Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Правильная шестиугольная пирамида, пересе­ченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рис. 180.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным сле-

дом P v плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, кото­рые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды.

Действительный вид фигуры сечения в этом примере определяется способом совмещения.

Развертка боковой поверхности усеченной пи­рамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рис. 180, б.

Сначала строят развертку неусеченной пирами­ды, все грани которой, имеющие форму треуголь­ника, одинаковы. На плоскости намечают точку s l (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s"e" или s"b", так как эти ребра парал­лельны плоскости W и изображаются на ней дей­ствительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например а 1 , откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника – основания пира­миды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок ab). Точки a 1 ...f 1 соединяют прямыми с вершиной s 1 . Затем от вершины a 1 на этих пря­мых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.

На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух от-

резкое – s"5 и s"2. Действительные длины ос­тальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину s. Например, повер­нув отрезок s"6" около оси до положения, парал­лельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 6" провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE или SB. Отрезок s"6 0 ″ (см. рис. 180).

Полученные точки 1 1 2 1 , 3 1 , и т.д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.

Построение изометрической проекции усечен­ной пирамиды начинают с построения изометри­ческой проекции основания пирамиды по разме­рам, взятым с горизонтальной проекции комплек­сного чертежа. Затем на плоскости основания по координатам точек 1...6 строят горизонтальную проекцию сечения (см. тонкие синие линии на рис. 180, а, в). Из вершин полученного шести­угольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фрон­тальной или профильной проекций призмы, на­пример, отрезки К { , К 2 , К 3 и т.д. Полученные точки 1...6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1...6 с вершинами шестиугольни­ка, основания пирамиды, получим изометричес­кую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.

Пример сечения треугольной неправильной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью показан на рис. 181.

Все ребра на трех плоскостях проекций изобра­жены с искажением. Горизонтальная проекция

основания представляет собой его действительный вид, так как основание пирамиды расположено на плоскости Н .

Действительный вид 1 0 , 2 0 , 3 0 фигуры сечения получен способом перемены плоскостей проекций. В данном примере горизонтальная плоскость про­екций Н заменена новой плоскостью, которая параллельна плоскости Р; новая ось х 1 совмещена со следом Р V (рис. 181, а).

Развертку поверхности пирамиды строят следующим образом. Способом вращения находят дей­ствительную длину ребер пирамиды и их отрезков от основания до секущей плоскости Р.

Например, действительные длины ребра SC иего отрезка СЗ равны соответственно длине фрон­тальной проекции s"c" ребра и отрезка c 1 ′3 1 по­сле поворота.

Затем строят развертку треугольной неправильной пирамиды (рис. 181, в). Для этого из произ­вольной точки S проводят прямую, на кот, откладывают действительную длину ребра SA. Из точки s делают засечку радиусом R 1 , равным действительной длине ребра SB, а из точки засечку радиусом R 2 , равным стороне основания пирамиды АВ, в результате чего получают точку b 1 и грань s 1 b 1 a 1 . Затем из точек s и b 1 как из центров, делают засечки радиусами, равными действительной длине ребра SC и стороне ВС получают грань s 1 b 1 с 1 пирамиды. Также строится грань s 1 с 1 a 1 .

От точек а 1 b 1 и с 1 откладывают действительные длины отрезков ребер, которые берут на фронтальной проекции (отрезки а 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′,с 1 ′3 1 ′ ). Используя метод триангуляции, пристраивают основание и фигуру сечения.

Для построения изометрической проекции усе­ченной пирамиды (рис. 181, б) проводят изомет­рическую ось х. По координатам т и п строят основание пирамиды ABC. Сторона основания АС параллельна оси х или совпадает с осью х. Как и в предыдущем примере, строят изометрическую проекцию горизонтальной проекции фигуры сече­ния 1 2 2 2 3 2 (используя точки I, III и IV). Из этих точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают отрезки, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы К 1 , К 2 и К 3 . Полу­ченные точки 1 , 2, 3 соединяют прямыми между собой и с вершинами основания.

Введение

Когда мы начали изучать стереометрические фигуры мы затронули тему «Пирамида». Нам понравилась это тема, потому что пирамида очень часто употребляется в архитектуре. И так как наша будущая профессия архитектора, вдохновившись этой фигурой, мы думаем, что она сможет подтолкнуть нас к отличным проектам.

Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой.

Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.

Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.

Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Цель проекта : узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

· Узнать исторические сведения о пирамиде

· Рассмотреть пирамиду, как геометрическую фигуру

· Найти применение в жизни и архитектуре

· Найти сходство и различие пирамид, расположенных в разных частях света

Теоретическая часть

Исторические сведения

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Основные понятия

Пирамидой называется многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;

Боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра - общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Основные свойства правильной пирамиды

Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.

Двугранные углы при основании равны.

Двугранные углы при боковых ребрах равны.

Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

Основные формулы пирамиды

Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности – сумма площадей всех ее граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

p - периметр основания;

h - апофема.

Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды.

p 1 , p 2 - периметры оснований;

h - апофема.

Р - площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S бок - площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

S 1 + S 2 - площади основания

Объем пирамиды

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

H - высота пирамиды.

Углы пирамиды

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах .

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания .

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды .

Сечения пирамиды

Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.

Диагональное сечение

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.

Параллельные сечения

Теорема :

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

Сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;

Площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины.

Виды пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

У правильной пирамиды:

1. боковые ребра равны

2. боковые грани равны

3. апофемы равны

4. двугранные углы при основании равны

5. двугранные углы при боковых ребрах равны

6. каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания

7. каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды .

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды.

Задачи

№1. В правильной четырехугольной пирамиде точка О – центр основания, SO=8 cм, BD=30 см. Найдите боковое ребро SA.

Решение задач

№1. В правильной пирамиде все грани и ребра равны.

Рассмотрим OSB: OSB-прямоугольный прямоугольник, т. к.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Пирамида в архитектуре

Пирамида - монументальное сооружение в форме обычной правильной геометрической пирамиды, в которой боковые стороны сходятся в одной точке. По функциональному назначению пирамиды в древности были местом захоронения или поклонения культу. Основа пирамиды может быть треугольной, четырехугольной или в форме многоугольника с произвольным числом вершин, но наиболее распространенной версией является четырехугольная основа.

Известно немалое количество пирамид, построенных разными культурами Древнего мира в основном в качестве храмов или монументов. К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды.

По всей Земле можно увидеть архитектурные сооружения в виде пирамид. Здания-пирамиды напоминают о древних временах и очень красиво выглядят.

Египетские пирамиды величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «Семи чудес света» пирамида Хеопса. От подножия до вершины она достигает 137, 3 м, а до того, как утратила верхушку, высота ее была 146, 7 м

Здание радиостанции в столице Словакии, напоминающее перевернутую пирамиду, было построено в 1983 г. Помимо офисов и служебных помещений, внутри объема находится достаточно вместительный концертный зал, который имеет один из самых больших органов в Словакии.

Лувр, который "молчит неизменно и величественно, как пирамида" на протяжении веков перенёс немало изменений прежде, чем превратиться в величайший музей мира. Он родился как крепость, воздвигнутая Филиппом Августом в 1190 г., вскоре превратившаяся в королевскую резиденцию. В 1793 г. дворец становится музеем. Коллекции обогащаются благодаря завещаниям или покупкам.

Введение. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Понятие многогранника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Свойства пирамиды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Усеченная пирамида. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений. . . .9

3. Призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1. Изображение призмы и построение ее

сечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Некоторые свойства параллелепипеда. . . . . . . 16

5. Теорема Эйлера о многогранниках. . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Подобие многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. Сводная таблица многогранников. . . . . . . . . . . 22

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Введение

Как-то Блез Паскаль сказал: «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее». С этой позиции попробуем рассмотреть стереометрию, являющуюся одним из разделов геометрии. Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве. Например, капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет и маленький теннисный шарик, и более крупные предметы - наша планета и многие другие космические объекты. А консервная банка - это цилиндр.

Стереометрия вокруг нас: в быту и в профессиональной деятельности. Мы, безусловно, не можем «увидеть» науку, но можем ежедневно лицезреть объемные тела в пространстве, которые она изучает. Разве не интересно рассматривать себя в зеркале со всех сторон? А ведь человеческая фигура - это тоже объемный предмет.

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, необходимо уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Назовем секущей плоскостью любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает грани фигуры по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

1. Понятие многогранника

Многогранник – геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников. Гранями многогранника называются многоугольники, ограничивающие многогранник (грани - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Ребрами многогранника называются общие стороны смежных граней (ребра - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Вершинами многогранника называются вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящимися в одной точке. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани (BN). Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани (плоскость BEN).

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника его поверхности. Гранями выпуклого многогранника могут быть только выпуклые многоугольники (примером выпуклого многогранника может служить куб, рис. 1).

Если же грани многоугольника самопересекаются, то такой многогранник называется невыпуклым (рис. 2).

Сечением многогранника плоскостью называется часть этой плоскости, ограниченная линией пересечения поверхности многогранника с этой плоскостью.

.

2. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.

Основанием пирамиды называется многогранник, полученный в секущей плоскости (ABCDE). Боковыми гранями пирамиды называются треугольники ASB, BSC, … с общей вершиной S, которая называется вершиной пирамиды. Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, по которым пересекаются боковые грани. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершин пирамиды на плоскость ее основания. Апофемой пирамиды называется высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды.

Пирамида называется правильной , если ее основание - правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника.

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

Рассмотрим правильную пирамиду PA 1 A 2 …A n . Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро PA 1 – гипотенуза треугольника OPA 1 , в котором OP=h, OA 1 =R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно √(h 2 +R 2), поэтому PA 1 =PA 2 =…= PA n .

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды PA 1 A 2 …A n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A 1 A 2 …A n – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды .

Свойства пирамиды

Свойства поперечных сечений пирамиды.

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

· боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональ­ные отрезки;

· в сечении получится многоуголь­ник, подобный многоугольнику, лежащему в ос­новании;

· площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их рас­стояний от вершины пирамиды:

S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

Площадью боковой поверхности (или просто боковой поверхностью) пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности (или просто полная поверхность) пирамиды - сумма площади ее боковой поверхности и площади основания.

Свойства высоты пирамиды

1. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды проходит в плоскости этой грани.

2. Если два смежных боковых ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, проведенном через середину той стороны основания, из концов которой исходят эти боковые ребра.

3. Если две смежные боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного теми сторонами основания, через которые проходят эти боковые грани.

4. Если боковое ребро пирамиды образует равные углы с двумя примыкающими к нему сторонами основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами основания.

5. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно пересекающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, восстановленном (в плоскости основания пирамиды) к этой стороне из точки ее пересечения с этим боковым ребром.

ПРИМЕЧАНИЕ : если пирамида обладает какими - либо двумя из этих особенностей, то можно однозначно указать точку, являющуюся основанием высоты пирамиды.

На рисунке изображен фрагмент правильной n – угольной пирамиды SABCD…, где SH – высота пирамиды; SK – апофема. Введем следующие обозначения: угол альфа (ά ) – угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания; бета (β)– угол между боковой гранью и плоскостью основания; угол игрек (γ) – угол между смежными боковыми ребрами; угол фи (φ) – угол между смежными боковыми гранями.

Если в правильной пирамиде известен один из этих углов, то можно найти остальные три. Шесть отношений приведены в таблице:

Объем пирамиды находится по формуле:

V=1/3S осн H,

где S осн – площадь основания, H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды выражается так:

S бок =1/2Ph,

где P – периметр основания, h – высота боковой грани

2.2. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, например пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD – нижнее основание, а A 1 B 1 C 1 D 1 – верхнее основание).

Высота усеченной пирамиды – отрезок прямой, перпендикулярный основаниям и заключенный между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная , если ее основания – правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани.

Боковой поверхностью усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Полная поверхность усеченной пирамиды равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Усеченная пирамида получается из пирамиды отсечением от нее верхней части плоскостью, параллельной основанию. Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

V=1/3 H(S+√ SS 1 +S 1),

где S и S1 – площади оснований, а H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так:

S бок =1/2(P+P 1)h,

где P и P1 – периметры оснований, h – высота боковой грани (или апофема правильной усеченной пирамиды).

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. а). В частности, также треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды (рис. б).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая - нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани - точка D на рисунке (в) . Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем