Ий линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>> .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)

Решение

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)

Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение :
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .

Варьируем постоянные C 1 и C 2 . То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .

Находим производную :
.
Свяжем функции и уравнением:
(6) .
Тогда
.

Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;



.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные :
;
.

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .

.
.

;
.

Ответ

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)

Решение

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Решаем однородное дифференциальное уравнение:

(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .

Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C 1 и C 2 . То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

.
Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.

Общее решение исходного уравнения:


.

В этом параграфе будет рассмотрен частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т. е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим уравнение

в котором коэффициенты постоянны. Полагая, что деля все члены уравнения на и обозначая

запишем данное уравнение в виде

Как известно, для нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Будем искать частное решение этого уравнения в виде

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (59), получим

Так как , то, сокращая на получим уравнение

Из этого уравнения определяются те значения k, при которых функция будет решением уравнения (59).

Алгебраическое уравнение (61) для определения коэффициента к называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (59).

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.

Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: . В этом случае по формуле (60) находим два частных решения:

Эти два частных решения образуют фундаментальную систему решений на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде не обращается в нуль:

Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле (48) имеет вид

2. Корни характеристического уравнения равные: . В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (60) получаем только одно частное решение

Покажем, что второе частное решение образующее вместе с первым фундаментальную систему, имеет вид

Прежде всего проверим, что функция является решением уравнения (59). Действительно,

Но , так как есть корень характеристического уравнения (61). Кроме того, по теореме Виета Поэтому . Следовательно, , т. е. функция действительно является решением уравнения (59).

Покажем теперь, что найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений. Действительно,

Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

3. Корни характеристического уравнения комплексные. Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т. е. имеют вид: . В этом случае частные решения уравнения (59), согласно формуле (60), будут иметь вид:

Применяя формулы Эйлера (см. гл. XI, § 5 п. 3), выражения для можно записать в виде:

Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные решения, рассмотрим новые функции

Они являются линейными комбинациями решений и, следовательно, сами являются решениями уравнения (59) (см. § 3, п. 2, теорему 1).

Легко показать, что определитель Вронского для этих решений отличен от нуля и, следовательно, решения образуют фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

Приведем в заключение таблицу формул общего решения уравнения (59) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ - непрерывная функция.

В отношении ЛНДУ 2-го с ПК справедливы два следующих утверждения.

Предположим, что некоторая функция $U$ является произвольным частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Предположим также, что некоторая функция $Y$ является общим решением (ОР) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогда ОР ЛНДУ-2 равно сумме указанных частного и общего решений, то есть $y=U+Y$.

Если правая часть ЛНДУ 2-го порядка представляет собой сумму функций, то есть $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+...+f_{r} \left(x\right)$, то сначала можно найти ЧР $U_{1} ,U_{2} ,...,U_{r} $, которые соответствуют каждой из функций $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right),...,f_{r} \left(x\right)$, а уже после этого записать ЧР ЛНДУ-2 в виде $U=U_{1} +U_{2} +...+U_{r} $.

Решение ЛНДУ 2-го порядка с ПК

Очевидно, что вид того или иного ЧР $U$ данного ЛНДУ-2 зависит от конкретного вида его правой части $f\left(x\right)$. Простейшие случаи поиска ЧР ЛНДУ-2 сформулированы в виде четырех следующих правил.

Правило № 1.

Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)=a_{0} \cdot x^{n} +a_{1} \cdot x^{n-1} +...+a_{n-1} \cdot x+a_{n} $, то есть называется многочленом степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных нулю. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом неопределенных коэффициентов (НК).

Правило № 2.

Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)$ представляет собой многочлен степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} \cdot e^{\alpha \cdot x} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha $. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом НК.

Правило № 3.

Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)$, где $a$, $b$ и $\beta $ - известные числа. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right)\cdot x^{r} $, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $i\cdot \beta $. Коэффициенты $A$ и $B$ находят методом НК.

Правило № 4.

Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left$, где $P_{n} \left(x\right)$ - многочлен степени $n$, а $P_{m} \left(x\right)$ - многочлен степени $m$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left\cdot x^{r} $, где $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ - многочлены степени $s$, число $s$ - максимальное из двух чисел $n$ и $m$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha +i\cdot \beta $. Коэффициенты многочленов $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ находят методом НК.

Метод НК состоит в применении следующего правила. Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочлена, которые входят в состав частного решения неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ-2, необходимо:

• подставить ЧР $U$, записанное в общем виде, в левую часть ЛНДУ-2;
• в левой части ЛНДУ-2 выполнить упрощения и сгруппировать члены с одинаковыми степенями $x$;
• в полученном тождестве приравнять коэффициенты при членах с одинаковыми степенями $x$ левой и правой частей;
• решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

Пример 1

Задача: найти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. Найти также ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$.

Записываем соответствующее ЛОДУ-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Характеристическое уравнение: $k^{2} -3\cdot k-18=0$. Корни характеристического уравнения: $k_{1} =-3$, $k_{2} =6$. Эти корни действительны и различны. Таким образом, ОР соответствующего ЛОДУ-2 имеет вид: $Y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} $.

Правая часть данного ЛНДУ-2 имеет вид $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. В ней необходимо рассматривать коэффициент показателя степени экспоненты $\alpha =3$. Этот коэффициент не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому ЧР данного ЛНДУ-2 имеет вид $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $.

Будем искать коэффициенты $A$, $B$ методом НК.

Находим первую производную ЧР:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$

$=A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$

Находим вторую производную ЧР:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$

$=3\cdot A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$

Подставляем функции $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в данное ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x}. $ При этом, поскольку экспонента $e^{3\cdot x} $ входит как множитель во все составляющие, то её можно опустить. Получаем:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Выполняем действия в левой части полученного равенства:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Применяем метод НК. Получаем систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Решение этой системы таково: $A=-2$, $B=-1$.

ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $ для нашей задачи выглядит следующим образом: $U=\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.

ОР $y=Y+U$ для нашей задачи выглядит следующим образом: $y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.

С целью поиска ЧР, удовлетворяющего заданным начальным условиям, находим производную $y"$ ОР:

$y"=-3\cdot C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +6\cdot C_{2} \cdot e^{6\cdot x} -2\cdot e^{3\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} .$

Подставляем в $y$ и $y"$ начальные условия $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$:

$6=C_{1} +C_{2} -1; $

$1=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -2-3=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -5.$

Получили систему уравнений:

$C_{1} +C_{2} =7;$

$-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} =6.$

Решаем её. Находим $C_{1} $ по формуле Крамера, а $C_{2} $ определяем из первого уравнения:

$C_{1} =\frac{\left|\begin{array}{cc} {7} & {1} \\ {6} & {6} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-3} & {6} \end{array}\right|} =\frac{7\cdot 6-6\cdot 1}{1\cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1} =\frac{36}{9} =4; C_{2} =7-C_{1} =7-4=3.$

Таким образом, ЧР данного дифференциального уравнения имеет вид: $y=4\cdot e^{-3\cdot x} +3\cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение
, гдеилинейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
, зависит от корней характеристического уравнения
.

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение:
.

Решив его, найдем корни
,
действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид:
.

2)

Решение: Составим характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем корни

действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид:
.

3)

Решение: Составим характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем корни
комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Где
. (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
, где
– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного решения
неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части
:

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1.
, где– многочлен степени. Тогда частное решение
можно искать в виде
, где

, а– число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

.

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения
не равен нулю (
), то частное решение ищем в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства
,
, находим
,
. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
, а его общее решение.

2. Пусть правая часть имеет вид
, где– многочлен степени. Тогда частное решение
можно искать в виде
, где
– многочлен той же степени, что и
, а– число, показывающее, сколько разявляется корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Для этого запишем характеристическое уравнение
. Найдем корни последнего уравнения
. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.

характеристического уравнения

, где– неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим. Откуда
, то есть
или
.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид
, а его общее решение
.

3. Пусть правая часть имеет вид , где
и– данные числа. Тогда частное решение
можно искать в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с
. Если в выражение функции
входит хотя бы одна из функций
или
, то в
надо всегда вводитьобе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Для этого запишем характеристическое уравнение
. Найдем корни последнего уравнения
. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция
, то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнями
характеристического уравнения
. Тогда частное решение ищем в виде

Где и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды, получими. Подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при
и
в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему
. Решая ее, находим
,
.

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.