
			=$С$18 + $С$16*А8
			=$С$18 + $С$16*А9
=(А10 - $А$14)	=(В10 - $В$14)		=$С$18 + $С$16*А10
			=$С$18 + $С$16*А11
=(А12 - $А$14)	=(В12 - $В$14)		=$С$18 + $С$16*А12
			=$С$18 + $С$16*А13
	СРЗНАЧ(Е2:Е13)

Номер наблюдения	Точки поворота	е]	( е Г е,-) 2

Так как dw" = 1,88 попало в интервал от d 2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости (см. табл. 3.4.1). Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек [см. формулу (3.5.18)]. Количество поворотных точекр при п = 12 равно 5 (рис. 3.5.14):

Неравенство выполняется (5 > 4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью критерия:

где максимальный уровень ряда остатков е тах = 4,962, минимальный уровень ряда остатков e min = -5,283 (см. табл. 3.5.10), а среднеквадратическое отклонение

Рис. 3.5.14.

Получаем

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае ё = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 3.5.11.

2) Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е оти (табл. 3.5.12).

Получаем

Вывод: - хороший уровень точности модели.

Проверяемое свойство	Используемая статистика		Граница		Вывод
Проверяемое свойство	Наименова	Значение		верх	Вывод
Независимость	^-критерий Дарбина - Уотсона	dw = 2,12 dw" = 4-2,12 = = 1,88			Адекватна
Случайность	Критерий (поворотных				Адекватна
Нормальность	/^-критерий				Адекватна
Среднее е,= 0	/-статистика Стьюдента				Адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

Таблица 3.5.12

Номер наблю дения				Номер наблю дения

3. Построение точечного и интервального прогнозов на три шага вперед

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + к:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости а = 0,1 доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 10 равен 1,812. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле (3.5.21):

где (можно взять из протокола регрессионного анализа), / = 1,812 (табличное значение можно получить в Excel с помощью функции стьюдраспобр), Т = 6,5,

(находим из табл. 3.5.8);

Таблица 3.5.13

	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
U( 1) = 6,80
Щ2) = 7,04

Ответ. Модель имеет вид Y(t) = 38,23 + 1,81/. Размеры платежей составят 61,77; 63,58; 65,40 тыс. руб. Следовательно, денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвеста-

Рис. 3.5.15.

ционного проекта на три последующих месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.

Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, о которых мы говорили выше, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд.

Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явление маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники:

1) выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

2) оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

3) тренд характеризует некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в интервальный.

Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень - время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, при построении доверительного интервала прогноза следует учесть оценку колеблемости или вариации уровней ряда. Обычно такой оценкой является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является в некоторой мере произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.

Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как

где ¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

¾ расчетное значение yt ;

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Если t = i + L то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени.

Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами и представляет собой некоторую “естественную доверительную область” для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный “доверительный интервал” теряет всякий смысл.

При условии учета стандартных ошибок оценок параметров уравнения тренда (которые по определению являются выборочными, а следовательно, могут не являться оценками неизвестных генеральных параметров из-за проявления случайной ошибки репрезентативности), и не рассматривая последовательность преобразований получим общую формулу доверительного интервала прогноза.

где - значение прогноза, рассчитанного по уравнению тренда на период t+L

¾ средняя квадратическая ошибка тренда;

К - коэффициент, учитывающий ошибки коэффициентов уравнения тренда

¾ значение t -статистики Стьюдента.

Коэффициент К рассчитывается следующим образом

n ¾ число наблюдений (длина ряда динамики);

L – число прогнозов

Значение К зависит только от п и L, т. е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.

Пример расчета прогноза и построения доверительного интервала прогноза.

Оптимальным трендом является линейный тренд . Необходимо рассчитать прогнозы объемов импорта в Германии на 1996 и 1997 год. Для этого необходимо определить значения уровней тренда при значениях временного фактора 14 и 15.

Объем импорта в 1996 г:

Объем импорта в 1997 г:

Стандартная ошибка тренда Sy = 30,727. Коэффициент доверия распределения Стъюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод равен 2,16. Коэффициент К равен 1,428:

Таким образом, нижняя граница первого доверительного интервала равна 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Верхняя граница равна 568,28: 473,452+30,727*2,16*1,428.

Результаты расчетов необходимо оформить в виде таблице и графически

	Фактическое значение объема импорта в Германии за 1996 год	Прогнозное значение объема импорта в Германии за 1996 год

Нижняя граница 95% доверительного интервала	Фактическое значение объема импорта в Германии за 1997 год	Прогнозное значение объема импорта в Германии за 1997 год	Верхняя граница 95% доверительного интервала

Данный график рисуется следующим образом:

1) необходимо сделать копию уже существующего графика сглаживания динамического ряда линейным трендом

2) дорисовать недостающие значения (фактические уровни ряда за 1996 и 1997 год, прогнозы на 1996 и 1997 год, а также границы доверительных интервалов).

График в какой-то степени условный, так как точный масштаб вряд ли удастся выставить. Рисовать можно как от руки, так и используя инструменты рисования Excel.