Успоредни прави, признаци и условия за успоредни прави. Признаци за успоредност на две прави

29. Нека начертаем няколко зигзага на ръка, като данните на чертежа. 31. Във всеки от тези зигзаги виждаме 2 ъгъла (те са номерирани с 1 и 2 във всеки зигзаг на чертеж 31). Всеки зигзаг се състои от два лъча и сегмент, свързващ точките, от които излизат лъчите. Например в последния зигзаг имаме: 1) лъч AB, излизащ от точка A, 2) лъч CD, излизащ от точка C и 3) отсечка AC. Обикновено се наричат ​​ъгли 1-ви и 2-ри вътрешни напречни ъгли по отношение на лъчите, изграждащи този зигзаг. Упражненията трябва да привикнат окото към местоположението на такива ъгли.

Нека сега да построим зигзаг, така че ъглите му да са равни един на друг. За целта ще започнем изграждането от произволен ъгъл BDC (чертеж 33, I) или от ∠1; тогава, като имаме фиксирана точка C, ние конструираме в нея, съгласно стъпка 28, ∠3 (или ∠MCD) = ∠1.

За по-голяма яснота, ние възпроизвеждаме тази конструкция тук на чертеж. 32.
1) конструирайте ◡α, като вземете точка D за център, с произволен радиус;
2) използвайте същия радиус, за да построите ◡β, като вземете точка C за център;
3) с помощта на пергел вземаме хордата на дъгата α, съответстваща на 1-ия ъгъл - нейните краища са точките на пресичане на дъгата α с лъча DB и сегмента DC;
4) начертаваме тази хорда ◡β от точката на пресичане на тази дъга с отсечката DC, като наблюдаваме, че ъгълът в точка C, съответстваща на тази хорда, се оказва вътрешно напречен на ∠1;
5) свързвайки края на тази хорда с точка С, получаваме ∠3 = ∠1, като тези ъгли са вътрешни напречни.

След това получаваме необходимия MCDB зигзаг. Ако лъчите MC и DB са продължени (CN е продължение на лъч CM и DA е продължение на DB), тогава получаваме друг втори зигзаг NCDA, чиито вътрешни напречни ъгли са обозначени с числа 2 и 4. Като цяло , получената фигура се състои от три прави MN, AB и CD, като за последната е известно, че пресича MN в точка C и AB в точка D, поради което правата CD ще наричаме секуща.

Нека научим получената фигура.

1. Виждаме, че ∠1 и ∠2 са съседни, т.е. виждаме, че

∠1 + ∠2 = прав. ъгъл.

Виждаме също, че ∠3 и ∠4 са съседни, т.е.

∠3 + ∠4 = прав. ъгъл.

Но ние построихме ∠3 = ∠1. Следователно заключаваме, че ∠4 задължително трябва да е равно на ∠2. И така, оказа се, че втората двойка вътрешни напречни ъгли (∠2 и ∠4) също се състои от равни ъгли. Това обстоятелство заслужава внимание и можем да го опишем с думи: ако две прави са пресечени от напречна и ако два вътрешни кръстосани ъгъла са равни един на друг, то другите два вътрешни. прикритие ъглите също са равни . (Всяко свойство на фигура, изразено с думи и получено след известно разсъждение, се нарича теорема. Тук имаме теорема за вътрешните напречни ъгли.)

2. Цялата фигура, дадена на чертежа. 33, I, ще го разделим на 2 фигури: фигурата MCDA и фигурата NCDB - ще ги наречем „лява“ и „дясна“ фигура. За по-голяма яснота представяме тези фигури отделно (чертеж 33, II). Всеки от тях има равен сегмент: отр. CD на лявата фигура е равен на сегмента CD на дясната, тъй като тези сегменти преди това съвпадаха. Използвайки това равенство, ще насложим дясната фигура отляво (ще трябва да завъртите дясната фигура, както на Фигура 33, III, и след това да я приложите вляво), така че точка D от дясната фигура да съвпада с точка C отляво и така, че отсечката DC отдясно минава по отсечката CD отляво; поради тяхната еднаквост, другите им краища също ще съвпадат. Тъй като по построение ∠3 = ∠1, то лъчът DB на дясната фигура трябва да минава по лъча CM на лявата и по силата на изясненото равенство на ∠2 и ∠4, лъчът CN на дясната фигура фигурата трябва да върви по лъча DA отляво. От това заключаваме, че нашите фигури са равни (това е думата „равни“ в геометрията и означава, че една фигура се комбинира, когато се наслагва върху друга).

3. Обръщане отново към черно. 33, I, можем да попитаме: пресичат ли се правите MN и AB? Ако приемем, че те се пресичат и точката на пресичане се намира вдясно от секущата CD, то поради равенството на дясната и лявата фигура трябва да стигнем до извода, че вляво от секущата CD трябва да има да е същата като надясно, т.е. и отляво трябва да има точка, през която минават и двете прави MN и AB. Тогава ще се окаже, че две прави MN и AB минават през 2 точки, което е невъзможно. Следователно предположението, че AB и MN се пресичат вдясно от секанса, не е валидно. Ясно е, че също не можем да приемем, че те се пресичат отляво на секущата. Следователно стигаме до извода, че успяхме да построим две прави AB и MN, които изобщо не се пресичат.

Две прави, разположени в една и съща равнина и не се пресичат, се наричат ​​успоредни прави.

За да посочите успоредността на две прави, използвайте знака ||; така че имаме MN || AB (MN е успоредна на AB). От предишната конструкция следва:

можете да изградите успоредни линии

съществуват успоредни линии.

Можем да фигурираме дадени на чертежа. 33 (I), конструирайте в различен ред: 1) конструирайте произволна права AB (ще я наричаме дадена); 2) извън него ще построим произволна точка C (ще я наричаме още дадена точка); 3) през точка C построяваме секуща CD, образуваща с дадената права AB ∠1 и ∠2; 4) в точка C построяваме ∠3 = ∠1 така, че тези ъгли да се окажат вътрешни напречни - получаваме лъча CM; 5) продължаваме лъча CM по посока CN - тогава получаваме права MN, успоредна на AB.

Това води до заключението:

През точка, дадена извън дадена права, винаги е възможно да се построи права, успоредна на дадената.

Тъй като за построяването на успоредни прави е необходимо да се построят равни вътрешни прави. напречни ъгли (∠3 = ∠1), тогава също заключаваме, че

ако две прави се пресичат от напречна и ако получените вътрешни напречни ъгли са равни, тогава тези прави са успоредни.

30. В предишния параграф научихме как да построим права, успоредна на дадена точка през дадена точка. Сега възниква въпросът: колко прави, успоредни на тази точка, могат да бъдат построени през дадена точка? Отговорът на този въпрос е възможен само въз основа на нашата представа за местоположението на успоредни прави: ако си представим, че линията MN (чертеж 33, I), която || AB се завърта около точка C в една или друга посока, тогава ни е ясно, че успоредността ще бъде нарушена и че тогава MN някъде от едната страна на секущата CD ще се пресече с AB; Може би тази пресечна точка ще е толкова далеч, че няма да можем да я изобразим на чертежа, но това няма да намали увереността ни, че правата AB и завъртената права MN се пресичат. Оказва се невъзможно тази увереност да се подкрепи с разсъждения, основани на предходната. Следователно се приема, само въз основа на нашето разбиране, че

През точка, дадена извън права, може да се построи само една права, успоредна на дадената.

Тази позиция е въведена за първи път в науката от известния гръцки геометър Евклид, който дава пълен систематичен курс по геометрия (300 години пр.н.е.). Той озаглавява това свойство с името „Аксиома XI“, което е изразено малко по-различно от тук, но основната му идея е същата. Понякога същото това свойство се нарича "V постулат на Евклид". Разликата между тези две имена е следната: аксиомите са свойства, които са непосредствено очевидни и идеята, че те не могат да бъдат изведени чрез разсъждения от други вече установени свойства, се появява при внимателно разглеждане на геометричната система; постулатите са предположения, които трябва да бъдат приети, за да продължим напред, но чиято валидност не е толкова очевидна. Разликата между тези две понятия обаче е толкова незначителна, че често се бъркат.

В думите, с които тук изразихме постулата на Евклид за паралелите, има 2 мисли: 1) през точка можете да построите права линия, успоредна на дадената - тази мисъл изобщо не е свързана със съдържанието на постулата: в параграф 29 открихме възможността за такава конструкция; 2) само един паралел - тази мисъл, изразена с думите „само един“, е съдържанието на постулата.

31. Няколко нови свойства непосредствено следват от паралелния постулат, които следователно могат да бъдат наречени следствия от паралелния постулат.

I. Нека е построено: 1) AB || CD (чернова 34); 2) права MN, пресичаща AB в точка E. Възниква въпросът: пресичат ли се MN и CD?
Отговорът е ясен: не може да се приеме, че MN не пресича CD - тогава през точка E ще има две прави AB и MN, успоредни на CD, което противоречи на постулата за успоредност.

II. Нека бъде построено: 1) EF || AB и 2) CD || AB (чертеж 35) (за тази конструкция е удобно да се използва само един секанс CEK и да се построят ∠2 = ∠1 и ∠3 = ∠1). Възниква въпросът: пресичат ли се правите CD и EF или не?

Да приемем, че CD и EF се пресичат в точка M; тогава ще се окаже, че през M са построени две прави MDC и MFE, поотделно успоредни на правата AB, което противоречи на постулата за успоредност. Оттук стигаме до извода, че CD || Е.Ф. Възможно е, разбира се, дадените точки C и E да са разположени така, че построените през тях прави, успоредни на AB, да се сливат в една. Така че имаме:

Ако през всяка от две дадени точки построим права, успоредна на дадената, то построените прави са или успоредни една на друга, или се сливат в една права.

Въз основа на това случаят на съвпадение на две линии често се разглежда като специален случай на паралелизъм.

III. Нека е построено: 1) AB || CD, използвайки секанса MN (чертеж 36) и 2) секанса EF, и бяха образувани в пресечните точки E и F вътрешни. покриващи ъгли, например ∠1 и ∠4. Възниква въпросът: равни ли са тези ъгли?

Нека разгледаме точка E. Знаем (т. 29), че през тази точка можем да построим права, успоредна на CD, за която можем да използваме секанса EF и да построим ъгъл в точка E, равен на ∠1, така че да е вътрешно кръстосано лежащ с ∠ 1; от друга страна, въз основа на постулата (т. 30), знаем, че е възможно да се изгради само един паралелен и той вече е изграден - AB || CD, а лъчът EB образува секущата EF ∠4, вътрешно лежаща на кръст с ∠1. Следователно заключаваме, че това ∠4 задължително трябва да е равно на ∠1. Така,

Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, тогава вътрешните ъгли, разположени на кръст, са равни.

32. Представете си, че секансът EF (чертеж 36) е разширен в двете посоки; тогава получаваме фигурата, дадена на чертежа. 37, а в точките E и F имаме 8 ъгъла (номерирани са 1-8 в различен ред, в сравнение с чертеж 35). Сега виждаме, че 1) ∠1 = ∠4 (като вертикално) = ∠5 (като вътрешно напречно разположено) = ∠8 (като вертикално); 2) ∠2 = ∠3 (като вертикално) = ∠6 (като вътрешно напречно разположено) = ∠7 (като вертикално).

Така всичките 8 ъгъла са разделени на 2 групи: 1) ∠1, ∠4, ∠5 и ∠8 и 2) ∠2, ∠3, ∠6 и ∠7. Ъглите на една група са равни един на друг, но всеки ъгъл от една група изобщо не е равен на ъгъла на друга група. Но виждаме, че напр.

∠5 + ∠6 = прав. ъгъл.

Тъй като всеки от останалите ъгли от първата група е равен на ∠5-ти и всеки от останалите ъгли от втората група е равен на ∠6-ти, заключаваме, че сумата от всеки ъгъл от първата група с всеки ъгъл от втората група е равен на изправен ъгъл. Така:

Ако два успоредни са пресечени от напречна, тогава получените 8 ъгъла се разделят на две групи от по 4 ъгъла във всяка: ъглите на всяка група са равни един на друг и сумата от два ъгъла, от които един ъгъл принадлежи на един група, а другият ъгъл принадлежи на друга група, е равен на изправения ъгъл.

Нека обърнем внимание на отделните двойки ъгли и ще свържем ъглите в двойки, единият от които е във връх E, а другият във връх F.

Вече знаем, че ∠4 = ∠5 и ∠3 = ∠6, т.е. вътрешните напречни ъгли са равни.

От първата група също имаме ∠1 = ∠8. Тези ъгли (∠1 и ∠8) са разположени на противоположните страни на трансверсалата и техните вътрешни площи са разположени извън лентата, означена с прави линии AB и CD. Затова се наричат външни кръстосани ъгли. Във 2-ра група също има двойка такива ъгли: ∠2 и ∠7, и ∠2 = ∠7. Така, за успоредни прави външните напречни ъгли са равни.

От първата група имаме ∠1 = ∠5. Тези 2 ъгъла са разположени от едната страна на трансверсалата, като единият е външен (∠1), а другият е вътрешен (∠5). Тези два ъгъла се наричат подходящо. Имаме и двойки съответстващи ъгли: ∠4 = ∠8 (и двата в група I), ∠2 = ∠6 (и двата в група II), ∠3 = ∠7 (и двата в група II). Така, съответните ъгли, когато са успоредни, са равни един на друг.

∠3 принадлежи към група II, а ∠5 към група I; следователно ∠3 + ∠5 = коригирано. ъгъл. И двата ъгъла са разположени от една и съща страна на секанса и двата са вътрешни. Затова се наричат вътрешни едностранни ъгли. Има още няколко същите ъгли: ∠4 и ∠6; за тях (тъй като принадлежат към различни групи) също имаме ∠4 + ∠6 = права. ъгъл. Така, вътрешните едностранни ъгли, когато са успоредни, се събират до прав ъгъл.

Двойките: 1) ∠1 и ∠7 и 2) ∠2 и ∠8 се наричат външни едностранни ъглии за тях имаме (тъй като ъглите на всяка двойка принадлежат към различни групи):

∠1 + ∠7 = прав. ъгъл; ∠2 + ∠8 = прав. ъгъл,

т.е. Външните едностранни ъгли, когато са успоредни, се събират до права линия. ъгъл.

И накрая, двойките: 1) ∠1 и ∠6, 2) ∠2 и ∠5, 3) ∠3 и ∠8 и 4) ∠4 и ∠7 нямат специално име, но всяка двойка се състои от два ъгъла , като единият е външен, а другият вътрешен и са разположени на противоположните страни на трансекта. Тъй като ъглите на всяка двойка принадлежат към различни групи, имаме:

∠1 + ∠6 = прав. ъгъл; ∠2 + ∠5 = прав. ъгъл; ∠3 + ∠8 = прав. ъгъл; ∠4 + ∠7 = прав. ъгъл,

т.е. когато са успоредни, чифт мащабни ъгли, единият вътрешен, а другият външен, се събират до прав ъгъл.

33. Сега не е трудно да се види, че успоредни прави могат да бъдат построени с помощта на други двойки ъгли, а не вътрешни, разположени на кръст, както в параграф 29. Всъщност, в точка E (чертеж 37) ние конструираме ∠1 = ∠5 така че тези ъгли да са съответни. Тогава намираме, че ∠1 = ∠4 и, следователно, ∠4 = ∠5, т.е. че AB || CD. Можете да използвате и външни капаци. ъгли (ако ∠1 = ∠8, тогава ∠4 = ∠5, т.е. AB || CD. Можете също да използвате външни покриващи ъгли (∠1 = ∠8, тогава ∠4 = ∠5 и линиите са успоредни ).Можете също така да конструирате вътрешни едностранни ъгли, така че тяхната сума да е равна на изправения ъгъл (ако ∠3 + ∠5 = изправен, тогава ∠4 = ∠5, тъй като ∠3 + ∠4 = изправен. , – следващ , AB || CD); можете да използвате и външни едностранни ъгли. Така че:

Ако две прави се пресичат от напречна и ако вътрешните напречни ъгли са равни, или ако външните напречни ъгли са равни, или ако съответните ъгли са равни, или ако сборът от вътрешните едностранни ъгли е равен на изправения, или ако сумата от външните едностранни ъгли е равна на изправения, или ако сборът от два мащабни ъгъла, единият от които е вътрешен, а другият външен, е равен на изправения, тогава правите линии са успоредни.

За да се построят две успоредни линии, те обикновено (и това е най-удобно) използват или вътрешни напречни ъгли, или съответни.

Допълнение. Постулатът за успоредни прави (клауза 30) може да бъде изразен в следната форма:

Ако сумата от една двойка вътрешни едностранни ъгли е по-малка от ректифицирания ъгъл и следователно сумата от другата двойка е по-голяма от ректифицираната, тогава тези линии се пресичат от страната на напречната, където сумата е по-малка от коригираната.

Ако, например, ∠1 + ∠2< выпр. угла (чер. 38), то, следовательно, ∠3 + ∠4 >изправен ъгъл, тъй като ∠1 + ∠3 = изправен. ъгъл и ∠2 + ∠4 = прав. ъгъл. Нашите линии се пресичат от страната на напречната, където се намират ∠1 и ∠2. Именно в тази форма постулатът за паралелите е даден от Евклид.

34. Упражнения. 1. Построете през дадена точка (вижте различните позиции, дадени на Фигура 39) права линия, успоредна на дадената.

На 1-ви чертеж конструкцията е завършена: от A построяваме секущата AB; От точка B като център изграждаме дъга и със същия радиус (по-удобно е да вземем този радиус малък) описваме дъгата, като вземем A за център. След това в A построяваме ъгъл, равен на ∠B, за да получим 2 вътрешни. прикритие ъгъл и др.

2. Конструирайте двойка успоредни прави в произволна позиция.

3. Дадени са 2 пресичащи се прави; построи през дадена точка две нови прави, успоредни на двете дадени данни.

4. Построете две двойки успоредни прави в произволно положение, но така, че и 4-те прави да не са успоредни една на друга.

35. Построени са две двойки успоредни прави: 1) c || b и 2) d || a (чертеж 40) (всеки ред е наименуван с една малка буква). В точката на пресичане на правите a и b се получават ъгли; разгледайте един от тях, а именно ∠1, и го сравнете с ъгли 2, 3, 4 и 5, получени при пресичането на правите c и d.

Нека продължим правата c, докато се пресече с правата a, - в точката на пресичане получаваме още ъгли, единият от които е обозначен с числото 6. Тогава имаме: 1) ∠2 = ∠6, като съответства когато a и d са успоредни и секущата c; 2) ∠6 = ∠1, както съответства на успоредниците c и b и секущата a. Следователно ∠2 = ∠1. Тъй като ∠4 = ∠2, тогава ∠4 = ∠1. Тъй като ∠3 + ∠2 = прав. ъгъл. Забелязвайки, че страните на ∠1 са успоредни на страните на всеки от ъглите 2, 3, 4 и 5, намираме:

Ако страните на два ъгъла са успоредни по двойки, тогава тези ъгли са или равни помежду си, или се събират до прав ъгъл.

Възниква въпросът: възможно ли е да се установи знак, чрез който да се разделят тези 2 случая. За целта ще разглеждаме ъгъла като резултат от завъртане на лъча и за начално положение ще се счита такова разположение на лъчите, когато те са разположени успоредно в ∠1 и в един от ъглите 2, 3, 4 или 5, например, по прави b и c. След това стрелките, дадени на чертежа, ще покажат посоката, в която трябва да се завърти лъчът, за да се получи желаният ъгъл. Удобно е да сравните тази посока с движението на стрелката на часовника. Виждаме, че за да се получи ∠1 е необходимо да се завърти лъч AX (фиг. 41) обратно на часовниковата стрелка, за ∠2 е необходимо да се завърти лъч BY (BY || AX) обратно на часовниковата стрелка, за да се получи ∠3 е необходимо да се завърти лъч BZ по посока на часовниковата стрелка и до ∠5 – лъч BY по посока на часовниковата стрелка. От това можем да заключим, че ъглите с успоредни страни са равни, ако посоките им на въртене са еднакви, и че такива ъгли са допълнителни към прав ъгъл, ако посоките им на въртене са противоположни.

Тази статия е за успоредни прави и успоредни прави. Първо се дава определението за успоредни прави в равнина и в пространството, въвеждат се обозначения, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. След това се обсъждат признаците и условията за успоредност на правите. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на успоредността на прави, които са дадени с определени уравнения на права в правоъгълна координатна система върху равнина и в тримерно пространство.

Навигация в страницата.

Успоредни прави - основна информация.

Определение.

Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки.

Определение.

Две линии в тримерното пространство се наричат паралелен, ако лежат в една равнина и нямат общи точки.

Моля, обърнете внимание, че клаузата „ако лежат в една равнина“ в дефиницията на успоредни прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а се пресичат.

Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните краища на бележника лежат на успоредни прави. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните релси на равен терен също могат да се считат за успоредни линии.

За да обозначите успоредни прави, използвайте символа “”. Тоест, ако правите a и b са успоредни, тогава можем накратко да напишем a b.

Моля, обърнете внимание: ако прави a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че права a е успоредна на права b, а също така, че права b е успоредна на права a.

Нека изразим твърдение, което играе важна роля при изучаването на успоредни прави в равнина: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права линия, успоредна на дадената. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.

За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на горната аксиома за успоредни прави (можете да намерите нейното доказателство в учебника по геометрия за 10-11 клас, който е посочен в края на статията в списъка с литература).

За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да се докаже с помощта на горната аксиома за успоредна права.

Успоредност на прави - признаци и условия на успоредност.

Знак за успоредност на линиитее достатъчно условие за успоредност на правите, т.е. условие, изпълнението на което гарантира, че правите са успоредни. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се установи, че правите са успоредни.

Съществуват и необходими и достатъчни условия за успоредност на прави в равнина и в тримерно пространство.

Нека обясним значението на фразата „необходимо и достатъчно условие за успоредни прави“.

Вече разгледахме достатъчното условие за успоредни прави. Какво е „необходимо условие за успоредни прави“? От името „необходимо“ става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо за успоредни прави. С други думи, ако не е изпълнено необходимото условие правите да са успоредни, то правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие за успоредни правие условие, чието изпълнение е необходимо и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредност на правите, а от друга страна, това е свойство, което притежават успоредните прави.

Преди да формулирате необходимо и достатъчно условие за паралелност на линиите, препоръчително е да си припомните няколко спомагателни определения.

Секуща правае права, която пресича всяка от две дадени несъвпадащи прави.

При пресичане на две прави линии с напречна се образуват осем неразвити. Така нареченият лежащи на кръст, съответстващиИ едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180. степени.

Нека да покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина.

Доказателства за тези условия за успоредност на прави можете да намерите в учебниците по геометрия за 7-9 клас.

Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете прави и секущата да лежат в една равнина.

Ето още няколко теореми, които често се използват за доказване на успоредността на правите.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий следва от аксиомата за успоредните прави.

Подобно условие има и за успоредни прави в триизмерното пространство.

Теорема.

Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий се разглежда в часовете по геометрия в 10. клас.

Нека илюстрираме изложените теореми.

Нека представим друга теорема, която ни позволява да докажем успоредността на прави в равнина.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.

Има подобна теорема за прави в пространството.

Теорема.

Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.

Нека начертаем картинки, съответстващи на тези теореми.

Всички теореми, критерии и необходими и достатъчни условия, формулирани по-горе, са отлични за доказване на паралелността на правите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да докажеш успоредността на две дадени прави, трябва да покажеш, че те са успоредни на трета права, или да покажеш равенството на напречните ъгли и т.н. Много подобни задачи се решават в часовете по геометрия в гимназията. Все пак трябва да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва координатният метод за доказване на успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за успоредност на прави, които са зададени в правоъгълна координатна система.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.

В този параграф на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, дефиниращи тези линии, и също така ще предоставим подробни решения на характерни проблеми.

Да започнем с условието за успоредност на две прави в равнина в правоъгълната координатна система Oxy. Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на права и дефиницията на нормалния вектор на права в равнина.

Теорема.

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.

Очевидно условието за успоредност на две прави в равнина се свежда до (насочващи вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (насочващ вектор на една права и нормален вектор на втората права). По този начин, ако и са насочващи вектори на прави a и b, и И са нормални вектори на прави a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите a и b ще бъде записано като , или , или , където t е реално число. На свой ред координатите на водачите и (или) нормалните вектори на линиите a и b се намират с помощта на известните уравнения на линиите.

По-специално, ако права линия a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината определя общо уравнение на права линия от формата , и права линия b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и, съответно, и условието за успоредност на правите a и b ще бъде записано като .

Ако правата a съответства на уравнението на права с ъглов коефициент от формата , а правата b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и , а условието за паралелност на тези прави приема формата . Следователно, ако линиите в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат определени чрез уравнения на линии с ъглови коефициенти, тогава ъгловите коефициенти на линиите ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащи прави на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат зададени чрез уравнения на права с еднакви ъглови коефициенти, тогава такива прави са успоредни.

Ако права a и права b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права в равнина от вида И , или параметрични уравнения на права линия върху равнина на формата И съответно насочващите вектори на тези прави имат координати и , а условието за успоредност на правите a и b се записва като .

Нека да разгледаме решенията на няколко примера.

Пример.

Успоредни ли са правите? И ?

Решение.

Нека пренапишем уравнението на линия в сегменти под формата на общо уравнение на линия: . Сега можем да видим, че това е нормалният вектор на правата , a е нормалният вектор на правата. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма реално число t, за което равенството ( ). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.

Отговор:

Не, правите не са успоредни.

Пример.

Правите и успоредни ли са?

Решение.

Нека редуцираме каноничното уравнение на права линия до уравнението на права линия с ъглов коефициент: . Очевидно уравненията на линиите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и ъгловите коефициенти на линиите са равни, следователно оригиналните линии са успоредни.

Страница 3 от 3

Въпрос 21.Какъв е ъгълът на триъгълник при даден връх?
Отговор.Ъгълът на триъгълник ABC при върха A е ъгълът, образуван от полуправите AB и AC. Определят се и ъглите на триъгълника при върховете B и C.

Въпрос 22.Кои отсечки се наричат ​​равни?
Отговор.Отсечките се наричат ​​равни, ако дължините им са равни.
Въпрос 23. Какви ъгли се наричат ​​равни?
Отговор.Ъглите се наричат ​​равни, ако градусните им мерки са равни.
Въпрос 24.Кои триъгълници се наричат ​​равни?
Отговор.Триъгълниците се наричат ​​еднакви, ако съответните им страни са равни и съответните им ъгли са равни. В този случай съответните ъгли трябва да лежат срещу съответните страни.
Въпрос 25.Как са отбелязани съответните страни и ъгли на фигурата при еднакви триъгълници?
Отговор.На чертежа равните отсечки обикновено се отбелязват с една, две или три линии, а равните ъгли с една, две или три дъги.

Въпрос 26.Като използвате фигура 23, обяснете съществуването на триъгълник, равен на този.
Отговор.

Нека имаме триъгълник ABC и лъч a (фиг. 23, a). Нека преместим триъгълник ABC така, че неговият връх A да е подравнен с началото на лъч a, връх B да е върху лъч a, а връх C да е в дадена полуравнина спрямо лъч a и неговото продължение. Ще обозначим върховете на нашия триъгълник в тази нова позиция като A 1, B 1, C 1 (фиг. 23, b).
Триъгълник A 1 B 1 C 1 е равен на триъгълник ABC.
Въпрос 27.Кои прави се наричат ​​успоредни? Какъв знак се използва за означаване на успоредни прави?
Отговор.Две прави се наричат ​​успоредни, ако не се пресичат. За да се посочи паралелността на линиите, се използва знакът

Въпрос 28.Посочете основното свойство на успоредните прави.
Отговор.През точка, която не лежи на дадена права, в равнината може да се прекара най-много една права, успоредна на дадената.
Въпрос 29.Дайте пример за теоремата.
Отговор.Ако права, която не минава през нито един от върховете на триъгълник, пресича една от страните му, тогава тя пресича само една от другите две страни.

Признаци за успоредност на две прави

Теорема 1. Ако, когато две прави се пресичат със секанс:

кръстосаните ъгли са равни, или

съответните ъгли са равни, или

сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава

линиите са успоредни(Фиг. 1).

Доказателство. Ограничаваме се до доказване на случай 1.

Нека пресичащите се прави a и b са напречни и ъглите AB са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.

Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълник ABM. За категоричност нека ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.

Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).

Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на аргумента се прави предположение, което е в противоречие (противоположно) на това, което трябва да се докаже. Нарича се довеждане до абсурд поради факта, че разсъждавайки на базата на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурда). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.

Задача 1.Да се ​​построи права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.

Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).

След това начертаваме права b през точка M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.

От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права, винаги е възможно да се начертае права, успоредна на дадената.

Основното свойство на успоредните прави е следното.

Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

Нека разгледаме някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.

1) Ако една права пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).

2) Ако две различни прави са успоредни на трета права, то те са успоредни (фиг. 5).

Следващата теорема също е вярна.

Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава:

напречните ъгли са равни;

съответните ъгли са равни;

сборът от едностранните ъгли е 180°.

Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата(виж фиг. 2).

Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключението на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярно, тогава обратната теорема може да е невярна.

Нека обясним това с помощта на примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. Не е задължително два равни ъгъла да са вертикални.

Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.

В тази статия ще говорим за успоредни прави, ще дадем дефиниции и ще очертаем признаците и условията на паралелизма. За да направим теоретичния материал по-ясен, ще използваме илюстрации и решения на типични примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Успоредни прави на равнина– две прави в равнина, които нямат общи точки.

Определение 2

Паралелни линии в триизмерното пространство– две прави в тримерното пространство, лежащи в една равнина и нямащи общи точки.

Необходимо е да се отбележи, че за определяне на успоредни прави в пространството е изключително важно уточнението „лежат в една и съща равнина“: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни , но пресичащи се.

За обозначаване на успоредни прави е обичайно да се използва символът ∥. Тоест, ако дадените прави a и b са успоредни, това условие трябва да се запише накратко, както следва: a ‖ b. Вербално успоредността на правите се означава по следния начин: правите a и b са успоредни, или правата a е успоредна на правата b, или правата b е успоредна на правата a.

Нека формулираме твърдение, което играе важна роля в изучаваната тема.

Аксиома

През точка, която не принадлежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение не може да бъде доказано въз основа на известните аксиоми на планиметрията.

В случая, когато говорим за пространство, е вярна теоремата:

Теорема 1

През всяка точка от пространството, която не принадлежи на дадена права, ще има една права, успоредна на дадената.

Тази теорема е лесна за доказване въз основа на горната аксиома (програма по геометрия за 10 - 11 клас).

Критерият за успоредност е достатъчно условие, чието изпълнение гарантира успоредност на правите. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да потвърди факта на паралелизма.

По-специално, съществуват необходими и достатъчни условия за паралелност на линиите в равнината и в пространството. Нека обясним: необходимо означава условието, чието изпълнение е необходимо за успоредни прави; ако не е изпълнено, правите не са успоредни.

В обобщение, необходимо и достатъчно условие за успоредност на правите е условие, чието спазване е необходимо и достатъчно, за да бъдат правата успоредни една на друга. От една страна, това е знак за успоредност, от друга страна, това е свойство, присъщо на успоредните прави.

Преди да дадем точната формулировка на необходимо и достатъчно условие, нека си припомним няколко допълнителни понятия.

Определение 3

Секуща права– права, пресичаща всяка от две дадени несъвпадащи прави.

Пресичайки две прави линии, напречната образува осем неразвити ъгъла. За да формулираме необходимо и достатъчно условие, ще използваме такива видове ъгли като кръстосани, съответстващи и едностранни. Нека ги демонстрираме на илюстрацията:

Теорема 2

Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни дадените прави е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 градуса.

Нека илюстрираме графично необходимото и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина:

Доказателството за тези условия присъства в програмата по геометрия за 7 - 9 клас.

По принцип тези условия важат и за триизмерното пространство, при условие че две прави и секуща принадлежат на една и съща равнина.

Нека посочим още няколко теореми, които често се използват за доказване на факта, че правите са успоредни.

Теорема 3

В една равнина две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга. Тази характеристика се доказва въз основа на посочената по-горе аксиома за паралелизъм.

Теорема 4

В триизмерното пространство две линии, успоредни на трета, са успоредни една на друга.

Доказателството на признак се изучава в учебната програма по геометрия за 10. клас.

Нека дадем илюстрация на тези теореми:

Нека посочим още една двойка теореми, които доказват успоредността на правите.

Теорема 5

В равнина две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.

Нека формулираме подобно нещо за триизмерното пространство.

Теорема 6

В триизмерното пространство две линии, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.

Нека да илюстрираме:

Всички горни теореми, признаци и условия позволяват удобно да се докаже успоредността на линиите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на правите, може да се покаже, че съответните ъгли са равни, или да се демонстрира фактът, че две дадени прави са перпендикулярни на третата и т.н. Но имайте предвид, че често е по-удобно да използвате метода на координатите, за да докажете успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система

В дадена правоъгълна координатна система права линия се определя от уравнението на права линия в равнина от един от възможните видове. По същия начин, права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство, съответства на някои уравнения за права линия в пространството.

Нека запишем необходимите и достатъчни условия за паралелност на прави в правоъгълна координатна система в зависимост от вида на уравнението, описващо дадените прави.

Да започнем с условието за успоредност на прави в равнина. Базира се на дефинициите на насочващия вектор на правата и нормалния вектор на правата в равнина.

Теорема 7

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на дадените прави да са колинеарни, или нормалните вектори на дадените прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалният вектор на другата права.

Става очевидно, че условието за паралелност на прави в равнина се основава на условието за колинеарност на векторите или условието за перпендикулярност на два вектора. Тоест, ако a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващи вектори на прави a и b ;

и n b → = (n b x , n b y) са нормални вектори на прави a и b, тогава записваме горното необходимо и достатъчно условие, както следва: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , където t е някакво реално число. Координатите на направляващите или правите вектори се определят от дадените уравнения на правите линии. Нека да разгледаме основните примери.

1. Правата a в правоъгълна координатна система се определя от общото уравнение на правата: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; права линия b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (A 1, B 1) и (A 2, B 2). Записваме условието за паралелност, както следва:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Права a се описва от уравнението на права с наклон от вида y = k 1 x + b 1 . Права b - y = k 2 x + b 2. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (k 1, - 1) и (k 2, - 1), а условието за успоредност ще запишем по следния начин:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Така, ако успоредни прави на равнина в правоъгълна координатна система са дадени с уравнения с ъглови коефициенти, тогава ъгловите коефициенти на дадените прави ще бъдат равни. И обратното твърдение е вярно: ако несъвпадащите прави на равнина в правоъгълна координатна система се определят от уравненията на права с еднакви ъглови коефициенти, то тези дадени прави са успоредни.

1. Правите a и b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права върху равнина: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или от параметрични уравнения на права в равнина: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогава насочващите вектори на дадените прави ще бъдат съответно: a x, a y и b x, b y, а условието за успоредност ще запишем по следния начин:

a x = t b x a y = t b y

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1

Дадени са две линии: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1. Необходимо е да се определи дали са успоредни.

Решение

Нека напишем уравнението на права линия в сегменти под формата на общо уравнение:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Виждаме, че n a → = (2, - 3) е нормалният вектор на правата 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2, 1 5 е нормалният вектор на правата x 1 2 + y 5 = 1.

Получените вектори не са колинеарни, защото няма такава стойност на tat, при която равенството да е вярно:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

По този начин необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина не е изпълнено, което означава, че дадените прави не са успоредни.

Отговор:дадените прави не са успоредни.

Пример 2

Дадени са правите y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2. Паралелни ли са?

Решение

Нека преобразуваме каноничното уравнение на правата x 1 = y - 4 2 в уравнението на правата с наклон:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Виждаме, че уравненията на правите y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не са еднакви (ако беше друго, правите щяха да съвпадат) и ъгловите коефициенти на правите са равни, което означава, че дадените прави са успоредни.

Нека се опитаме да решим проблема по различен начин. Първо, нека проверим дали дадените линии съвпадат. Използваме всяка точка от правата y = 2 x + 1, например (0, 1), координатите на тази точка не съответстват на уравнението на правата x 1 = y - 4 2, което означава, че линиите не съвпадат.

Следващата стъпка е да се определи дали условието за паралелност на дадените прави е изпълнено.

Нормалният вектор на правата y = 2 x + 1 е векторът n a → = (2 , - 1) , а векторът на посоката на втората дадена права е b → = (1 , 2) . Скаларното произведение на тези вектори е равно на нула:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

По този начин векторите са перпендикулярни: това ни демонстрира изпълнението на необходимото и достатъчно условие за паралелност на оригиналните линии. Тези. дадените прави са успоредни.

Отговор:тези линии са успоредни.

За да се докаже паралелността на правите в правоъгълна координатна система на тримерно пространство, се използва следното необходимо и достатъчно условие.

Теорема 8

За да бъдат успоредни две несъвпадащи прави в тримерното пространство, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни.

Тези. предвид уравненията на линиите в тримерното пространство, отговорът на въпроса: успоредни ли са или не, се намира чрез определяне на координатите на насочващите вектори на дадените линии, както и проверка на условието за тяхната колинеарност. С други думи, ако a → = (a x, a y, a z) и b → = (b x, b y, b z) са съответно насочващите вектори на правите a и b, тогава, за да бъдат успоредни, съществуването на такова реално число t е необходимо, така че да е в сила равенството:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Пример 3

Дадени са правите x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необходимо е да се докаже успоредността на тези линии.

Решение

Условията на задачата са дадени от каноничните уравнения на една права в пространството и параметричните уравнения на друга права в пространството. Водещи вектори а → и b → дадените линии имат координати: (1, 0, - 3) и (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , тогава a → = 1 2 · b → .

Следователно е изпълнено необходимото и достатъчно условие за паралелност на линиите в пространството.

Отговор:успоредността на дадените прави е доказана.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter