Как решить систему дифференциальных уравнений операционным методом? Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом.

Многие системы дифференциальных уравнений, как однородные, так и неоднородные, могут быть сведены к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Покажем метод на примерах.

Пример 3.1. Решить систему

Решение. 1) Дифференцируя по t первое уравнение и используя второе и третье уравнения для замены и, находим

Полученное уравнение дифференцируем по еще раз

1) Составляем систему

Из первых двух уравнений системы выразим переменные ичерез
:

Подставим найденные выражения для ив третье уравнение системы

Итак, для нахождения функции
получили дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами

2) Интегрируем последнее уравнение стандартным методом: составляем характеристическое уравнение
, находим его корни
и строим общее решение в виде линейной комбинации экспонент, учитывая кратность одного из корней:.

3) Далее, чтобы найти две оставшиеся функции
и
, дифференцируем дважды полученную функцию

Используя связи (3.1) между функциями системы, восстанавливаем оставшиеся неизвестные

Ответ. ,
,.

Может оказаться, что все известные функции кроме одной исключаются из системы третьего порядка уже при однократном дифференцировании. В таком случае, порядок дифференциального уравнения для ее нахождения будет меньше, чем число неизвестных функций в исходной системе.

Пример 3.2. Проинтегрировать систему

(3.2)

Решение. 1) Дифференцируя по первое уравнение, находим

Исключая переменные ииз уравнений

будем иметь уравнение второго порядка относительно

(3.3)

2) Из первого уравнения системы (3.2) имеем

(3.4)

Подставляя в третье уравнение системы (3.2) найденные выражения (3.3) и (3.4) для и, получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции

Интегрируя это неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка, найдем
Используя (3.4), находим функцию

Ответ.
,,
.

Задание 3.1. Решить однородные системы сведением к одному дифференциальному уравнению.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью нахождения фундаментальной системы решений

Общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть найдено как линейная комбинация фундаментальных решений системы. В случае систем с постоянными коэффициентами для нахождения фундаментальных решений могут быть использованы методы линейной алгебры.

Пример 3.3. Решить систему

(3.5)

Решение. 1) Перепишем систему в матричном виде

. (3.6)

2) Будем искать фундаментальное решение системы в виде вектора
. Подставляя функции
в (3.6) и сокращая на, получим

, (3.7)

то есть число должно быть собственным числом матрицы
, а векторсоответствующим собственным вектором.

3) Из курса линейной алгебры известно, что система (3.7) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю

то есть . Отсюда находим собственные значения
.

4) Найдем соответствующие собственные векторы. Подставляя в (3.7) первое значение
, получим систему для нахождения первого собственного вектора

Отсюда получаем связь между неизвестными
. Нам достаточно выбрать одно нетривиальное решение. Полагая
, тогда
, то есть векторявляется собственным для собственного значения
, а вектор функции
фундаментальным решением заданной системы дифференциальных уравнений (3.5). Аналогично, при подстановке второго корня
в (3.7) имеем матричное уравнение для второго собственного вектора
. Откуда получаем связь между его компонентами
. Таким образом, имеем второе фундаментальное решение

5) Общее решение системы (3.5) строится как линейная комбинация двух полученных фундаментальных решений

или в координатном виде

Ответ.

.

Задание 3.2. Решить системы, находя фундаментальную систему решений.

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x (t) и y (t) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x (t) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) · d y d t + (a 1 · b 2 - a 2 · b 1) · y = a 2 · c 1 - a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x (t) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y (t) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x (t) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Пример 1

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x:

x = d y d t - 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y (t) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y ~ = A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x (t) :
d (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) d t = x + 2 · (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) - 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Ответ: x (t) = - C 1 · e t + 1 y (t) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Системы дифференциальных уравнений бывают двух основных типов - линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений можно также двумя основными способами решения:

Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.

В основном системы дифференциальных уравнений решаются первым способом.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:

Где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).

И – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему дифференциальных уравнений - означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения - это числа, а здесь – функции.

Ответ запишем в виде общего решения системы дифуравнений:

Можно записать систему более компактно:

Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где приняты следующие обозначения:

И – производные 1-го порядка;

И – производные 2-го порядка.

Требуется найти решение задачи Коши для системы дифуравнений при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.

При решении будем использовать метод исключения.

Возьмем второе уравнение системы и выразим из него х:

, знак * мы используем для быстрого поиска этого уравнения, т.к. оно нам понадобится в дальнейшем.

Продифференцируем обе части полученного уравнения по t:

По-другому это выглядит следующим образом:

Подставляем и в первое уравнение системы :

Максимально упростим это уравнение:

Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С производными оно выглядит следующим образом:

– мы получили различные действительные корни, поэтому:

Одна функция найдена. Теперь приступим к поиску x(t).

Найдем производную найденной функции .

Дифференцируем по t:

Теперь подставим и в уравнение (*):

Упростим полученное уравнение:

Итак, мы нашли обе функции.

Общее решение системы будет:

Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.

Подставим найденные коэффициенты:

Это и будет частное решение системы.

Остается провести проверку найденного результата:

Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение первому уравнению системы

Возьмем функцию и найдем её производную.

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений. В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.

Пусть, например, по некоторой кривой (L) в пространстве под действием силы F движется материальная точка массы . Требуется определить закон движения точки, т. е. зависимость координат точки от времени.

Допустим, что

радиус-вектор движущейся точки. Если переменные координаты точки обозначить через , то

Скорость и ускорение движущейся точки вычисляется по формулам:

(см. гл. VI, § 5, n. 4).

Сила F, под действием которой движется точка, вообще говоря, является функцией времени, координат точки и проекций скорости на оси координат:

На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки записывается следующим образом:

Проектируя векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, на оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения:

Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех искомых функций:

В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений первого порядка специального вида относительно искомых функций . Эта система имеет вид

Система уравнений (95) называется системой в нормальной форме, или нормальной системой.

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы (95) называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к нормальной системе, если ввести новые искомые функции. Так, например, систему (94) можно преобразовать в нормальную форму следующим образом. Введем новые функции положив . Тогда и скстема Уравнении (94) запишется следующим образом:

Система (96) является нормальной.

Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений с тремя неизвестными функциями :

Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (97), т. е. функции непрерывны по всем переменным в некоторой области G и имеют в ней непрерывные частные производные Тогда каковы бы ни были значения принадлежащие области G, существует единственное решение системы удовлетворяющее начальным условиям:

Для интегрирования системы (97) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая три уравнения относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере применение этого метода.

Для - простоты ограничимся системой из двух уравнений. Пусть дана система уравнений

Для нахождения решения системы поступаем следующим образом. Дифференцируя первое из уравнений системы по находим

Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы, получим

Заменяя, наконец, функцию у ее выражением из первого уравнения системы

получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции:

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

Дифференцируя равенство находим

Подставляя выражения для x и в равенство и приводя подобные члены, получим

являются решением данной системы.

Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произвольных постоянных Можно показать, что и в общем случае для нормальной системы, состоящей из уравнений, ее общее решение будет зависеть от произвольных постоянных.

На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.

К делу. У кого как, а у меня сегодня 1 июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления . Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!

Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений , что значит найти общее решение системы и частное решение системы.

Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения . Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .

Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1) Речь идёт только о частном решении .
2) В скобочках начальных условий находятся строго нули , и ничто другое.

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом . Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений .

Пример 1

, ,

Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы №№1,2, учитывая начальное условие , получаем:

Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки». Используя те же преобразования №№1,2, учитывая начальное условие , находим:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует или . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальные слагаемые:

Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:

При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях :

Полученную систему уравнений с двумя неизвестными обычно решают по формулам Крамера . Вычислим главный определитель системы:

В результате расчёта определителя получен многочлен .

Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что .

Таким образом, наш главный определитель системы:

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы :

Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом . Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов , с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1) Разбираемся с первой дробью:

Таким образом:

2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):

Таким образом:

Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:
– так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:

Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:

Пример 3

Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом . Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:

В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:

Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители:
, значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:

Таким образом, операторное решение системы:

Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:

Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.

Пример 4

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,

Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Полученный многочлен не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.

В результате операторное решение системы:

А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы: