Общее уравнение динамики. Аналитическая динамика Общее уравнение динамики в обобщенных координатах

Пользуясь принципом Даламбера (Ч.3 Динамика), можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к активным (заданным) и пассивным (реакции связей) силам присоединить силы инерции.

Пусть имеется СМТ с удерживающими и идеальными связями. Тогда для каждой МТ, входящей в СМТ, согласно принципу Даламбера можно записать:

Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения
, умножим каждое из уравнений (3.1) на соответствующее
, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:

.

Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем общее уравнение динамики.

Общее уравнение динамики – уравнение Даламбера-Лагранжа :

При движении СМТ с удерживающими и идеальными связями, сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки СМТ и условно приложенных к ним сил инерции на любом виртуальном перемещении равна нулю:

. (3.2)

Общее уравнение динамики можно представить также в виде:

(3.3)

Следует также отметить, что в случае удерживающих и неидеальных связей, общее уравнение динамики примет вид:

, (3.4)

где пассивные силы – силы реакции неидеальных связей.

Принцип виртуальных перемещений является частным случаем общего уравнения динамики (в случае равновесия СМТ сила инерции
).

3.2. Уравнения движения смт в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа второго рода

Из общего уравнения динамики (соотношения (3.2), (3.3)) можно вывести дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах, подобно тому, как из принципа виртуальных перемещений (2.1) были выведены условия равновесия СМТ в обобщенных координатах (2.6).

Используем следующую форму общего уравнения динамики:

.(3.5)

Пусть на СМТ, имеющую  степеней свободы, нало­жены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение  обобщенных координат q  (=1,…,) и выразим через них радиус-вектор -й МТ аналогично тому, как это было представлено в формуле (1.13):

,
.

Варьируя это соотношение, получим:

,
. (3.6)

Подставляя соотношение (3.6) в соотношение (3.5) и изменяя порядок суммирования, имеем:

. (3.7)

Так как все
независимы и произволь­ны, то равенство (3.7) может выполняться только тогда, когда каждый из коэффициентов при равен нулю, поэтому нахо­дим:

.

Эту систему  уравнений запишем в виде:

.
(3.8)

Правая часть соотношения (3.8) представляет собой обобщенную силу (формула (1.16)) соответствующую обобщенной координате
:

.
(3.9)

Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (3.8) следующим образом:

(3.10)

Учитывая, что радиус-вектор -й МТ зависит от времени t сложным образом, получим следующее выражение для ее скорости движения:

, (3.11)

где
– называется обобщенной скоростью ( = 1, 2,…, ).

Так как множители ( = 1, 2,…, ) зависят только от обобщенных координат и времени t (и не зависят от обобщенных скоростей), тодифференцируя правую и левую часть соотношения (3.11) по обобщенной скорости , приходим к соотношению:

. (3.12)

Найдем частную производную скорости по обобщенной координате, учитывая, что обобщенные координаты входят в правую часть равенства (3.11) через коэффициенты при обобщенных скоростях:

. (3.13)

Частная производная зависит от времениt явно и через обобщенные координаты , (
). Вычисляя полную производную по времени от частной производной, находим:

. (3.14)

Сравнивая правые части выражений (3.13) и (3.14), замечаем, что

. (3.15)

Возвращаясь к формуле (3.10) и подставляя в нее тождества (3.12) и (3.15), получаем:

.

Учитывая, что

и

приведем последнее равенство к виду:

Кинетическая энергия СМТ (Ч. 3 Динамика) определяется формулой:

,

тогда (3.16) примет вид:

. (3.17)

Подставляя выражения (3.9) и (3.17)в уравнения (3.7), получим:

. (3.18)

Уравнения (3.18) представляют собой дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах. Эти уравнения называют уравнениями Лагранжа второго рода .

При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщен­ных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы.

Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения должна быть предварительно выражена как функция обобщенных скоростей и координат . Это будет квадратичная функция обобщенных скоростей , в коэффициенты которой могут входить обобщенные координаты (в частных случаях кинетическая энергия может быть квадратичной функцией скоростей с постоянными коэффициен­тами). Обобщенные силы тоже могут быть в общем случае функция­ми обобщенных координат , и скоростей .Таким образом, в выражения , и могут входить обобщенные координаты и их производные . Поэтому в выражение
войдут уже вторые производные . Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода (3.18) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат
.

Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода (3.18) состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики для любых как угодно движущихся СМТ с голономными связями. Во-вторых, число уравнений (3.18) не зависит от числа МТ, входящих в СМТ и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы). В-третьих, силы и моменты, действующие на систему, представлены здесь в виде обобщенных сил, в которые входят только активные силы и моменты, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются из уравнений. Этими преимуществами и объясняется широкое применение уравнений Лагранжа второго рода во всех технических науках и в ряде разделов физики.

Уравнениями Лагранжа второго рода можно пользоваться и в случаях, когда на систему наложены неидеальные связи, например связи с трением скольжения и качения. В этом случае силы и моменты неидеальных связей включаются в число активных сил и моментов.

Запишем теперь уравнения (3.18) для консервативных голономных СМТ. В этом случае обобщенные силы могут быть выражены через потенциальную энергию СМТ:

,

и, следовательно, уравнения (3.17) примут вид:

,
(3.19)

Принимая во внимание, что потенциальная энергия системы зависит от обобщенных координат
ине зависит от обобщенных скоростей
, можно еще более упростить вид уравнения (3.19):

.
(3.20)

Введем понятие кинетического потенциала (иначе называемого функцией Лагранжа):

L к = T – П,

тогда уравнения (3.20) можно написать в форме:

.
(3.21)

Уравнения (3.21) представляют собой уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем.

На основании принципа Даламбера справедливы равенства:

где – активная сила; – реакция связей; – сила инерции точки (рис. 3.36).

Умножая скалярно каждое из соотношений (3.45) на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам системы, получим

(3.46)

Равенство (3.46) – общее уравнение динамики для механической системы с любыми связями. Если связи идеальные, то и выражение (3.46) принимает одну из форм:

Общее уравнение динамики (объединенный принцип Даламбера–Лагранжа). В любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равны нулю на любом возможном перемещении системы.

Обобщенные координаты

Пусть система состоит из N точек и положение ее определяется 3N координатами точек системы (рис. 3.37). На систему наложены l

голономных двухсторонних связей, уравнения которых s =1,2,…,l .

Таким образом, 3N координат связаны l уравнениями и независимых координат будет n =3N -l .

В качестве n независимых координат можно выбрать любые независимые параметры

Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы, называют обобщенными координатами системы .

Рис. 3.37

В общем случае они являются функциями декартовых координат точек системы:

Можно выразить декартовы координаты через обобщенные координаты:

Для радиус–вектора каждой точки системы получим

Если связи стационарные, то время в (3.47) явно входить не будет. Для голономных связей вектор возможного перемещения точки можно выразить в форме:

Если связи голономные, то число независимых возможных перемещений (или вариаций ) совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т.е. n =3N -l.

Для неголономных систем в общем случае число независимых вариаций (возможных перемещений) меньше числа обобщенных координат. Поэтому число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, тоже меньше числа обобщенных координат системы.

Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями и обозначаются

Обобщенные силы

Рис. 3.38

Определение обобщенных сил . Рассмотрим голономную систему из N материальных точек, имеющую n степеней свободы и находящуюся под действием системы сил (рис. 3.38). Положение системы определяется n обобщенными координатами т.е.

Вектор возможного перемещения –

(3.48)

Вычислим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на возможном перемещении системы:

(3.49)

Подставляя (3.48) в (3.49) и меняя порядок суммирования, получим

(3.50)

Скалярная величина называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате q i .

Размерность обобщенной силы . Из формулы (3.50) получается размерность обобщенной силы [Q ]=[A ]/[q ]. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы [Н], если же обобщенной координатой является угол (размерность – 1), то обобщенная сила имеет размерность момента силы [Н×м].

Вычисление обобщенных сил. 1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле, ее определяющей:

где F kx ,F yx ,F kz – проекции силы на оси координат; x k ,y yx ,z k – координаты точки приложения силы

2. Обобщенные силы являются коэффициентами при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (3.50):

3. Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата q j то из (3.52) имеем

Индекс q i в числителе указывает, что сумма работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата q i .

4. Для потенциальных сил:

(3.53)

где – силовая функция.

Из выражения (3.51) с учетом равенств (3.53) следует,

Таким образом,

где потенциальная энергия системы.

3.5.6. Общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Условия равновесия сил

Общее уравнение динамики (3.50)

Вектор возможного перемещения согласно (3.48) равен

С учетом этого выражения общее уравнение динамики принимает вид

Преобразуем его, поменяв порядок суммирования

(3.54)

Здесь – обобщенная сила активных сил, соответствующая обобщенной координате q i ; – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q i .Тогда уравнение (3.54) принимает вид

Приращения обобщенных координат произвольны и независимые друг от друга. Поэтому коэффициенты при них в последнем уравнении должны быть равны нулю:

(3.55)

Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики.

Если силы, действующие на механическую систему эквивалентны нулю, т.е. механическая система движется равномерно прямолинейно или сохраняет состояние покоя, то силы инерции ее точек равны нулю. Следовательно, обобщенные силы инерции системы равны нулю , тогда уравнения (3.55) принимают вид

(3.56)

Равенства (3.56) выражают условия равновесия сил в обобщенных силах.

В случае консервативных сил

Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

,

,

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

,

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

,

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Введение

В кинематике рассматривается описание простейших типов механических движений. При этом не затрагивались причины вызывающие изменения положения тела относительно других тел, а систему отсчета выбирается из соображений удобства при решении той или иной задачи. В динамике, прежде всего, представляют интерес причины, вследствие которых некоторые тела начинают двигаться относительно других тел, а также факторы, обуславливающие появления ускорения. Однако законы в механике, строго говоря, в разных системах отсчета имеют различный вид. Установлено, что существуют такие системы отсчета, в которых законы и закономерности не зависят от выбора системы отсчета. Такие системы отсчета получили название инерциальные системы (ИСО). В этих системах отсчета величина ускорения зависит только действующих сил и не зависит от выбора системы отсчета. Инерциальной системой отсчета является гелиоцентрическая система отсчета , начало отсчета которой находится в центре Солнца. Системы отсчета, движущиеся равномерно прямолинейно относительно инерциальной являются также инерциальными, а системы отсчета движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы являются неинерциальными . По этим причинам поверхности земли, строго говоря, является неинерциальной системой отсчета. Во многих задач, систему отсчета, связанную с Землей, с хорошей степенью точности можно считать инерциальной.

Основные законы динамики в инерциальных и неинерциальных

Системах отсчета

Способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоится в ИСО, называется инертностью тела . Мерой инертности тела является масса . Масса величина скалярная, в системе СИ измеряется в килограммах (кг). Мерой взаимодействия является величина, называемой силой . Сила– величина векторная, в системе СИ измеряется в Ньютонах (Н).

Первый закон Ньютона. В инерциальных системах отсчета точка движется равномерно прямолинейно или покоится в том случае, если сумма всех сил действующих на нее равна нулю, т.е.:

где – силы, действующие на данную точку.

Второй закон Ньютона. В инерциальных системах тело движется с ускорением, если сумма всех сил, действующих на него не равна нулю, причем произведение массы тела на его ускорение равно сумме этих сил, т.е.:

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.: .

Силы, как меры взаимодействия, всегда рождаются парами.

Для успешного решения большинства задач с использованием законов Ньютона необходимо придерживаться некоторой последовательности действия (своего рода алгоритма).

Основные пункты алгоритма.

1. Проанализировать условие задачи и выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемое тело. Исходя из этого, определить количество сил, действующих на рассматриваемое тело. Допустим, число сил, действующих на тело, равно . Затем выполнить схематически правильный рисунок, на котором построить все силы, действующие на тело.

2. Используя условие задачи, определить направление ускорения рассматриваемого тела, и изобразить вектор ускорения на рисунке.

3. Записать в векторной форме второй закон Ньютона, т.е.:

где силы, действующие на тело.

4. Выбрать инерциальную систему отсчета. Изобразить на рисунке прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направить по вектору ускорения, ось ОY и ОZ направить перпендикулярно оси ОХ.

5. Воспользовавшись основным свойством векторных равенств, записать второй закон Ньютона для проекций векторов на оси координат, т.е.:

6. Если в задаче кроме сил и ускорений требуется определить координаты и скорость, то кроме второго закона Ньютона необходимо использовать и кинематические уравнения движения. Записав систему уравнений, необходимо обратить внимание на то, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных в данной задаче.

Рассмотрим неинерциальную систему отсчета вращающуюся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно инерциальной системы. В этом случае ускорение точки в инерциальной системе () связано с ускорением в неинерциальной системе () соотношением:

где – ускорением неинерциальной системы относительно инерциальной системы , линейная скорость точки в неинерциальной системе. Из последнего соотношения вместо ускорения подставим в равенство (1), получим выражение:

Это соотношение называется вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчета.

Силы инерции. Введем обозначения:

1. – поступательная сила инерции ;

2. – сила Кориолиса ;

3 – центробежная сила инерции .

В задачах поступательная сила инерции изображается против вектора ускорением поступательного движения неинерциальной системы отсчета (), центробежная сила инерции –– от центра вращения по радиусу (); направление силы Кориолиса определяется по правилу буравчика для векторного произведения векторов .

Строго говоря, силы инерции не являются в полном смысле силами, т.к. для них не выполняется третий закон Ньютона, т.е. они не являются парными.

Силы

Сила всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения возникает в процессе взаимодействия между телами, обладающими массами, и вычисляется из соотношения:

. (4)

Коэффициент пропорциональности получил название гравитационной постоянной . Его величина в системе СИ равна .

Сила реакции. Силы реакции возникают при взаимодействии тела с различными конструкциями, ограничивающими его положение в пространстве. Например, на тело, подвешенное на нити, действует сила реакции, называемая обычно силой натяжения. Сила натяжения нити направлена всегда вдоль нити. Формулы для вычисления ее величины нет. Обычно величину ее находят либо из первого, либо из второго закона Ньютона. К силам реакции также относят силы, действующие на частицу на гладкой поверхности. Ее называют нормальной силой реакции , обозначают . Сила реакции всегда направлена перпендикулярно рассматриваемой поверхности . Со стороны тела на гладкую поверхность действует сила, называемая силой нормального давления (). По третьему закону Ньютона сила реакции равна по величине силе нормального давления, но векторы этих сил противоположны по направлению.

Сила упругости. Силы упругости возникают в телах в том случае, если тела деформированы, т.е. если изменена форма тела или его объем. При прекращении деформации силы упругости исчезают. Следует заметить, что, хотя силы упругости возникают при деформациях тел, не всегда деформация приводит к возникновению сил упругости. Силы упругости возникают в телах, способных восстанавливать свою форму после прекращения внешнего воздействия. Такие тела, и соответствующие им деформации, называются упругими . При пластической деформации изменения полностью не исчезают после прекращения внешнего воздействия. Ярким примером проявления сил упругости могут служить силы, возникающие в пружинах, подверженных деформации. Для упругих деформаций, возникающих в деформированных телах, сила упругости всегда пропорциональна величине деформации, т.е.:

, (5)

где коэффициент упругости (или жесткости) пружины, вектор деформации пружины.

Данное утверждение получило название закона Гука.

Сила трения. При движении одного тела по поверхности другого возникают силы, препятствующие этому движению. Такие силы принято называть силами трения скольжения . Величина силы трения покоя может изменяться в зависимости от приложенной внешней силы. При некотором значении внешней силы сила трения покоя достигает максимального значения. После этого начинается скольжение тела. Экспериментально установлено, что сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления тела на поверхность. Согласно третьему закону Ньютона сила нормального давления тела на поверхность всегда равна силе реакции, с которой сама поверхность действует на движущееся тело. С учетом этого формула для вычисления величины силы трения скольжения имеет вид:

, (6)

где величина силы реакции; коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело, всегда направлена против его скорости, вдоль соприкасающихся поверхностей.

Сила сопротивления. При движении тел в жидкостях и газах возникают также силы трения, но они существенно отличаются от сил сухого трения. Эти силы называются силами вязкого трения , или силы сопротивления . Силы вязкого трения возникают только при относительном движении тел. Силы сопротивления зависят от многих факторов, а именно: от размеров и формы тел, от свойств среды (плотности, вязкости), от скорости относительного движения. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорционально зависит от скорости движения тела относительно среды, т.е.:

. (7)

При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (8)

где некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами сопротивления .

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

. (9)

В инерциальной системе отсчета в сумму всех сил входят только силы, являющиеся мерами взаимодействий, в неинерциальных системах в сумму сил входят силы инерции.

С математической точки зрения соотношение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение –– есть основная задача динамики материальной точки.

Примеры решения задач

Задача №1. На лист бумаги помещен стакан. С каким ускорением надо привести в движение лист, чтобы выдернуть его из-под стакана, если коэффициент трения между стаканом и листом бумаги равен 0,3?

Предположим, что при некоторой силе , действующей на лист бумаги, стакан движется совместно с листом. Изобразим отдельно силы, действующие на стакан массой . На стакан действуют следующие тела: Земля с силой тяжести , лист бумаги с силой реакции , лист бумаги с силой трения , направленной по скорости движения стакана. Движение стакана является равноускоренным, следовательно, вектор ускорения направлен по скорости движения стакана.

Изобразим вектор ускорения стакана на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для сил, действующих на стакан:

.

Направим ось ОХ по вектору ускорения стакана, а ось OY ¾ вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

(1.1)

При увеличении силы , действующей на лист бумаги, возрастает величина силы трения, с которой лист бумаги действует на стакан. При некотором значении силы величина силы трения достигает своего максимального значения, равного по величине силе трения скольжения. С этого момента начинается скольжение стакана относительно поверхности бумаги. Предельное значение силы трения связано с силой реакции, действующей на стакан следующим соотношением:

Из равенства (1.2) выражаем величину силы реакции, а затем подставляем в последнее соотношение, имеем . Из полученного соотношения находим величину силы трения и поставляем в равенство (1.1), получим выражение для определения максимального ускорения стакана:

Подставив числовые значения величин в последнее равенство, найдем величину максимального ускорения стакана:

.

Полученная величина ускорения стакана равна минимальному ускорению листа бумаги, при котором его можно «выдернуть» из-под стакана.

Ответ: .

Изобразим все силы, действующие на тело. Кроме внешней силы на тело действует Земля с силой тяжести , горизонтальная поверхность с силой реакции и силой трения , направленной против скорости движения тела. Тело движется равноускоренно, и, следовательно, вектор его ускорения направлен по скорости движения. Изобразим вектор на рисунке. Выбираем систему координат так, как показано на рисунке. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Используя основное свойство векторных равенств, запишем уравнения для проекций векторов, входящих в последнее векторное равенство:

Записываем соотношение для силы трения скольжения

Из равенства (2.2) находим величину силы реакции

Из полученного выражения подставим в равенство (2.3) вместо величины силы реакции , получим выражение

Подставив полученное выражение для силы трения в равенство (2.1), будем иметь формулу для вычисления ускорения тела:

В последнюю формулу подставим числовые данные в системе СИ, найдем величину ускорения движения груза:

Ответ: .

Для минимальной величины силы определим направление силы трения, которая действует на покоящийся брусок. Представим, что сила меньше той минимальной силы, достаточной для того, чтобы тело оставалось в покое. В этом случае тело будет двигаться вниз, и, сила трения , приложенная к нему, будет направлена вертикально вверх. Для того чтобы остановить тело, нужно увеличить величину приложенной силы . Кроме того, на данное тело действует Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз, а также стенка с силой реакции , направленной горизонтально влево. Изобразим на рисунке все силы, действующие на тело. Возьмем прямоугольную декартову систему координат, оси которой направим так, как показано на рисунке. Для покоящегося тела запишем первый закон Ньютона в векторной форме:

.

Для найденного векторного равенства запишем равенства для проекций векторов на оси координат, получим следующие уравнения:

При минимальном значении внешней силы величина силы трения покоя достигает максимального значения, равного величине силы трения скольжения:

Из равенства (3.1) находим величину силы реакции , и подставляем в равенство (3.3), получим следующее выражение для силы трения:

.

Подставим вместо силы трения в равенство (3.2) правую часть данного соотношения, получим формулу для вычисления величины приложенной силы :

Из последней формулы находим величину силы :

.

Ответ: .

Изобразим все силы, действующие на шарик, движущийся в воздухе вертикально вниз. На него действует Земля с силой тяжести и воздух с силой сопротивления . Изобразим рассмотренные силы на рисунке. В начальный момент времени равнодействующая всех сил имеет максимальное значение, так как скорость шарика равна нулю и сила сопротивления также равна нулю. В этот момент шарик имеет максимальное ускорение, равное . По мере движения шарика скорость его движения увеличивается, и, следовательно, сила сопротивления воздуха возрастает. В некоторый момент времени сила сопротивления достигает величины, равной величине силы тяжести. С этого момента времени шарик движется равномерно. Запишем первый закон Ньютона в векторной форме для равномерного движения шарика:

.

Направим ось OY вертикально вниз. Запишем для данного векторного равенства равенство для проекций векторов на ось OY:

. (4.1)

Сила сопротивления зависит от площади поперечного сечения шарика и величины его скорости движения следующим образом:

, (4.2)

где коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления.

Из равенств (4.1) и (4.2) вытекает следующее соотношение:

. (4.3)

Выразим массу шарика через его плотность и объем, а объем в свою очередь, - через радиус шарика:

. (4.4)

Из данного выражения находим массу и подставляем в равенство (4.3), получим следующее равенство:

. (4.5)

Выражаем площадь поперечного сечения шарика через его радиус:

С учетом соотношения (4.6) равенство (4.5) примет следующий вид:

.

Обозначим как радиус первого шарика; как радиус второго шарика. Запишем формулы для скоростей установившегося движения первого и второго шариков:

Из полученных равенств находим отношение скоростей:

.

Из условия задачи отношение радиусов шариков равно двум. Используя это условие, находим отношение скоростей:

.

Ответ: .

На тело, движущееся вверх вдоль наклонной плоскости, действуют внешние тела: а) Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз; б) наклонная плоскость с силой реакции , направленной перпендикулярно наклонной плоскости; в) наклонная плоскость с силой трения , направленной против движения тела; г) внешнее тело с силой , направленной вверх вдоль наклонной плоскости. Под действием этих сил тело движется равноускоренно вверх по наклонной плоскости, и, следовательно, вектор ускорения направлен по перемещению тела. Изобразим вектор ускорения на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по ускорению движения тела, а ось OY - перпендикулярно наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

Сила трения скольжения связана с силой реакции следующим соотношением:

Из равенства (5.2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (5.3), имеем следующее выражение для силы трения:

. (5.4)

Подставим в равенство (5.1) вместо силы трения правую часть равенства (5.4), получим следующее уравнение для вычисления величины искомой силы:

Вычислим величину силы :

Ответ: .

Изобразим все силы, действующие на тела и на блок. Рассмотрим процесс движения тел, связанных нитью, перекинутой через блок. Нить является невесомой и нерастяжимой, следовательно, величина силы натяжения на любом участке нити будет одинаковой, т.е. и .

Перемещения тел за любые промежутки времени будут одинаковыми, и, следовательно, в любой момент времени одинаковыми будут величины скоростей и ускорений этих тел. Из того, что блок вращается без трения и является невесомым, следует, что сила натяжения нити по обе стороны блока будет одинаковой, т.е.: .

Отсюда вытекает равенство сил натяжения нити, действующей на первое и второе тело, т.е. . Изобразим на рисунке векторы ускорений первого и второго тела. Изобразим две оси ОХ. Первую ось направим вдоль вектора ускорения первого тела, вторую - вдоль вектора ускорения второго тела. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эти оси координат:

Учитывая, что , и выразив из первого уравнения , подставим во второе уравнение, получим

Из последнего равенства находим величину ускорения:

.

Из равенства (1) находим величину силы натяжения:

Ответ: , .

На маленькое колечко при его вращении по окружности действуют две силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила реакции , направленная к центру кольца. Изобразим эти силы на рисунке, а также покажем на нем траекторию движения колечка. Вектор центростремительного ускорения колечка лежит в плоскости траектории и направлен к оси вращения. Изобразим на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для вращающегося колечка:

.

Выберем прямоугольную систему координат, ось ОХ которой направим по центростремительному ускорению , а ось OY - вертикально вверх вдоль оси вращения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат:

Из равенства (7.2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (7.1), получим выражение:

. (7.3)

Центростремительное ускорение связано с частотой вращения соотношением: , где радиус вращения маленького колечка. Подставим правую часть последнего равенства вместо в формулу (7.3), получим следующее соотношение:

. (7.4)

Из рисунка находим величину тангенса угла альфа . С учетом этого выражения равенство (7.4) примет вид:

Из последнего уравнения находим искомую высоту :

Ответ: .

На тело, вращающееся вместе с диском, действуют три силы: сила тяжести , сила реакции и сила трения , направленная к оси вращения. Изобразим все силы на рисунке. Покажем на данном рисунке направление вектора центростремительного ускорения . Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

; (8.1)

. (8.2)

Запишем соотношение для центростремительного ускорения:

. (8.3)

Подставим правую часть равенства (8.3) вместо центростремительного ускорения в равенство (8.1), получим:

. (8.4)

Из равенства (8.4) видно, что величина силы трения прямо пропорциональна радиусу вращения , поэтому при увеличении радиуса вращения сила трения покоя увеличивается, и при некоторой величине сила трения покоя достигает максимального значения, равного силе трения скольжения ().

С учетом равенства (8.2), получим выражения для максимальной силы трения покоя:

.

Подставим правую часть полученного равенства вместо силы трения равенство (4), получим следующее соотношение:

Из данного уравнения находим предельное значение радиуса вращения:

Ответ: .

Во время полета капли на нее действует две силы: сила тяжести и сила сопротивления . Изобразим все силы на рисунке. Выберем вертикально направленную ось OY, начало отсчета которой расположим на поверхности Земли. Запишем основное уравнение динамики:

.

Спроектируем равенство на ось OY, будем иметь соотношение:

Разделим обе части последнего равенства на и одновременно умножим обе части на , учтем что , получим выражение:

Разделим обе части этого выражения на , получим соотношение:

.

Интегрируем последнее соотношением, получаем зависимость скорости от времени: .

Константу найдем из начальных условий (), получим искомую зависимость скорости от времени:

.

Определяем максимальную скорость из условия :

.

Ответ: ; .

Изобразим на рисунке силы, действующие на шайбу. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси OX, OY и OZ

Т.к. , то для всей траектории движения шайбы для силы трения справедливо формула , которая, с учетом равенства для OZ, преобразуется к виду:

С учетом этого соотношения равенство для оси OX примет вид

Спроектируем второй закон Ньютона на касательную к траектории движения шайбы в рассматриваемой точке, получим соотношение:

где – величина тангенциального ускорения. Сравнивая правые части последних равенств, делаем вывод о том, что .

Поскольку и , то учетом предыдущего соотношения имеем равенство , интегрирование которого приводит к выражению , где – константа интегрирования. Подставим в последнее выражение , получим зависимость скорости от угла :

Константу определим из начальных условий (когда . ) . С учетом этого запишем окончательную зависимость

.

Минимальное значение скорости достигается тогда, когда , и вектор скорости направлен параллельно оси OX а ее величина равна .

Пример решения задачи с применением общего уравнения динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) для системы с твердыми телами, грузами, шкивами и блоком, соединенных нитями.

Содержание

Условие задачи

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M = 10 Н·м , приложенной к шкиву 1. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R 1 = 0,2 м , r 1 = 0,1 м , а шкива 2 - R 2 = 0,3 м , r 2 = 0,15 м ; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ 1 = 0,1 м и ρ 2 = 0,2 м .

Пренебрегая трением, определить ускорение груза 5. Веса шкивов и грузов заданы: P 1 = 40 Н , P 2 = 0 , P 3 = 0 , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н , P 6 = 10 Н . Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать.

Указание . При решении задачи использовать общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа) .

Решение задачи

Дано: R 1 = 0,2 м , r 1 = 0,1 м , R 2 = 0,3 м , r 2 = 0,15 м , ρ 1 = 0,1 м , ρ 2 = 0,2 м . P 1 = 40 Н , P 2 = 0 , P 3 = 0 , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н , P 6 = 10 Н , M = 10 Н·м .

Найти: a 5 .

Установление кинематических соотношений

Установим кинематические соотношения. Пусть V 4 , V 5 , V 6 , a 4 , a 5 , a 6 , δS 4 , δS 5 , δS 6 - скорости, ускорения и малые перемещения грузов 4,5 и 6. Пусть ω 1 , ω 2 , ε 1 , ε 2 , δφ 1 , δφ 2 - угловые скорости, угловые ускорения и малые углы поворота шкивов 1 и 2.

Скорость движения нити между телами 2, 4 и 5:
. Отсюда .
Скорость движения нити между шкивами 1 и 2:
. Отсюда
.
Скорость движения нити между телами 1 и 6:
.

Итак, мы нашли связь между скоростями тел.
;
;
.

Поскольку ускорения - это производные скоростей по времени, ,
то дифференцируя по времени предыдущие формулы, находим связь между ускорениями:
;
;
.

Поскольку скорости - это производные от перемещений по времени, то такая же связь есть между бесконечно малыми перемещениями.
;
;
.

Активные внешние силы

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему.
Это силы тяжести тел P 1 = 40 Н , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н и P 6 = 10 Н , направленные вниз;
заданная пара сил с моментом M = 10 Н·м ;
силы давления осей N 1 , N 2 и N шкивов 1, 2 и невесомого блока;
силы реакции N 4 и N 6 , действующие на грузы со стороны поверхностей, перпендикулярные этим поверхностям.

Силы инерции

Мы будем решать эту задачу с помощью общего уравнения динамики, применяя принцип Даламбера - Лагранжа. Он заключается в том, что сначала мы вводим силы инерции. После введения сил инерции, задача динамики превращается в задачу статики. То есть нам нужно найти неизвестные силы инерции, чтобы система находилась в равновесии. Данную задачу статики мы решаем, применяя принцип Даламбера. То есть считаем, что система совершила малое перемещение. Тогда в равновесии, сумма работ всех сил, при таком перемещении, равна нулю.

Итак, на первом этапе мы вводим силы инерции . Для этого предполагаем, что система движется с некоторым, пока не определенным, ускорением. То есть шкивы 1 и 2 вращаются с угловыми ускорениями ε 1 и ε 2 , соответственно; грузы 4,5 и 6 совершают поступательное движение с ускорениями a 4 , a 5 и a 6 , соответственно. Между этими ускорениями имеются связи, которые мы нашли ранее. То есть все эти ускорения можно выразить через одно ускорение a 5 . Силы инерции определяются так, что они равны по модулю и противоположны по направлению тем силам (и моментам сил), которые, по законам динамики, создавали бы предполагаемые ускорения (при отсутствии других сил).

Определяем модули (абсолютные значения) сил и моментов инерции и выражаем их через a 5 .
Пусть - массы тел;
- момент инерции шкива 1.
Момент сил инерции, действующий на шкив 1:
.
Силы инерции, действующие на грузы 4, 5 и 6:
;
;
.

Изображаем силы инерции на чертеже учитывая, что их направления противоположны ускорениям.

Применение общего уравнения динамики

Даем системе бесконечно малое перемещение. Пусть груз 5 переместился на малое расстояние δS 5 . Тогда угол поворота δφ 1 шкива 1 и перемещения δS 4 и δS 6 грузов 4 и 6 определяются с помощью установленных ранее кинематических соотношений. Поскольку нити нерастяжимые, то они не совершают работу при таком перемещении. Это означает, что система имеет идеальные связи. Поэтому мы можем применить общее уравнение динамики:
,
согласно которому сумма работ всех активных сил и сил инерции, при таком перемещении, равна нулю.

Определение суммы работ внешних активных сил и сил инерции

Работа, которую совершает сила при перемещении точки ее приложения на малое смещение равна скалярному произведению векторов , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, произведенная моментом сил , вычисляется аналогично:
.

Определяем работы всех активных сил и сил инерции. Поскольку центры осей шкивов 1, 2 и невесомого блока не совершают перемещений, то силы P 1 , N 1 , N 2 и N не совершают работу. Поскольку силы N 4 и N 6 перпендикулярны перемещениям грузов 4 и 6, то эти силы также не совершают работу.

Находим сумму работ остальных активных сил и сил инерции.

.
Подставляем выражения для сил инерции и применяем кинематические соотношения.

.
Сокращаем на δS 5 и преобразовываем.

.
Подставляем численные значения.

;
;