Расчет параметров сетевых графиков. Методы расчёта сетевого графика
Построение сетевого графика предусматривает использование четырех элементов, включаемых в график: работа, событие, ожидание и зависимость. Кодирование элементов сетевого графика производятся с помощью арабских цифр. При этом кодом работы (зависимости) будут номера начального и конечного по отношению к ней событий. Используются обозначения, приведенные на рис. 5.
Ниже приводятся фрагменты сетевых графиков выполнения работ нулевого цикла на двух и трех захватках.
отрывка монтаж гидро- обратная котлована фундаментов изоляция засыпка
I захватка
II захватка
Рис. 4.1. Фрагмент сетевого графика выполнения работ на двух захватках
отрывка монтаж гидро- обратная
котлована фунд-тов изоляция засыпка
 |
Рис. 4.2. Фрагмент сетевого графика выполнения работ на трех захватках
После построения сетевого графика и нумерации его событий производится расчет параметров одним из ручных методов (табличным или секторным). При расчете сетевого графика определяются следующие параметры: раннее начало(t рн i , j) и раннее окончание(t ро i , j) работы; позднее начало (t n н i , j) и позднее окончание (t n о i , j) работы; общий (R i , j) и частный (r i , j) резервы времени.
3.2. Расчет сетевого графика табличным методом
Расчет табличным методом производится в 5 этапов (см. рис. 7 и табл. 3):
I этап - заполнение 1, 2, 3 граф с сетевого графика;
II этап - расчет ранних сроков, начиная от исходного события к завершающему и используя следующие взаимосвязи между расчетными параметрами: t рн исх =0; t рн i , j =max t po k , i ; t po i , j = t рн i , j +t i , j ;
III этап - расчет поздних сроков, начиная от завершающего события сетевого графика и используя следующие взаимосвязи: t п o зав = max t po зав;
t п o i , j =min t пн j , k ; t пн i , j = t п o i , j - t i , j ;
IV этап - расчет общих (полных) резервов времени на основе известных расчетных формул: R i , j = t пн i , j - t рн i , j или R i , j = t по i , j - t ро i , j ;
V этап - расчет частных (свободных) резервов времени на основе следующей зависимости: r i , j = t рн j , k - t ро i , j .
 |
Рис. 7 – Пример сетевого графика с расчетом табличным методом
Таблица 3
Расчет сетевого графика табличным методом
| Номер начала события пред-шест. работ | Код работы | Продолжительность работы | Ранние сроки | Поздние сроки | Резервы времени | Дата раннего начала работы | |||||||
| Начало | Окончание | Начало | Окончание | Общие (полные) | Частные (свобод.) | ||||||||
| - | 1-2 | ||||||||||||
| 2-3 | |||||||||||||
| 2-4 | |||||||||||||
| 3-4 | |||||||||||||
| 3-5 | |||||||||||||
| 3-6 | |||||||||||||
| 2, 3 | 4-5 | ||||||||||||
| 3, 4 | 5-7 | ||||||||||||
| 6-7 | |||||||||||||
3.3 Расчет сетевого графика секторным методом
Для расчета сетевого графика секторным методом каждое событие его делится на четыре сектора, в которые вносятся следующие данные:
Рис. 8. График выполнения работ наземного цикла
Расчет производится в 5 этапов (см. рис. 9):
I - нумерация событий графика;
II - расчет ранних начал и заполнение левого и нижнего сектора;
III - расчет поздних окончаний и заполнение правого сектора;
IV - расчет общих (полных) резервов времени работ и заполнение левого прямоугольника под каждой работой;
V этап -расчет частных (свободных) резервов времени и заполнение правого прямоугольника под каждой работой.
Для расчета резервов времени используются производные от ранее известных формул. Например (см. рис. 9): общий (полный) резерв времени:
R i , j = t по ij - t i , j – t рн i , j , для зависимости 4-5: 12-0-9=3; для работы 4-7: 28-8-9=11.
Частный (свободный) резерв времени: r i , j = t рн j , k - t i , j - t рн i , j , для работы 1-3: 8-0-2=6; для работы 2-6: 9-8-1=0.
13.01.99 14.01.99
 |
| 13-2-4 |
Рис 4.5. Пример ручного расчета сетевого графика секторным методом
3.4. Оптимизация сетевого графика и привязка к календарю
Оптимизация сетевого графика по времени предусматривает сокращение величины критического пути на определенную (заданную) величину дней. Для этого работы, находящиеся на критическом пути (выделенные на рис. 4.3 и подчеркнутые в табл. 6), должны быть выстроены в порядке возрастания цены сокращения. Ценой сокращения (Ц c i , j) считается величина численности работников, приходящихся на один день продолжительности работы сетевого графика, и определяемая по формуле
Для графика, приведенного на рис. 4.3, цена сокращения работ соответственно равна: Ц с 1-2 = 0,5; Ц с 2-3 = 2; Ц с 3-5 = 0,5; Ц с 5-7 = = 1,5. Следовательно, сокращение продолжительности работ критического пути можно выполнить в следующем порядке: 1-2, 3-5, 5-7, 2-3. Сократить продолжительность критического пути на заданную величину можно за счет одной или нескольких работ с одновременным добавлением численности рабочих до предельного рекомендуемого количества, приведенного по видам работ в табл. 3, исходя из условия, что t i , j * n i , j = const. Например, полученную расчетом величину критического пути сетевого графика, приведенного на рис. 4.3 (Т кр = 31 день), требуется сократить на 6 дней, т.к. продолжительность выполнения данного количества работ установлена 25 дней.
Предпочтение отдаем работе 1-2, но сократить ее можно только на 5 дней, т.к. предельное количество рабочих в бригаде дано 10 человек (12*6=72 чел-дня, 72:10=7,2 дня, 12-7,2=4,8 ~ 5 дней). Еще один день будем снимать с работы 3-5, имеющей такую же цену сокращения, но меньшую по отношению к работе 1-2 расчетную продолжительность (8*4=32 чел-дня, 32:7=4,6 ~ 5 дней). \
После изменения исходных расчетных параметров работ критического пути (см. рис. 4.3 над работами 1-2 и 3-5) величина критического пути будет равна установленной продолжительности (25 дней), но график потребует пересчета.
РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Задание 1. Определить продолжительность работ, построить линейный календарный график поточного выполнения работ и эпюру загрузки трудовых ресурсов.
Задание 2.Рассчитать ритмы работы звеньев монтажников и каменщиков и построить циклограмму ритмичного потока при сооружении наземной части 6-ти этажного каркасно-кирпичного здания. Проверить, не превышает ли общее время выполнения работ на этаже 10 дней.
Задание 3.Рассчитать параметры неритмичного потока матричным методом и построить циклограмму выполнения работ на объекте
Задание 4. Составить сетевой график для поточного выполнения работ "нулевого цикла", рассчитать его табличным методом и привязать к календарю по раннему началу, исходя из заданной даты начала строительства объекта:
Задание 5. Построить фрагмент сетевого графика, рассчитать секторным методом и сократить критический путь на заданную величину.
Список литературы
1. Дикман Л.Г. Организация строительного производства: Учебник для строительных вузов - М.: Издательство АСВ. 2002. - 512 с.
2. Организация и планирование строительного производства /Под ред. д-ра техн. наук проф. А.К. Шрейбера. - М: Высшая школа. 1987.
3. Расчет и оптимизация сетевых графиков строительства/В.А. Побожий, СИ. Павленко, В.Я. Целлермаер. - М: Издательство АСВ, 2001. - 240 с.
4. СНиП 3.01.01 - 85 Организация строительного производства - М.: Стройиздат, 1981.
1. Методические указания по организации проведения практических занятий
2. Основные теоретические положения поточной организации работ 3
2.1.Расчет и построение линейного календарного графика 3
2.2.Расчет параметров и построение циклограммы ритмичного потока 4
2.3.Расчет параметров и построение циклограммы неритмичного потока 6
3. Построение и расчет сетевых графиков 8
3.1.Методы построения сетевых графиков 12
3.2.Расчет сетевого графика табличным метолом 12
3.3.Расчет сетевого графика секторным методом 13
3.4.Оптимизация сетевого графика и привязка к календарю 14
4. Раздаточный материал 15
Список литературы
Расчет и анализ сетевых графиков
Основные понятия и определения
1.1. Сетевое планирование и управление (СПУ) - это система планирования комплекса работ, ориентированная на достижение конечной цели. СПУ основано на графическом изображении определенного комплекса работ, отражающих их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность, с последующей оптимизацией разработанного графика при помощи методов прикладной математики и вычислительной техники и его использованием для текущего руководства этими работами.
Объектом управления в системе СПУ является коллектив людей, располагающий определенными ресурсами (людскими, материальными, финансовыми и др.) и выполняющий определенный комплекс работ (проект), призванный обеспечить достижение намеченной цели.
1.2. Сетевой график (сетевая модель или просто сеть) - это модель всего процесса выполнения данного комплекса робот, изображенная в виде ориентированного графа и отражающая взаимосвязь и параметры всех работ.
1.3. Работа - это трудовой процесс, приводящий к некоторому результату и требующий затрат времени и ресурсов. Работой считают и ожидание.
Ожидание - работа не требующая затрат труда (и других ресурсов), но требующая затрат времени.
Работа на сетевом графике обозначается сплошной линией со стрелкой.
Продолжительность работы указывается числом над стрелкой. Единицей измерения продолжительности работ может быть день, неделя, декада, месяц. Длина стрелки выбирается произвольно. Она не отражает продолжительности работы. Работа обозначается шифрами начального и конечного события (ij ). Продолжительность работы tij .
Зависимость или фиктивная работа - логическая связь между двумя или несколькими событиями, не требующими затрат ни времени, ни ресурсов. На графике фиктивная работа обозначается пунктирной стрелкой.
1.4. Событие - это результат свершения одной или нескольких работ, дающий возможность начать одну либо несколько следующих работ. Событие не имеет продолжительности по времени, оно означает лишь факт свершения какой-то работы. Событие на графике изображается кружком (i ), внутри которого, указывается номер его. Событие, за которым следует работа, называется начальным (обозначается индексом – i ), а которому предшествует робота - конечным (j ). В сети существует одно исходное событие (J ) и одно завершающее – (С).
I.5. Путь - это любая последовательность робот сетевой модели, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней. Путь обозначается индексом (L ). Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей вводящих в данный путь, работ и обозначается t(L ). Различают путь полный (L (J - C )), т. е. путь от исходного события до завершающего, и путь от любого события до другого L (m 1 - m 2).
Критический путь - это полный путь, обладающий максимальной продолжительностью из всех возможных на данном графике – L кр. В сетевом графике может быть несколько критических путей. Критический путь определяет срок выполнения данного комплекса работ (проекта в целом).
По построенной сетевой модели для каждой работы определяется ожидаемая продолжительность ее выполнения - t ож, а также дисперсия времени выполнения работы - .
В системе СПУ применяются два способа определения времени выполнения работ. В том случае, если работа часто повторяется (то есть имеются некоторые нормативные данные о ее продолжительности), или имеет достаточно близкий прототип, то продолжительность работы определяется однозначно (сети с детерминированными оценками). Но для большинства работ, выполняющихся впервые (например, научно-исследовательских, экспериментальных, опытно-конструкторских) этого сделать нельзя. В этом случае продолжительность выполнения работ носит неопределенный характер и для оценки времени ее выполнения применяют методы математической статистики. Продолжительность работы считается случайной величиной, подчиненной определенному закону распределения и ожидаемое время ее выполнения (а также и дисперсия) рассчитывается по определенным аппроксимирующим формулам на основании экспертных оценок, полученных от ответственных исполнителей работ.
Рассчитанная таким образом продолжительность выполнения работы представляет собой, с известным приближением, математическое ожидание времени ее выполнения, как случайной величины, подчиненной принятому закону ее распределения.
В практике СПУ наиболее широкое применение получили следующие формулы для определения ожидаемой продолжительности работы и дисперсии времени ее выполнения.
Ниже приведены три разновидности этих формул, которые соответствуют вариантам индивидуальных заданий:
1-й способ 
; 
;
2-й способ ; 
;
3-й способ 
; 
.
Для расчета по этим формулам от ответственных исполнителей получают путем опроса следующие экспертные оценки времени выполнения работ:
а (или tmin ) - минимальная (оптимистическая) продолжительность работы, т. е. оценка продолжительности работы в предположении наиболее благоприятного стечения обстоятельств;
b (или tmax ) - максимальная (пессимистическая) продолжительность работы, т. е. продолжительность работы в предположении наиболее неблагоприятного стечения обстоятельств;
m (или t н. в.) - наиболее вероятная оценка продолжительности работы - оценка продолжительности при наиболее часто встречающихся условиях выполнения работы.
Расчет параметров сетевого графика
Параметрами сетевого графика называются величины, характеризующие положение работ и событий, которые дают возможность проанализировать состояние работ и принять необходимые решения. Исходными для определения всех временных параметров сетевых моделей служит продолжительность работы (tij). На основании продолжительности работ в сетевом графике определяются его временные параметры, основными из них являются следующие.
1. Продолжительность пути
,
где К - количество работ, входящих в данный путь.
Таким образом, продолжительность пути это суммарная продолжительность работ, составляющих данный путь.
Продолжительность критического пути
Ткр = t [L (J -C )max ] .
Продолжительность критического пути определяет срок наступления завершающего события сети, то есть определяет срок выполнения проекта (планируемого комплекса работ) в целом.
2. Резерв времени пути - это разность между продолжительностью критического и данного пути. Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих данному пути, не изменяя срока выполнения проектов
R (L ) = Tкр - t (L ) .
3. Ранний срок свершения события - срок, необходимый для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i
Тр(i ) = t [L (J -i )max ] или Тр(j ) = max .
Ранний срок исходного события сети принимается равным нулю: Тр(J ) = 0 .
4. Поздний срок свершения события - это наиболее поздний из допустимых сроков свершения события, превышение которого на какую-то величину вызывает аналогичную задержку наступления завершающего события
Тп(i ) = Tкр - t [(i -C )max ] или Тп(i ) = [Тп(j )-tij ]min .
Поздний срок завершающего события равен его раннему сроку Тп(С )=Тр(С ), это же имеет место и для событий, лежащих на критическом пути Тр(i ) = Тп(i ).
5. Резерв времени свершения события - это такой предельно допустимый срок, на который можно задерживать свершение данного события, не вызывая при этом увеличения продолжительности критического пути (то есть не изменяя срока свершения завершающего события), то есть всего проекта в целом.
У событий, лежащих на критическом пути, резервов времени не существует. Резерв времени события определяется следующим образом:
R (i ) = Tп(i ) - Tp(i ) = R (Lmax ) .
Резерв времени события равен резерву времени максимального из путей, проходящих через данное событие.
6. Ранний срок начала работы - это самый ранний из возможных сроков начала работы: t р. н.(ij ) = Tp(i ) .
7. Ранний срок окончания работы - это самый ранний из возможных сроков окончания работы
t р. о.(ij ) = t р. н.(ij ) + tij = Tp(i ) + tij .
8. Поздний срок начала работы - самый поздний срок начала работы, при котором не увеличивается продолжительность критического пути, т. е. срок окончания проекта в целом
t п. н.(ij ) = t п. о.(ij ) - tij = Tп(j ) - tij .
9. Поздний срок окончания работы - самый поздний срок окончания работы, при котором не увеличивается продолжительность критического пути, то е. сть срок окончания проекта
t п. о.(ij ) = Tп(j ) .
Для работ критического пути:
t р. н.(ij ) = t п. н.(ij ) и t р. о.(ij ) = t п. о.(ij ) .
10. Полный резерв времени работы - это величина резерва времени максимального из путей, проходящих через данную работу. Он равен разности между поздним сроком наступления события и ранним сроком наступления события за вычетом продолжительности работы
R п(ij ) = Tп(j ) - Tp(i ) - tij .
Полный резерв времени работы показывает, на сколько может быть увеличена продолжительность отдельной работы или отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути (то есть, чтобы не изменился срок выполнения проекта в целом).
Использование полного резерва целиком на данной работе отнимает все полные резервы времени у работ, лежащих на всех путях, которые проходят через данную работу.
Полный резерв времени работ критического пути равен нулю, а для остальных работ он положителен.
11. Свободный резерв времени работы - равен разности между ранними сроками наступления событий j и i за вычетом продолжительности работы (ij ):
R c(ij ) = Tp(j ) - Tp(i ) - tij .
Свободный резерв представляет собой часть полного резерва времени работы. Он указывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность отдельной работы, или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ, при условии, что непосредственно предшествующее событие наступило в свой ранний срок.
В качестве плановых сроков начала работ берутся при этом ранние сроки наступления событий. Сводный резерв времени является в определенном смысле независимым резервом, то есть использование его на одной из работ не меняет величины свободных резервов времени остальных работ сети.
3.12. Коэффициент напряженности работы используется в сетевом планировании для характеристики напряженности сроков выполнения работ и определяется по следующей формуле:
,
где t (Lmax ) - продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу;
t ¢(L кр) - продолжительность отрезка пути t (Lmax ), совпадающего с критическим путем.
С помощью коэффициента напряженности получают оценку напряженности работ, лежащих на путях равной продолжительности и обладающих одинаковыми резервами времени.
Величина коэффициента напряженности у разных работ в сети лежит в пределах 0 £ Кн(ij ) £ i .
Для всех работ критического пути Кн(ij ) = 1.
Величина коэффициента напряженности помогает при установлении плановых сроков выполнения работ оценить, насколько свободно можно располагать имеющимися резервами времени. Этот коэффициент дает исполнителям работ предоставления степени срочности работ и позволяет установить очередность их выполнения, если она не определяется технологическими связями работ.
Способы расчета параметров сетевых графиков
Существует два способа ручного расчета параметров сетевых графиков (причем, в литературе по СПУ встречаются различные разновидности данных способов): непосредственно на графике; табличный способ.
1. Первый способ (расчет параметров непосредственно на графике) предусматривает определение, как правило, следующих параметров, ранних сроков свершения событий, поздних сроков свершения событий, резервов времени свершения событий и критического пути. При расчете по этому способу кружок, изображающий событие, делится на четыре сектора. Верхний сектор отводится для номера события - i , левый сектор для раннего срока свершения события Тр(i ), правый для позднего срока свершения события Тп(i ), а нижний сектор для резерва времени свершения события - R (i )
Расчет параметров производится на основании приведенных выше определений и формул (логических соотношений) по определенным правилам. Расчет начинается с определения ранних сроков свершения событий - Tp(i ). Определение Tp(i ) начинается с исходного события и далее через последующие события к завершающему (то есть расчет ведется слева направо), руководствуясь следующим общим правилом для определения ранних сроков событий.
Ранний срок свершения события j определяется путем прибавления к раннему сроку предшествующего ему события i продолжительности работы, ведущей к событию j . В том случае, если в событие j входит несколько работ, нужно определить ранний срок по каждой из этих работ и из них выбрать максимальный, который и будет ранним сроком свершения события j . Для исходного события J ранний срок его свершения принимается равным нулю.
Tp(J ) = 0 .
Определение поздних сроков свершения событий производится в обратном порядке, то есть справа налево, то есть от завершающего события к исходному. При определении поздних сроков принимается, что для завершающего события ранний срок его свершения является одновременно и наиболее поздним.
Тр(С ) = Тп(С ) .
Поздний срок свершения события j определяется путем вычитания из позднего срока предшествующего ему события i продолжительности работы, ведущей к этому событию j .
В случае, если к событию j подходит несколько работ, то определяется величина позднего срока по каждой из этих работ и из них выбирается минимальная, которая и будет определять поздний срок свершения данного события.
Резерв времени события i определяется непосредственно на сети путем вычитания из величины, записанной в правом секторе события Тп(i ) величины, записанной в левом секторе - Тр(i ). Найденная величина и является резервом времени свершения события и записывается в нижнем секторе события.
Все события в сети, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв времени. Критический путь определится в результате выявления всех последовательно лежащих событий с резервами, равными нулю, а его продолжительность величиной позднего (тоже самое раннего) срока свершения завершающего события.
На рис. 1 приведен расчет сети непосредственно на графике.
Рис. 1. Расчет параметров сетевого графика
2. При табличном способе расчета определяются, как правило, параметры, относящиеся к работам, а именно: ранние и поздние сроки начал и окончаний работ, резервы времени работ. Расчет параметров в этом случае производится в таблице по определенной форме. Пример такого расчета для сетевого графика, изображенного на рис. 1, показан в нижеприводимой табл. 1.
Расчет табличным способом может производиться либо только на основании формул и сетевого графика с параметрами событий, либо по определенным правилам (алгоритмам). В последнем случае состав параметров и последовательность их расположения может быть иной. Расчет по таким алгоритмам излагается в литературе (см. список литературы).
Таблица 1
Расчет параметров работ сетевого графика
|
i -j |
Продолжительность работы, tij |
Раннее начало работы, t р. н. |
Раннее окончание работы, t р. о. |
Позднее начало работы, t п. н. |
Позднее окончание работы, t п. о. |
Резервы времени |
Коэффициент напряженности работы, К н |
|
|
полный, R п |
свободный, R с |
|||||||
Анализ и оптимизация сетевого графика
После расчета параметров сетевого графика производится его анализ, и в нужных случаях, его оптимизация. Задачами анализа является пересмотр структуры сети с целью определения возможности увеличения числа параллельно выполняемых работ, определение коэффициентов напряженности работ, что позволяет наряду с расчетом резервов времени работ и путей, распределить все работы по зонам (критическая, подкритическая и резервная). Важной задачей анализа сетевого графика является определение вероятности свершения завершающего события в заданный срок.
Заданный срок свершения завершающего события (то есть директивный срок выполнения проекта) Тд может отличаться от расчетного Ткр, полученного на основе критического пути, но, несмотря на это (в силу того, что ожидаемые продолжительности работ определялись как случайные величины) сохраняется определенная вероятность, что завершающее событие наступит в заданный директивный срок или раньше его. При определении этой вероятности принимается, что продолжительность выполнения проекта (то есть величина критического пути) является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения.
Аналитическая вероятность того, что завершающее событие наступит в заданный (директивный) срок или ранее него, определяется следующим образом:
,
где 
- соответствующее значение функции Ф(Z
), взятое из таблицы нормального распределения; Z
- аргумент нормальной функции распределения вероятности.
Среднее квадратичное отклонение срока наступления завершающего события определяется по формуле:
,
где ij кр - последовательность работ, лежащих на критическом пути;
К - количество работ, составляющих критический путь;
Дисперсия работы, лежащей на критическом пути.
Пример. Для графика, изображенного на рис. 1, определить вероятность выполнения проекта в заданный директивный срок, равный 8 ед. времени. Ранее было определено, что расчетный срок выполнения проекта составляет Ткр = 9 ед. Предположим, что также определены и дисперсии работ, составляющих критический путь, пусть например:
тогда и 
.
Пользуясь таблицей значений функции Лапласа по величине Z = - 1,7 (см. табл. 2), находим искомую вероятность РК » 0,045.
Вывод. При планировании в системах СПУ принято, что если:
0,85 < РК < 0,65 - то это считается границами допустимого риска (то есть считается нормальным положением); при РК < 0,85 - то считается, что опасность нарушения заданного срока очень большая (неприемлема) и необходимо в этом случае и произвести повторное планирование с перераспределением ресурсов с целью минимизации срока выполнения проекта; при РК > 0,65 - считается вероятность слишком велика, то есть на работах критического пути имеются избыточные ресурсы. В этом случае тоже производят повторное планирование с целью сокращения потребных ресурсов.
При невозможности достижения удовлетворительного значения РК может потребоваться изменение заданного срока выполнения проекта. Эта задача решается как обратная рассмотренной выше. Задаваясь желаемой величиной вероятности РК свершения завершающего события в заданный срок, можно из вышеприведенного уравнения определить значение функции 
, и, зная величины Ткр и , определить величину Тд.
После анализа сетевого графика в необходимых случаях проводится его оптимизация. Она необходима для обеспечения большей надежности свершения завершающего события в заданный срок, для выравнивания загрузки работников, лучшего распределения ресурсов и т. д. Оптимизация графика во времени (то есть достижение минимального срока выполнения проекта при заданных ресурсах) производится путем переброски ресурсов с некритических путей, имеющих резервы времени, на критический путь, что приводит к сокращению его продолжительности. В пределе продолжительности всех полных путей могут быть равны и являются критическими и тогда все работы ведутся с одинаковым напряжением, а общий срок выполнения проекта существенно сократится.
Таблица 2
Таблица значений функции Лапласа Рк = Ф (Z )
- 1. Выделить критический путь и найти его длину;
- 2. Определить резервы времени каждого события;
- 3. Определить резервы времени всех работ и коэффициент напряженности работы предпоследней работы
Решение
Для решения задачи применим следующие обозначения.
|
Элемент сети |
Наименование параметра |
Условное обозначение параметра |
|
Событие i |
Ранний срок свершения события |
|
|
Поздний срок свершения события |
||
|
Резерв времени события |
||
|
Работа (i, j) |
Продолжительность работы |
|
|
Ранний срок начала работы |
||
|
Ранний срок окончания работы |
||
|
Поздний срок начала работы |
||
|
Поздний срок окончания работы |
||
|
Полный резерв времени работы |
||
|
Продолжительность пути |
||
|
Продолжительность критического пути |
||
|
Резерв времени пути |
Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние t p и наиболее поздние t п сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:
t p (i) = max(t(L ni)) (1)
где L ni - любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети.
Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:
t p (j) = max (2)
Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i-ого события равен:
t п (i) = t kp - max(t(L ci)) (3)
где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети.
Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:
t п (i) = min
Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:
R(i) = t п (i) - t p (i)
Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.
Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.
При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2).
Расчет сроков свершения событий.
Для i=0 (начального события), очевидно tp(0)=0.
i=1: t p (1) = t p (0) + t(0,1) = 0 + 0 = 0.
i=2: t p (2) = t p (1) + t(1,2) = 0 + 8 = 8.
i=3: t p (3) = t p (1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3.
i=4: max(t p (2) + t(2,4);t p (3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.
i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.
i=6: max(t p (4) + t(4,6);t p (5) + t(5,6)) = max(14 + 5;14 + 3) = 19.
i=7: t p (7) = t p (6) + t(6,7) = 19 + 9 = 28.
i=8: max(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = max(8 + 18;19 + 5;28 + 4) = 32.
i=9: max(t p (5) + t(5,9);t p (7) + t(7,9)) = max(14 + 2;28 + 4) = 32.
i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2;32 + 0) = 32.
i=11: max(t p (8) + t(8,11);t p (10) + t(10,11)) = max(32 + 12;32 + 4) = 44.
Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11: t kp =tp(11)=44
При определении поздних сроков свершения событий t п (i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).
Для i=11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t п (11)= t р (11)=44
i=10: t п (10) = t п (11) - t(10,11) = 44 - 4 = 40.
i=9: t п (9) = t п (10) - t(9,10) = 40 - 0 = 40.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 8.
i=8: t п (8) = t п (11) - t(8,11) = 44 - 12 = 32.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 7.
i=7: min(t п (8) - t(7,8);t п (9) - t(7,9);t п (10) - t(7,10)) = min(32 - 4;40 - 4;40 - 2) = 28.
i=6: min(t п (7) - t(6,7);t п (8) - t(6,8)) = min(28 - 9;32 - 5) = 19.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.
i=5: min(t п (6) - t(5,6);t п (9) - t(5,9)) = min(19 - 3;40 - 2) = 16.
i=4: min(t п (5) - t(4,5);t п (6) - t(4,6);t п (10) - t(4,10)) = min(16 - 0;19 - 5;40 - 4) = 14.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.
i=3: t п (3) = t п (4) - t(3,4) = 14 - 3 = 11.
i=2: min(t п (4) - t(2,4);t п (8) - t(2,8)) = min(14 - 6;32 - 18) = 8.
i=1: min(t п (2) - t(1,2);t п (3) - t(1,3)) = min(8 - 8;11 - 3) = 0.
(0,1): 0 - 0 = 0;
Таблица 1 - Расчет резерва событий
|
Номер события |
Сроки свершения события: ранний tp(i) |
Сроки свершения события: поздний tп(i) |
Резерв времени, R(i) |
Заполнение таблицы 2.
Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 0, затем с номера 1 и т.д.
Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.
Так, для работы (1,2) в графу 1 поставим число 1, т.к. на номер 1 оканчиваются 1 работы: (0,1).
Графу 4 получаем из таблицы 1 (t p (i)). Графу 7 получаем из таблицы 1 (t п (i)).
Значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4.
В графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);
Содержимое графы 8 (полный резерв времени R(ij)) равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5. Если R(ij) равен нулю, то работа является критической
Таблица 2 - Анализ сетевой модели по времени
|
Работа (i,j) |
Количество предшествующих работ |
Продолжительность tij |
Ранние сроки: начало tijР.Н. |
Ранние сроки: окончание tijР.О. |
Поздние сроки: начало tijП.Н. |
Поздние сроки: окончание tijП.О. |
Резервы времени: полный RijП |
Независимый резерв времени RijН |
Частный резерв I рода, Rij1 |
Частный резерв II рода, RijC |
Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще три разновидности резервов. Частный резерв времени первого вида R 1 - часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R 1 находится по формуле:
R(i,j)= R п (i,j) - R(i)
Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:
R(i,j)= R п (i,j) - R(j)
Значение свободного резерва времени работы указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.
Независимый резерв времени Rн работы (i,j) - часть полного резерва, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние сроки. Rн находится по формуле:
R(i,j)= Rп(i,j)- R(i) - R(j)
Критический путь : (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)
Продолжительность критического пути: 44
Найдем коэффициент напряженности работы предпоследней работы. Так как длина критического пути 44, максимальный путь, проходящий через работу (1,10) равен 32, тогда
К(1,10)=(32-28)/(44-28)=0,296.
4. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 акзаов в час. Если свобдных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие
Интенсивность потока обслуживания:
Интенсивность нагрузки:
с = л * t обс = 6 * 25/60 = 2.5
Интенсивность нагрузки с=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = с 1 /1! p 0 = 2.5 1 /1! * 0.0857 = 0.214
заняты 2 канала:
p 2 = с 2 /2! p 0 = 2.5 2 /2! * 0.0857 = 0.268
заняты 3 канала:
p 3 = с 3 /3! p 0 = 2.5 3 /3! * 0.0857 = 0.223
заняты 4 канала:
p 4 = с 4 /4! p 0 = 2.5 4 /4! * 0.0857 = 0.139
заняты 5 канала:
p 5 = с 5 /5! p 0 = 2.5 5 /5! * 0.0857 = 0.0697
Вероятность отказа- это доля заявок, получивших отказ:
Значит, 7% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
Вероятность обслуживания поступающих заявок -вероятность того, что клиент будет обслужен:
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность Q = p обс .
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0697 = 0.93
Следовательно, 93% из числа поступивших заявок будут обслужены. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
n з = с * p обс = 2.5 * 0.93 = 2.326 канала.
Среднее число простаивающих каналов .
n пр = n - n з = 5 - 2.326 = 2.7 канала.
Коэффициент занятости каналов обслуживанием .
Следовательно, система на 50% занята обслуживанием.
Абсолютная пропускная способность
A = pобс * л = 0.93 * 6 = 5.581 заявок/час.
Среднее время простоя СМО .
t пр = p отк * t обс = 0.0697 * 0.417 = 0.029 час.
Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = с * Q = 2.5 * 0.93 = 2.326 ед.
Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).
Число заявок, получивших отказ в течение часа: л * p 1 = 0.418 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 5 / 0.417 = 12.002 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 5.581 / 12.002 = 47% от номинальной производительности.
Определим количество каналов, необходимых для обеспечения работоспособности системы с вероятностью P ? 0.95
Для этого находим n из условия:
Найдем вероятность того, что если в системе будет 6 каналов и все они будут заняты:
С помощью данной программы можно онлайн определить параметры сетевого графика
(рассчитать сроки свершения событий, резервы времени и критический путь), найти коэффициенты напряженности. Оптимизация сетевого графика проводится по следующим критериям: число исполнителей, резервы-затраты, сокращение сроков.
Сетевой график можно нарисовать, а также задать в виде матрицы или таблицы (меню Операции).
Размеры графического полотна
Ширина Высота
● ■ ▲ ⊗ ↔ ✍ ⊗
параметры сетевой модели (критический путь, резервы времени, построить диаграмму Ганта и многое другое).Для сформированного графа можно выполнить следующее действия:
Инструкция к сервису
Для добавления вершины на графическое полотно необходимо использовать соответствующую фигуре кнопку Добавить. Новый объект также можно вставить, предварительно выделив его левой кнопкой мыши, а затем щелкнуть мышкой на рабочем поле. Нумерация вершин может начинаться с 0 , для этого нужно снять отметку с пункта Нумерация вершин с №1 .
1 2 3 4
1 10 30 15
Нумерация вершин с 0
0 1 2 3
1 10 30 15
Чтобы соединить вершины, их необходимо предварительно выбрать (один клик мыши по объекту), а затем нажать на кнопку Соединить.
Сетевая модель может быть представлена в табличной форме и в виде матрицы весов (матрицы расстояний). Чтобы использовать данные представления, выберите меню Операции.
Основные определения
Ориентированный граф , в котором существует лишь одна вершина, не имеющая входящих дуг, и лишь одна вершина, не имеющая выходящих дуг, называется сетью . Сеть, моделирующая комплекс работ, называется его сетевой моделью или сетевым графиком . Дуги, соединяющие вершины графа, ориентированы в направлении достижения результата при осуществлении комплекса работ.Наиболее распространен способ представления моделируемого комплекса работ в понятиях работ и событий .
Понятие «работа» имеет следующие значения:
- «действительная работа» – процесс, требующий затрат времени и ресурсов;
- «фиктивная работа» – логическая связь между двумя или несколькими работами, указывающая на то, что начало одной работы зависит от результатов другой. Фиктивная работа не требует затрат времени и ресурсов, продолжительность ее равна нулю.
На сетевой модели событиям соответствуют вершины графа.
Правила построения сетевой модели
Правило 1 . Каждая операция в сети представляется одной и только одной дугой (стрелкой). Ни одна из операций не должна появляться в модели дважды. При этом следует различать случай, когда какая-либо операция разбивается на части; тогда каждая часть изображается отдельной дугой.Правило 2 . Ни одна пара операций не должна определяться одинаковыми начальным и конечным событиями. Возможность неоднозначного определения операций через события появляется в случае, когда две или большее число операций допустимо выполнять одновременно.
Правило 3
. При включении каждой операции в сетевую модель для обеспечения правильного упорядочения необходимо дать ответы на следующие вопросы:
а) Какие операции необходимо завершить непосредственно перед началом рассматриваемой операции?
б) Какие операции должны непосредственно следовать после завершения данной операции?
в) Какие операции могут выполняться одновременно с рассматриваемой?
При построении сетевого графика следует соблюдать следующие правила:
- в сети не должно быть "тупиков", т.е., событий, от которых не начинается ни одна работа, исключая завершающее событие графика;
- В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий, то есть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа, за исключением исходного.
- в сети не должно быть замкнутых контуров (рис.1);
- Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой.
- В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие.
- Сетевой график должен быть упорядочен. То есть события и работы должны располагаться так, чтобы для любой работы предшествующее ей событие было расположено левее и имело меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием.
завершается кружком – событием, в котором проставляется номер этого события. Нумерация событий произвольная. На следующем этапе построения изображаем работы, которым предшествуют уже нарисованные работы (то есть которые опираются на уже построенные работы) и т. д. На следующем этапе отражаем логические взаимосвязи между работами и определяем конечное событие сетевого графика, на которое не опираются никакие работы. Построение закончено, далее необходимо провести упорядочение сетевого графика.
Методы оптимизации сетевого графика
Логико-математическое описание, формирование планов и управляющих воздействий осуществляется на базе использования особого класса моделей, называемых сетевыми моделями .После построения и расчета сетевого графика (определения его параметров), выполнения анализа графика, заключающегося в оценке его целесообразности и структуры, оценке загрузки исполнителей, оценке вероятности наступления завершающего события в заданный срок, следует приступать к оптимизации сетевого графика. Процедура оптимизации заключается в приведение графика в соответствие с заданными сроками выполнения работ, возможностями подрядных организаций и т.д. В общем случае под оптимизацией следует понимать процесс улучшения организации выполнения работ.
Для возможности оптимизации сетевой модели, все исходные данные вводятся в виде таблицы (Операции/Добавить в виде таблицы).
- Оптимизация сетевой модели по критерию "число исполнителей". Заполняется столбец Количество исполнителей Ч
- Оптимизация сетевой модели по критерию "затраты". Заполняется столбец Коэффициент затрат на ускорение работ, h(i,j) .
- Оптимизация сетевого графика методом "время – стоимость". Заполняются столбцы t опт, Минимальное время работ, t min , Нормальная стоимость, Cн и Срочная стоимость, Cc .
Примеры сетевых моделей
Рассмотрим варианты сетевых графиков из кулинарной области на примере варки борща из курицы. а) Варка в обычной посуде10 2 3 4 5 1 10 30 15 7
Работы:
1,3: варить курицу, 30 мин.
2,3: положить капусту и варить 10 мин.
3,4: положить 1/2 свеклы, морковь и картофель. Варить 15 мин.
4,5: доложить остатки свеклы, лук, зелень. Варить 7 мин.
б) Варка в посуде с эффектом русской печи (трехслойное дно, крышка без отверстий) 1 2 3 4 5 10 10 20 30 60
Работы:
1,2: чистка овощей (капуста, морковь, картофель, свекла, лук), 10 мин.
1,4: варить курицу в обычной посуде, 30 мин.
2,3: положить овощи в спецпосуду, добавить 3 ложки воды, нагреть до T=70 C и выключить, 10 мин.
3,4: приготовление овощей в собственном соку, 20 мин.
4,5: добавить к курице приготовленные овощи. Настаивается 60 мин.
Список литературы
- Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. Пер. с нем. –М.: Мир, 1990.
- Таха Х. Введение в исследование операций. В 2-х книгах. Кн. 2. Пер. с англ. –М.: мир, 1985.
- Управление в системах РАВ: Учебник. –Л.: Воениздат, 1980.
Свойства вершины
Текст
Размер Цвет
Толщина Цвет
пунктирная - - - -Размеры в px и фон
w h
Отмена
Соединение (дуга)
Текст (вес)
Размер Цвет
Толщина Цвет
пунктирная - - -концевой маркер →
Любая последовательность работ сетевого графика, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем .
Путь сетевого графика, в котором начальная точка совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим событием, называется полным.
Путь от исходного события до любого взятого предшествует данному событию. Предшествующий событию путь, имеющий наибольшую длину, называется максимальным предшествующим . Он обозначается L 1 (i), а его продолжительность t.
Путь, соединяющий любое взятое событие с завершающим, называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной называется максимально последующим и обозначается L 2 (i), а его продолжительность t.
Полный путь, имеющий наибольшую длину, называется критическим . Пути, отличные от критического, называются ненапряженными . Они имеют резервы времени.
Работы критического пути выделяются жирными линиями или двойными. Продолжительность критического пути считается главным параметром графика.
Рассмотрим алгоритм определения критического пути на сетевом графике, использующий алгоритм метода динамического программирования.
Упорядочим вершины графика по рангам и пронумеруем их с конца к началу. Это позволит совместить номера рангов с этапами попятного движения при отыскании условно-оптимальных управлений на последнем, двух последних и т.д. этапах. Нахождение критического пути разберем на примере сетевого графика, изображенного на рис. 10.7.
Согласно принципу оптимальности Беллмана , оптимальное управление на каждом этапе определяется целью управления и состоянием на начало этапа. Состояние системы - это события, лежащие на рангах. Для совершения конечного события Х 16 необходимо совершение предшествующих событий. Возможные состояния системы на начало последнего этапа работ - совершение событий Х 14 и Х 15. В кружках у точек Х 14 и Х 15 поставим максимальную продолжительность работ на последнем этапе: Х 14 5 , Х 15 7 . Найдем максимальную продолжительность работ на двух последних этапах. Состояние системы на начало предпоследнего этапа обусловлено событием Х 13. Максимальная продолжительность пути, ведущая из Х 13 к Х 16 равна .
Следовательно, в кружке у события Х 13 нужно поставить число 14 и т.д. Проводя этапы от конца к началу, узнаем длину критического пути t кр =96. Чтобы найти сам критический путь, процесс вычислений пройдем от начального события Х 1 к конечному Х 16 . Число 96 на первом этапе (от начала) мы получили, прибавив 16 к числу 80. Следовательно, критический путь на этом этапе будет равен (Х 1 , Х 3). Число 80 = 16 + 64. Следовательно, критический путь на втором этапе проходит через работу (Х 3 , Х 4) и т.д. На графике он выделен жирной линией:
X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .
Ранние и поздние сроки свершения событий. Резерв времени событий
Все пути, отличные по продолжительности от критического, располагают резервами времени. Разность между длиной критического пути и любого некритического называется полным резервом времени данного некритического пути и обозначается : 
.
Ранним сроком свершения события называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е. определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего событию , т.е.:
или 
Чтобы найти ранний срок совершения события j , нужно знать критический путь ориентированного подграфа, состоящего из множества путей, предшествующих данному событию j . Ранний срок исходного события равен нулю: t p (1)=0.
Поздним сроком
совершения события
называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Самый поздний из допустимых сроков свершения события в сумме с продолжительностью выполнения всех последующих работ должен не превышать длины критического пути. Поздний срок свершения события вычисляется как разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального из последующих за событием путей : 
Для событий, лежащих на критическом пути, ранний и поздний сроки свершения этих событий совпадают .
Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события : 
. Интервал называется интервалом свободы события . Резерв времени события показывает максимально допустимое время, на которое можно отодвинуть момент его свершения, не увеличивая критический путь.
Так как сумма 
определяет продолжительность пути максимальной длины, проходящего через это событие, то , т.е. резерв времени любого события равен полному резерву времени максимального пути, проходящего через это событие .
При расчете временных параметров вручную удобно пользоваться четырехсекторным способом. При этом способе кружок сетевого графика, обозначающий событие, делится на четыре сектора. В верхнем секторе ставится номер события; в левом - наиболее раннее из возможных время свершения события (); в правом - наиболее позднее из допустимых время свершения события ; в нижнем секторе - резерв времени данного события : 
.
Для вычисления раннего срока свершения событий: 
, применяем формулу 
, рассматривая события в порядке возрастания номеров, от начального к завершающему, по входящим в это событие работам.
Поздний срок свершения событий вычисляем по формуле 
, начиная с конечного события, для которого ( - номер конечного события), по выходящим из него работам.
Критические события имеют резерв времени равный нулю. Они и определяют критические работы и критический путь.
Пример 10.2 . Пусть задан сетевой график, изображенный на рис. 10.8.
Решение. Вычислим ранние сроки свершения событий :
Итак, завершающее событие может произойти лишь на 14-ый день от начала выполнения проекта. Это максимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Оно определяется самым длинным путем. Ранний срок свершения работы 6 =14 совпадает с критическим временем кр - суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути. Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие 6 , , длина критического пути определила работы (5, 6), так как ( 5 + 56)=14. Поэтому работа (5, 6) - критическая и т.д. Работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) определили критический путь: кр = (1-3-4-5-6).
Вычислим теперь поздние сроки свершения событий . Положим . Воспользуемся методом динамического программирования. Все расчеты будем вести от завершающего события к начальному событию. Поздние сроки свершения событий равны:
Так как после события 5 для завершения проекта нужно выполнить работу (5, 6) длительностью 3 дня. Из события 4 выходят две работы, поэтому:
Резерв времени для события 2 равен: . Резервы остальных событий равны нулю, так как эти события критические.
Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Определение резервов времени работ. Полный резерв времени работ.
Событие, непосредственно предшествующее данной работе, будем называть начальным и обозначать , а событие, непосредственно следующее за ней, - конечным и обозначать . Тогда любую работу будем обозначать . Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.
Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события : .
Ранний срок окончания работы
равен сумме раннего срока свершения начального события и продолжительности этой работы: 
или 
.
Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события : .
Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и величиной этой работы:
Поскольку сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.
Полный резерв времени работы - это максимальное время, необходимое для выполнения любой работы без превышения критического пути. Он вычисляется как разность между поздним сроком свершения конечного события и ранним сроком времени для выполнения самой работы: . Так как , то .
Таким образом, полный резерв времени работы - это максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.
Свободный резерв времени работы - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: .
Загрузка...