Нелинейное программирование метод множителей лагранжа. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
Точка М называется внутренней для некоторого множества G, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка N называется граничной для множества G, если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так и не принадлежащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества G называется границей Г.
Множество G будет называться областью, если все его точки – внутренние (открытое множество). Множество G с присоединенной границей Г называется замкнутой областью. Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.
Наименьшее и наибольшее значения функции в данной области называются абсолютными экстремумами функции в этой области.
Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значений.
Следствие. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо на Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой областиG необходимо найти все ее критические точки в этой области, вычислить значения функции в этих точках (включая граничные) и путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.
Пример
4.1.
Найти
абсолютный экстремум функции (наибольшее
и наименьшее значения)
в треугольной областиD
с вершинами
,
,
(рис.1).
;
,
то есть точка О(0, 0) – критическая точка, принадлежащая области D. z(0,0)=0.
Исследуем границу:
а)
ОА: y=0
;z(x,
0)=0; z(0,
0)=0; z(1,
0)=0,
б)
ОВ: х=0
z(0,y)=0;
z(0,
0)=0; z(0,
2)=0,
в)
АВ:
;
,
Пример
4.2.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области, ограниченной осями
координат и прямой
.
1) Найдем критические точки, лежащие в области:
,
,
.
Исследуем границу. Т.к. граница состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ, то определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих отрезков.
, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.
M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.
Среди всех найденных значений выбираем z наиб =z(4, 0)=13; z наим =z(1, 2)=–4.
5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию.
Пусть рассматривается
функция
,
аргументыикоторой удовлетворяют условию
,
называемому уравнением связи.
Точка
называется точкой условного максимума
(минимума), если существует такая
окрестность этой точки, что для всех
точек
из этой окрестности удовлетворяющих
условию
,
выполняется неравенство
или
.
На рис.2 изображена
точка условного максимума
.
Очевидно, что она не является точкой
безусловного экстремума функции
(на рис.2 это точка
).
Наиболее простым
способом нахождения условного экстремума
функции двух переменных является
сведение задачи к отысканию экстремума
функции одной переменной. Допустим
уравнение связи
удалось разрешить относительно одной
из переменных, например, выразитьчерез:
.
Подставив полученное выражение в функцию
двух переменных, получим
т.е. функцию одной
переменной. Ее экстремум и будет условным
экстремумом функции
.
Пример 5.1.
Найти
точки максимума и минимума функции
при условии
.
Решение. Выразим
из уравнения
переменнуючерез переменнуюи подставим полученное выражение
в функцию.
Получим
или
.
Эта функция имеет единственный минимум
при
.
Соответствующее значение функции
.
Таким образом,
– точка условного экстремума (минимума).
В рассмотренном
примере уравнение связи
оказалось линейным, поэтому его легко
удалось разрешить относительно одной
из переменных. Однако в более сложных
случаях сделать это не удается.
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию трех переменных . Эта функция называется функцией Лагранжа, а– множитель Лагранжа. Верна следующая теорема.
Теорема.
Если
точка
является точкой условного экстремума
функции
при
условии
,
то существует значениетакое, что точка
является точкой экстремума функции
.
Таким образом, для
нахождения условного экстремума функции
при
условии
требуется
найти решение системы
Последнее
из этих уравнений совпадает с уравнением
связи. Первые два уравнения системы
можно переписать в виде,
т.е. в точке условного экстремума
градиенты функций
и
коллинеарны. На рис. 3 показан геометрический
смысл условий Лагранжа. Линия
пунктирная, линия уровня
функции
сплошные. Из рис. следует, что в точке
условного экстремума линия уровня
функции
касается линии
.
Пример 5.2
.
Найти точки экстремума функции
при условии
,
используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений:
Ее единственное
решение
.
Таким образом, точкой условного экстремума
может быть только точка (3; 1). Нетрудно
убедиться в том, что в этой точке функция
имеет условный минимум. В случае, если
число переменных более двух, моет
рассматриваться и несколько уравнений
связи. Соответственно в этом случае
будет и несколько множителей Лагранжа.
Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.
ЛАГРАНЖА МЕТОД
Метод приведения квадратичной формы к сумме квадратов, указанный в 1759 Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Пусть дана
от ппеременных х 0 , x
1 ,..., х п
.
с коэффициентами из поля k
характеристики Требуется привести эту форму к канонич. виду
при помощи невырожденного линейного преобразования переменных. Л. м. состоит в следующем. Можно считать, что не все коэффициенты формы (1) равны нулю.
Поэтому возможны два случая.
1) При некотором g,
диагональный Тогда
где форма f 1 (х).не содержит переменную x g .
2) Если же все но
то
где форма f 2 (х).не содержит двух переменных x g
и x h .
Формы, стоящие под знаками квадратов в (4), линейно независимы. Применением преобразований вида (3) и (4) форма (1) после конечного числа шагов приводится к сумме квадратов линейно независимых линейных форм. С помощью частных производных формулы (3) и (4) можно записать в виде
Лит.
: Г а н т м а х е р Ф. Р.,
Теория матриц, 2 изд., М., 1966; К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968. И. В. Проскуряков.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ЛАГРАНЖА МЕТОД" в других словарях:
Лагранжа метод - Лагранжа метод — метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, λ*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по… … Экономико-математический словарь
Лагранжа метод - Метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, ?*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по xi и?i . См. Лагранжиан. }