خطوط موازی، علائم و شرایط خطوط موازی. نشانه های موازی دو خط

29. بیایید با دست چند زیگزاگ بکشیم، مانند داده ها به رنگ سیاه. 31. در هر یک از این زیگزاگ ها 2 گوشه می بینیم (در هر زیگزاگ ترسیم 31 به شماره 1 و 2 هستند). هر زیگزاگ از دو پرتو و یک بخش تشکیل شده است که نقاطی را که پرتوها از آن سرچشمه می‌گیرند به هم متصل می‌کند. به عنوان مثال، در آخرین زیگزاگ داریم: 1) پرتو AB که از نقطه A می آید، 2) پرتو CD که از نقطه C می آید و 3) قطعه AC. زوایای 1 و 2 نامیده می شوند گوشه های متقاطع داخلی با توجه به پرتوهایی که این زیگزاگ را تشکیل می دهند. تمرینات باید چشم را به محل چنین زوایایی عادت دهد.

حالا یک زیگزاگ بسازیم که زوایای آن با هم برابر باشد. برای انجام این کار، ساخت را از یک زاویه دلخواه BDC (شکل 33، I) یا از ∠1 شروع می کنیم. سپس، با ثابت کردن نقطه C، بر اساس مورد 28، ∠3 (یا ∠MCD) = ∠1 را در آن می سازیم.

برای وضوح بیشتر، این ساختار را در اینجا در شکل 1 بازتولید می کنیم. 32.
1) ◡α را بسازید، نقطه D را به عنوان مرکز، با شعاع دلخواه بسازید.
2) ◡β را با شعاع یکسان بسازید و نقطه C را مرکز بگیرید.
3) با قطب نما وتر قوس α مربوط به زاویه 1 را می گیریم - انتهای آن نقاط تقاطع قوس α با پرتو DB و قطعه DC است.
4) ما این وتر را از نقطه تقاطع این کمان با قطعه DC روی ◡β قرار می دهیم، مشاهده می کنیم که زاویه در نقطه C مربوط به این وتر به صورت متقاطع داخلی با ∠1 است.
5) با اتصال انتهای این وتر به نقطه C، ∠3 = ∠1 را به دست می آوریم و این زوایا متقاطع داخلی هستند.

سپس MCDB زیگزاگ مورد نیاز را دریافت می کنیم. اگر پرتوهای MC و DB ادامه داشته باشند (CN ادامه پرتو CM و DA ادامه DB است)، سپس دومین زیگزاگ NCDA را بدست می آوریم که زوایای متقاطع داخلی آن با اعداد 2 و 4 نشان داده شده است. به طور کلی، شکل حاصل از سه خط مستقیم MN، AB و CD تشکیل شده است و در آخری به طور قطع مشخص است که MN را در نقطه C و AB را در نقطه D قطع می کند، به همین دلیل خط را CD secant می نامیم. .

بیایید شکل حاصل را مطالعه کنیم.

1. می بینیم که ∠1 و ∠2 مجاور هستند، یعنی می بینیم که

∠1 + ∠2 = راست. گوشه.

همچنین می بینیم که ∠3 و ∠4 مجاور هم هستند، یعنی.

∠3 + ∠4 = راست. گوشه.

اما ما ∠3 = ∠1 ساختیم. بنابراین، نتیجه می گیریم که ∠4 لزوما باید برابر ∠2 باشد. بنابراین، معلوم شد که جفت دوم زوایای متقاطع داخلی (∠2 و ∠4) نیز از زوایای مساوی تشکیل شده است. این شرایط سزاوار توجه است و ما می توانیم آن را با این کلمات درک کنیم: اگر دو خط مستقیم با یک سکنت قطع شوند و اگر دو زاویه متقاطع داخلی با یکدیگر برابر باشند، دو خط دیگر داخلی هستند. پوشاندن زوایای آن نیز برابر است . (هر ویژگی یک شکل که در کلمات بیان می شود و پس از استدلال به دست می آید، قضیه نامیده می شود. در اینجا یک قضیه در زوایای متقاطع داخلی داریم.)

2. کل شکل داده شده در cher. 33، من، ما به 2 شکل تقسیم می کنیم: شکل MCDA و شکل NCDB - آنها را شکل های "چپ" و "راست" می نامیم. برای وضوح، این ارقام را جداگانه ارائه خواهیم کرد (فصل 33، II). آنها یک بخش مساوی دارند: neg. سی دی شکل سمت چپ برابر با بخش سی دی سمت راست است، زیرا این بخش ها زودتر منطبق شده اند. با استفاده از این تساوی، شکل سمت راست را روی سمت چپ قرار می دهیم (شما باید شکل راست را بچرخانید، مانند شکل 33، III، و سپس آن را در سمت چپ قرار دهید) به طوری که نقطه D شکل سمت راست با آن تراز شود. نقطه C از سمت چپ و به طوری که بخش DC سمت راست در امتداد قطعه CD سمت چپ قرار می گیرد. به موجب تساوی آنها و سایر اهداف آنها با هم ترکیب خواهد شد. از آن زمان، با ساخت، ∠3 = ∠1، پس پرتو DB شکل سمت راست باید در امتداد پرتو CM شکل سمت چپ حرکت کند، اما به دلیل برابری تعیین شده ∠2 و ∠4، پرتو CN از شکل سمت راست باید در امتداد پرتو DA سمت چپ باشد. از این نتیجه می‌گیریم که ارقام ما برابر هستند (این کلمه در هندسه "برابر" است و به این معنی است که وقتی یک شکل روی دیگری قرار می‌گیرد ترکیب می‌شود).

3. تبدیل دوباره به سیاه. 33، من، ممکن است بپرسیم: آیا خطوط MN و AB قطع می شوند؟ اگر فرض کنیم که آنها همدیگر را قطع کنند و نقطه تقاطع در سمت راست سی دی سکنت قرار داشته باشد، به دلیل برابری شکل سمت راست و چپ، باید به این نتیجه برسیم که سمت چپ سی دی سکنت باید یکسان باشد. به عنوان سمت راست، یعنی و در سمت چپ باید نقطه ای وجود داشته باشد که هر دو خط و MN و AB از آن عبور کنند. سپس معلوم می شود که دو خط MN و AB از 2 نقطه عبور می کنند که غیرممکن است. بنابراین، فرض بر هم خوردن AB و MN در سمت راست سکنت معتبر نیست. واضح است که نمی توان فرض کرد که آنها در سمت چپ سکانس تلاقی می کنند. بنابراین به این نتیجه می رسیم که موفق شده ایم دو خط AB و MN بسازیم که اصلاً یکدیگر را قطع نمی کنند.

به دو خطی که در یک صفحه قرار می گیرند و قطع نمی کنند خطوط موازی می گویند.

برای نشان دادن موازی بودن دو خط از علامت ||; بنابراین ما MN || داریم AB (MN موازی با AB است). از ساخت و ساز قبلی چنین است:

می توانید خطوط موازی بکشید

خطوط موازی وجود دارد

ما می توانیم در cher داده شده را رقم بزنیم. 33 (I)، به ترتیب متفاوتی بسازید: 1) یک خط دلخواه AB بسازید (ما آن را داده شده می نامیم). 2) یک نقطه دلخواه C در خارج از آن بسازید (ما آن را نقطه داده شده نیز می نامیم). 3) از طریق نقطه C یک CD سکانسی می سازیم که AB ∠1 و ∠2 را با خط داده شده تشکیل می دهد. 4) در نقطه C ∠3 = ∠1 را می سازیم تا این زوایا به صورت متقاطع داخلی باشند - پرتو CM را دریافت می کنیم. 5) تیر CM را در جهت CN ادامه می دهیم - سپس خط MN را موازی با AB می گیریم.

از این نتیجه به دست می آید:

از طریق نقطه ای که خارج از یک خط داده شده است، همیشه می توان یک خط موازی با خط داده شده ساخت.

از آنجایی که برای ساخت خطوط موازی نیاز به ساخت int برابر بود. زوایای متقاطع (∠3 = ∠1)، همچنین نتیجه می گیریم که

اگر دو خط با یک سکنت قطع شوند و اگر زوایای متقاطع داخلی حاصل برابر باشند، این خطوط موازی هستند.

30. در پاراگراف قبل یاد گرفتیم که چگونه یک خط موازی با یک نقطه داده شده را از طریق یک نقطه مشخص بسازیم. حال این سوال مطرح می شود: چند خط را می توان از طریق یک نقطه معین به موازات نقطه داده شده ایجاد کرد؟ پاسخ به این سوال تنها بر اساس ایده ما از ترتیب خطوط موازی ممکن است: اگر تصور کنیم که خط MN (فصل 33، I)، که || AB به دور نقطه C در یک جهت می‌چرخد، سپس برای ما روشن است که موازی‌سازی نقض می‌شود و آنگاه MN با AB در جایی در یک طرف CD سکانسی قطع می‌شود. شاید این نقطه تقاطع به قدری دور باشد که نتوانیم آن را روی نقشه به تصویر بکشیم، اما این اطمینان ما را نسبت به قطع خط AB و خط چرخش MN کاهش نمی دهد. معلوم می شود که پشتیبانی از این اطمینان با استدلال بر اساس استدلال قبلی غیرممکن است. بنابراین، تنها بر اساس تصور ما پذیرفته شده است که

از طریق نقطه ای که خارج از یک خط داده شده است، می توان تنها یک خط موازی با خط داده شده ساخت.

برای اولین بار این موقعیت توسط هندسه شناس معروف یونانی اقلیدس وارد علم شد که یک دوره سیستماتیک کامل در هندسه (300 سال قبل از میلاد مسیح) ارائه کرد. این ویژگی توسط او با نام "Axiom XI" نامگذاری شده است که تا حدودی متفاوت از اینجا بیان شده است، اما ایده اصلی آن یکی است. گاهی اوقات به همین ویژگی «فرضای V اقلیدس» می گویند. تفاوت بین این دو نام به شرح زیر است: ویژگی‌ها بدیهیاتی نامیده می‌شوند که بلافاصله آشکار می‌شوند، و این ایده که نمی‌توان آنها را با استدلال از سایر ویژگی‌هایی که قبلاً ایجاد شده است استنتاج کرد، زمانی ظاهر می‌شود که یک سیستم هندسه به دقت مورد بررسی قرار گیرد. مفروضات فرضیاتی هستند که برای پیشبرد بیشتر باید مطرح شوند، اما اعتبار آنها چندان واضح نیست. با این حال، تفاوت بین این دو مفهوم آنقدر ناچیز است که اغلب با هم اشتباه می شوند.

در کلماتی که فرضیه مشابه اقلیدس را در اینجا بیان کردیم، 2 فکر وجود دارد: 1) از طریق یک نقطه، می توان یک خط مستقیم به موازات مورد داده شده ساخت - این ایده به هیچ وجه به محتوای اصل موضوع مربوط نمی شود. : در بند 29 امکان چنین ساخت و ساز را دریافتیم. 2) فقط یک موازی - این فکر که با کلمات "تنها یک" بیان می شود محتوای اصل است.

31. چند ویژگی جدید فوراً از اصل متوازی ها به وجود می آیند که بنابراین می توان آنها را پیامدهای فرض متوازی نامید.

I. بگذارید موارد زیر ساخته شوند: 1) AB || سی دی (فصل 34); 2) خط MN که AB را در نقطه E قطع می کند. این سوال مطرح می شود: آیا MN و CD قطع می کنند؟
پاسخ روشن است: ما نمی توانیم فرض کنیم که MN CD را قطع نمی کند، در غیر این صورت دو خط AB و MN، موازی با CD، از طریق نقطه E ساخته می شوند که با فرض موازی در تضاد است.

II. اجازه دهید ساخته شود: 1) EF || AB و 2) CD || AB (فصل 35) (برای این ساختار استفاده از تنها یک CEK سکانس و ساخت ∠2 = ∠1 و ∠3 = ∠1 راحت است). این سوال پیش می آید که آیا خطوط CD و EF همدیگر را قطع می کنند یا خیر؟

فرض کنید CD و EF در نقطه M همدیگر را قطع می کنند. سپس معلوم می شود که دو خط MDC و MFE از طریق M ساخته می شوند که به طور جداگانه با خط AB موازی هستند که با فرض موازی در تضاد است. از این رو به این نتیجه می رسیم که CD || EF. البته ممکن است که نقاط داده شده C و E به گونه ای قرار گیرند که خطوط ساخته شده از طریق آنها و موازی با AB در یک ادغام شوند. بنابراین ما داریم:

اگر خطی موازی با خط داده شده از طریق هر یک از دو نقطه داده شده ساخته شود، خطوط ساخته شده یا موازی یکدیگر هستند یا در یک خط ادغام می شوند.

بر این اساس، مصادف شدن دو خط اغلب به عنوان یک مورد خاص از توازی تلقی می شود.

III. بگذارید موارد زیر ساخته شوند: 1) AB || CD با کمک سکنت MN (شکل 36) و 2) سکنت EF، علاوه بر این، آنها در نقاط تقاطع E و F int تشکیل شدند. زوایای همپوشانی، به عنوان مثال ∠1 و ∠4. این سوال پیش می آید که آیا این زوایا با هم برابرند؟

یک نقطه E را در نظر بگیرید. ما می دانیم (بخش 29) که از طریق این نقطه می توانیم یک خط موازی با CD بسازیم، که برای آن می توانیم از سکانس EF استفاده کنیم و در نقطه E زاویه ای برابر با ∠1 بسازیم تا داخلی باشد. متقاطع با ∠ 1; از طرف دیگر، بر اساس اصل (مورد 30) می دانیم که می توان فقط یک موازی ساخت و قبلا ساخته شده است - AB || CD، و اشعه EB با سکنت EF ∠4 تشکیل می شود که در داخل با ∠1 متقاطع است. بنابراین، نتیجه می گیریم که این ∠4 لزوما باید برابر با ∠1 باشد. بنابراین،

اگر دو خط موازی با یک سکانس قطع شوند، زوایای متقاطع داخلی برابر هستند.

32. تصور کنید که سکانس EF (فصل 36) در هر دو جهت ادامه یابد. سپس شکل داده شده در شکل را بدست می آوریم. 37، و در نقاط E و F 8 زاویه داریم (در مقایسه با شکل 35 به ترتیب 1-8 شماره گذاری شده اند). اکنون می بینیم که 1) ∠1 = ∠4 (به صورت عمودی) = ∠5 (به صورت متقاطع داخلی) = ∠8 (به صورت عمودی). 2) ∠2 = ∠3 (به صورت عمودی) = ∠6 (به صورت متقاطع داخلی) = ∠7 (به صورت عمودی).

بنابراین، هر 8 زاویه به 2 گروه تقسیم می شوند: 1) ∠1، ∠4، ∠5 و ∠8 و 2) ∠2، ∠3، ∠6 و ∠7. زوایای یک گروه همه با هم برابرند، اما هر زاویه ای از یک گروه با زاویه گروه دیگر برابر نیست. اما می بینیم که مثلاً

∠5 + ∠6 = راست. گوشه.

از آنجایی که هر یک از زوایای دیگر گروه اول برابر با ∠5 و هر یک از زوایای دیگر گروه دوم برابر با ∠6 است، نتیجه می گیریم که مجموع هر زاویه از گروه اول با هر زاویه از گروه دوم برابر با زاویه اصلاح شده است. بنابراین:

اگر دو زاویه موازی با یک سکنت قطع شوند، 8 زاویه به دست آمده به دو گروه 4 زاویه ای تقسیم می شوند: زوایای هر گروه با یکدیگر برابر است و مجموع دو زاویه که یک زاویه متعلق به یک گروه است. و زاویه دیگر به گروهی دیگر برابر با زاویه راست است.

بیایید به جفت گوشه های جداگانه توجه کنیم و گوشه ها را به صورت جفت وصل می کنیم که یکی در راس E و دیگری در راس F قرار دارد.

ما قبلاً می دانیم که ∠4 = ∠5 و ∠3 = ∠6، یعنی که زوایای متقاطع داخلی برابر است.

از گروه اول نیز ∠1 = ∠8 داریم. این زوایای (∠1 و ∠8) در اضلاع مختلف سکنت قرار دارند و نواحی داخلی آنها خارج از نوار مشخص شده با خطوط AB و CD قرار دارند. بنابراین آنها نامیده می شوند گوشه های متقاطع خارجی. گروه دوم نیز دارای یک جفت زاویه است: ∠2 و ∠7، با ∠2 = ∠7. بنابراین، برای خطوط موازی، زوایای متقاطع خارجی برابر است.

از گروه اول ∠1 = ∠5 داریم. این 2 زاویه در یک سمت سکنت قرار دارند و یکی از آنها خارجی (∠1) و دیگری داخلی (∠5) است. به این دو گوشه می گویند مربوط. ما همچنین دارای جفت زاویه های متناظر هستیم: ∠4 = ∠8 (هر دو در گروه I)، ∠2 = ∠6 (هر دو در گروه II)، ∠3 = ∠7 (هر دو در گروه II). بنابراین، زوایای متناظر موازی با یکدیگر برابرند.

∠3 متعلق به گروه II، و ∠5 متعلق به گروه I است. بنابراین ∠3 + ∠5 = راست. گوشه. هر دوی این زاویه ها در یک سمت سکنت قرار دارند و هر دو داخلی هستند. بنابراین آنها نامیده می شوند گوشه های یک طرفه داخلی. چند زاویه دیگر وجود دارد: ∠4 و ∠6. برای آنها (چون به گروه های مختلف تعلق دارند) ∠4 + ∠6 = rect نیز داریم. گوشه. بنابراین، زوایای یک طرفه داخلی با مجموع موازی به یک زاویه صاف.

جفت ها: 1) ∠1 و ∠7 و 2) ∠2 و ∠8 نامیده می شوند. گوشه های یک طرفه خارجیو برای آنها داریم (چون زوایای هر جفت متعلق به گروه های مختلف است):

∠1 + ∠7 = راست. گوشه؛ ∠2 + ∠8 = راست. گوشه،

یعنی زوایای یک طرفه خارجی موازی خطوط مستقیم را در مجموع تشکیل می دهند. گوشه.

در نهایت جفت‌های: 1) ∠1 و ∠6، 2) ∠2 و ∠5، 3) ∠3 و ∠8 و 4) ∠4 و ∠7 نام خاصی ندارند، اما هر جفت از دو گوشه تشکیل شده است. که یکی بیرونی و دیگری داخلی است و در دو طرف سکنت قرار دارند. از آنجایی که زوایای هر جفت متعلق به گروه های مختلفی است، داریم:

∠1 + ∠6 = راست. گوشه؛ ∠2 + ∠5 = راست. گوشه؛ ∠3 + ∠8 = راست. گوشه؛ ∠4 + ∠7 = راست. گوشه،

یعنی با جفت‌های موازی زاویه‌ای که یکی از آن‌ها داخلی و دیگری خارجی است، مجموع یک زاویه مستقیم است..

33. اکنون دشوار نیست که ببینیم خطوط موازی را می‌توان با استفاده از جفت‌های زاویه‌ای دیگر که در داخل متقاطع نیستند، مانند مورد 29، ساخت. در واقع، ما در نقطه E (شکل 37) ∠1 = ∠ می‌سازیم. 5 بنابراین، به طوری که این زوایا هماهنگ باشند. سپس متوجه می شویم که ∠1 = ∠4 و در نتیجه، ∠4 = ∠5، یعنی AB || سی دی. همچنین امکان استفاده از نکر.-کروغ خارجی نیز وجود دارد. گوشه ها (اگر ∠1 = ∠8، پس ∠4 = ∠5، یعنی آن AB || CD. همچنین می توانید از زوایای برهم نهی خارجی استفاده کنید (∠1 = ∠8، سپس ∠4 = ∠5 و خطوط موازی هستند. ) همچنین می توانید زوایای یک طرفه داخلی را طوری بسازید که مجموع آنها برابر با زاویه یکسو شود (اگر ∠3 + ∠5 = یکسو شود، پس ∠4 = ∠5، زیرا ∠3 + ∠4 = یکسو شده است. , - بعدی، AB | | CD)؛ می توان از گوشه های یک طرفه خارجی نیز استفاده کرد.

اگر دو خط با یک سکنت قطع شوند و اگر زوایای متقاطع داخلی مساوی باشند یا اگر زوایای متقاطع خارجی مساوی باشند یا اگر زوایای مربوطه مساوی باشند یا اگر مجموع زوایای یک طرفه داخلی برابر باشد. مساوی با یکسو شده یا اگر مجموع زوایای یک طرفه خارجی برابر زاویه راست شده باشد یا اگر مجموع دو زاویه اسکالن که یکی داخلی و دیگری خارجی است برابر با راست شود، خطوط موازی هستند.

برای ساختن دو خط موازی، معمولاً (و این راحت‌تر است) از زوایای متقاطع داخلی یا زوایای متناظر استفاده می‌شود.

الحاقیه. فرض خطوط موازی (مورد 30) را می توان به شکل زیر بیان کرد:

اگر مجموع یک جفت زوایای یک طرفه داخلی کمتر از زاویه یکسو شده باشد و در نتیجه مجموع جفت دیگر از یکسو شده بیشتر باشد، آنگاه این خطوط در سمت سکانسی که مجموع آن کمتر از یکسو باشد، قطع می‌شود. اصلاح شده

اگر برای مثال ∠1 + ∠2< выпр. угла (чер. 38), то, следовательно, ∠3 + ∠4 >گوشه اصلاح شده، از آنجایی که ∠1 + ∠3 = اصلاح شده است. گوشه و ∠2 + ∠4 = راست. گوشه. خطوط ما در سمت سکنت جایی که ∠1 و ∠2 قرار دارند قطع می شوند. در این شکل بود که اصل تشابهات توسط اقلیدس ارائه شد.

34. تمرینات. 1. از طریق یک نقطه داده شده (به موقعیت های مختلف در شکل 39 مراجعه کنید) یک خط مستقیم موازی با نقطه داده شده بسازید.

در اولین نقشه، ساخت و ساز تکمیل می شود: از A یک قطعه AB می سازیم. از نقطه B به عنوان مرکز، یک کمان می سازیم و با همان شعاع (که این شعاع را کوچکتر می گیریم راحت تر است) قوس را توصیف می کنیم و A را به عنوان مرکز در نظر می گیریم. سپس در A، زاویه ای برابر با ∠B می سازیم، به طوری که 2 اینت به دست می آید. پوشاندن گوشه و غیره

2. یک جفت خط موازی در هر موقعیتی بسازید.

3. با توجه به 2 خط متقاطع; دو خط جدید را به ترتیب موازی با دو نقطه داده شده در نقطه داده شده ایجاد کنید.

4. دو جفت خط موازی در هر موقعیتی بسازید، اما به گونه ای که هر 4 خط با هم موازی نباشند.

35. دو جفت خط موازی ساخته می شود: 1) c || ب و 2) د || الف (فصل 40) (هر خط با یک حرف کوچک نامگذاری شده است). در نقطه تلاقی خطوط a و b زاویه هایی به دست می آوریم، یکی از آنها یعنی ∠1 را در نظر می گیریم و با زوایای 2، 3، 4 و 5 که در محل تلاقی خطوط c و d به دست می آیند مقایسه می کنیم.

ما خط c را تا تقاطع با خط a ادامه می دهیم، - در نقطه تقاطع زاویه های بیشتری به دست می آید که یکی از آنها با عدد 6 نشان داده شده است. سپس داریم: 1) ∠2 = ∠6، مطابق با موازی a. و d و بخش c; 2) ∠6 = ∠1، به عنوان متناظر برای موازی c و b و مقطع a. بنابراین، ∠2 = ∠1. از آنجایی که ∠4 = ∠2، پس ∠4 = ∠1 نیز هست. از آنجایی که ∠3 + ∠2 = rec. گوشه. با توجه به اینکه اضلاع ∠1 با اضلاع هر یک از زوایای 2، 3، 4 و 5 موازی هستند، متوجه می شویم:

اگر اضلاع دو زاویه به صورت جفتی موازی باشند، این زوایا یا با یکدیگر مساوی هستند و یا در مجموع، یک زاویه صاف تشکیل می دهند.

این سوال مطرح می شود: آیا می توان علامتی ایجاد کرد که با استفاده از آن بتوان این 2 مورد را از هم جدا کرد. برای این منظور به زاویه حاصل از چرخش پرتو نگاه خواهیم کرد و موقعیت اولیه چنین آرایشی از پرتوها زمانی در نظر گرفته می شود که در ∠1 و در یکی از زوایای 2، 3، 4 موازی باشند. یا 5، برای مثال، در امتداد خطوط b و c. سپس فلش های داده شده در نقشه نشان دهنده جهتی است که تیر باید در آن بچرخد تا زاویه مورد نظر به دست آید. مقایسه این جهت با حرکت عقربه ساعت راحت است. می بینیم که برای به دست آوردن ∠1 باید تیر AX (شکل 41) را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانیم، برای به دست آوردن ∠2 باید تیر را با (BY || AX) خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانیم، برای به دست آوردن ∠3 لازم است که پرتو BZ را در جهت عقربه های ساعت و ∠5 - پرتو را در جهت عقربه های ساعت بچرخانید. از این جا می توان استنباط کرد که زوایایی که اضلاع موازی دارند با هم برابرند اگر جهات چرخش آنها یکسان باشد و اگر جهات چرخش آنها مخالف باشد چنین زاویه هایی تا یک زاویه قائمه مکمل یکدیگر هستند.

این مقاله در مورد خطوط موازی و در مورد خطوط موازی است. ابتدا تعریف خطوط موازی در صفحه و در فضا داده می شود، علامت گذاری معرفی می شود، مثال ها و تصاویر گرافیکی خطوط موازی ارائه می شود. علاوه بر این، علائم و شرایط موازی خطوط مستقیم تحلیل می شود. در نتیجه، راه‌حل‌هایی برای مسائل معمولی اثبات موازی خطوط مستقیم نشان داده شده‌اند که توسط برخی معادلات یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه و در فضای سه‌بعدی ارائه می‌شوند.

پیمایش صفحه.

خطوط موازی - اطلاعات اولیه.

تعریف.

دو خط در یک هواپیما نامیده می شوند موازیاگر نقاط مشترکی نداشته باشند.

تعریف.

دو خط در سه بعدی نامیده می شود موازیاگر در یک صفحه دراز بکشند و هیچ نقطه مشترکی نداشته باشند.

توجه داشته باشید که بند "اگر در یک صفحه قرار بگیرند" در تعریف خطوط موازی در فضا بسیار مهم است. بیایید این نکته را روشن کنیم: دو خط مستقیم در فضای سه بعدی که نقاط مشترک ندارند و در یک صفحه قرار نمی گیرند، موازی نیستند، بلکه کج هستند.

در اینجا چند نمونه از خطوط موازی آورده شده است. لبه های مخالف ورق نوت بوک روی خطوط موازی قرار دارند. خطوط مستقیمی که در امتداد آن صفحه دیوار خانه سطوح سقف و کف را قطع می کند موازی هستند. خطوط راه آهن در زمین هموار را می توان به عنوان خطوط موازی نیز در نظر گرفت.

علامت "" برای نشان دادن خطوط موازی استفاده می شود. یعنی اگر خطوط a و b موازی باشند، می توانید به طور خلاصه a b بنویسید.

توجه داشته باشید که اگر خطوط a و b موازی باشند، می توان گفت که خط a موازی خط b است و همچنین خط b موازی خط a است.

اجازه دهید بیانیه ای را بیان کنیم که نقش مهمی در مطالعه خطوط موازی در صفحه ایفا می کند: از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، تنها خط موازی با خط داده شده عبور می کند. این گزاره به عنوان یک واقعیت پذیرفته شده است (بر اساس بدیهیات شناخته شده پلان سنجی نمی توان آن را اثبات کرد) و به آن بدیهیات خطوط موازی می گویند.

در مورد فضا، قضیه صادق است: از هر نقطه ای در فضا که روی یک خط معین قرار ندارد، یک خط موازی با خط داده شده عبور می کند. این قضیه را می توان به راحتی با استفاده از اصل خطوط موازی که در بالا ارائه شد اثبات کرد (در کتاب هندسه پایه های 10-11 که در انتهای مقاله در فهرست کتاب آمده است، می توانید اثبات آن را بیابید).

در مورد فضا، قضیه صادق است: از هر نقطه ای در فضا که روی یک خط معین قرار ندارد، یک خط موازی با خط داده شده عبور می کند. این قضیه به راحتی با استفاده از اصل خطوط موازی ارائه شده در بالا اثبات می شود.

موازی خطوط - علائم و شرایط توازی.

نشانه ای از خطوط موازیشرط کافی برای خطوط موازی است، یعنی چنین شرطی که تحقق آن خطوط موازی را تضمین می کند. به عبارت دیگر، تحقق این شرط برای بیان موازی بودن خطوط کافی است.

همچنین شرایط لازم و کافی برای خطوط موازی در صفحه و در فضای سه بعدی وجود دارد.

بیایید معنای عبارت «شرط لازم و کافی برای خطوط موازی» را توضیح دهیم.

قبلاً به شرط کافی برای خطوط موازی پرداخته ایم. و «شرط لازم برای خطوط موازی» چیست؟ با نام «لازم» مشخص می شود که تحقق این شرط برای موازی بودن خطوط ضروری است. به عبارت دیگر، اگر شرط لازم برای خطوط موازی برآورده نشود، خطوط موازی نیستند. بدین ترتیب، شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوطشرطی است که تحقق آن برای خطوط موازی هم لازم و هم کافی است. یعنی این از یک طرف نشانه خطوط موازی است و از طرف دیگر این خاصیتی است که خطوط موازی دارند.

قبل از بیان شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط، یادآوری چند تعریف کمکی مفید است.

خط مقطعخطی است که هر یک از دو خط نامتناسب داده شده را قطع می کند.

در تقاطع دو خط یک سکانس، هشت خط غیر مستقر تشکیل می شود. به اصطلاح دراز کشیدن متقاطع، متناظرو گوشه های یک طرفه. بیایید آنها را روی نقاشی نشان دهیم.

قضیه.

اگر دو خط مستقیم در یک صفحه با یک سکانس قطع شوند، برای موازی بودن آنها کافی است که زوایای خوابیده متقاطع مساوی یا زوایای متناظر با هم مساوی و یا مجموع زوایای یک طرفه برابر با 180 درجه باشد. .

اجازه دهید یک تصویر گرافیکی از این شرط لازم و کافی برای خطوط موازی در صفحه نشان دهیم.

شما می توانید اثبات این شرایط را برای خطوط موازی در کتاب های هندسه برای پایه های 7-9 بیابید.

توجه داشته باشید که این شرایط را می توان در فضای سه بعدی نیز استفاده کرد - نکته اصلی این است که دو خط و سکنت در یک صفحه قرار دارند.

در اینجا چند قضیه دیگر وجود دارد که اغلب در اثبات موازی بودن خطوط استفاده می شود.

قضیه.

اگر دو خط در یک صفحه موازی با خط سوم باشند، آنها موازی هستند. اثبات این ویژگی از اصل خطوط موازی حاصل می شود.

شرایط مشابهی برای خطوط موازی در فضای سه بعدی وجود دارد.

قضیه.

اگر دو خط در فضا موازی با یک خط سوم باشند، آنها موازی هستند. اثبات این ویژگی در درس هندسه پایه دهم در نظر گرفته شده است.

اجازه دهید قضایای بیان شده را توضیح دهیم.

اجازه دهید یک قضیه دیگر ارائه دهیم که به ما امکان می دهد موازی بودن خطوط را در صفحه ثابت کنیم.

قضیه.

اگر دو خط در یک صفحه بر خط سوم عمود باشند، موازی هستند.

یک قضیه مشابه برای خطوط در فضا وجود دارد.

قضیه.

اگر دو خط در فضای سه بعدی بر یک صفحه عمود باشند، موازی هستند.

اجازه دهید تصاویر مربوط به این قضایا را ترسیم کنیم.

تمام قضایای فرموله شده در بالا، علائم و شرایط لازم و کافی برای اثبات توازی خطوط مستقیم با روش های هندسی کاملاً مناسب هستند. یعنی برای اثبات موازی بودن دو خط داده شده باید موازی بودن آنها با خط سوم نشان داده شود یا برابری زوایای متقاطع و غیره نشان داده شود. بسیاری از این مشکلات در درس هندسه در دبیرستان حل می شود. با این حال، باید توجه داشت که در بسیاری از موارد استفاده از روش مختصات برای اثبات موازی بودن خطوط در یک صفحه یا در فضای سه بعدی راحت است. اجازه دهید شرایط لازم و کافی را برای موازی بودن خطوطی که در یک سیستم مختصات مستطیلی آورده شده اند، فرموله کنیم.

موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی

در این بخش از مقاله به فرمول بندی می پردازیم شرایط لازم و کافی برای خطوط موازیدر یک سیستم مختصات مستطیلی بسته به نوع معادلاتی که این خطوط را تعیین می کنند و همچنین راه حل های دقیقی برای مسائل معمولی خواهیم داد.

بیایید با شرط موازی بودن دو خط روی صفحه در سیستم مختصات مستطیلی Oxy شروع کنیم. اثبات او بر اساس تعریف بردار هدایت کننده خط و تعریف بردار عادی خط در صفحه است.

قضیه.

برای موازی بودن دو خط غیر منطبق در یک صفحه، لازم و کافی است که بردارهای جهت این خطوط، هم خط باشند، یا بردارهای عادی این خطوط، خطی باشند، یا بردار جهت یک خط، عمود بر حالت عادی باشد. بردار خط دوم

بدیهی است که شرط موازی بودن دو خط در صفحه به (بردارهای جهت خطوط یا بردارهای عادی خطوط) یا به (بردار جهت یک خط و بردار عادی خط دوم) کاهش می یابد. بنابراین، اگر و هستند بردارهای جهت خطوط a و b، و و به ترتیب بردارهای عادی خطوط a و b هستند، پس شرط لازم و کافی برای خطوط موازی a و b را می توان به صورت زیر نوشت: ، یا ، یا ، جایی که t مقداری واقعی است. به نوبه خود، مختصات بردارهای جهت دهنده و (یا) عادی خطوط مستقیم a و b از معادلات شناخته شده خطوط مستقیم پیدا می شود.

به طور خاص، اگر خط a در سیستم مختصات مستطیلی Oxy در صفحه، معادله کلی خط فرم را تعریف کند. ، و خط مستقیم b - ، سپس بردارهای عادی این خطوط دارای مختصات و به ترتیب هستند و شرط موازی بودن خطوط a و b به صورت .

اگر خط مستقیم a با معادله خط مستقیم با ضریب شیب فرم مطابقت داشته باشد. . بنابراین، اگر خطوط مستقیم روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی موازی باشند و بتوان آنها را با معادلات خطوط مستقیم با ضرایب شیب به دست آورد، ضرایب شیب خطوط برابر خواهد بود. و بالعکس: اگر خطوط مستقیم غیر منطبق بر روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی را بتوان با معادلات یک خط مستقیم با ضرایب شیب برابر به دست آورد، آنگاه چنین خطوط مستقیمی موازی هستند.

اگر خط a و خط b در یک سیستم مختصات مستطیلی، معادلات متعارف خط را در صفحه شکل تعریف کنند. و ، یا معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در صفحه ای از فرم و به ترتیب بردارهای جهت این خطوط دارای مختصات و , و شرط موازی بودن خطوط a و b به صورت .

بیایید به چند نمونه نگاهی بیندازیم.

مثال.

آیا خطوط موازی هستند؟ و

راه حل.

معادله یک خط مستقیم را در قطعات به شکل یک معادله کلی یک خط مستقیم بازنویسی می کنیم: . اکنون می‌توانیم ببینیم که بردار عادی خط مستقیم است ، و بردار معمولی خط مستقیم است. این بردارها خطی نیستند، زیرا هیچ عدد واقعی t وجود ندارد که برابری ( ). در نتیجه شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در صفحه برآورده نمی شود، بنابراین خطوط داده شده موازی نیستند.

پاسخ:

نه، خطوط موازی نیستند.

مثال.

آیا خطوط و موازی هستند؟

راه حل.

معادله متعارف یک خط مستقیم را به معادله یک خط مستقیم با شیب می آوریم: . بدیهی است که معادلات خطوط یکسان نیستند (در این صورت خطوط داده شده یکسان خواهد بود) و شیب خطوط برابر است، بنابراین خطوط اصلی موازی هستند.

صفحه 3 از 3

سوال 21.زاویه مثلث در یک راس معین چقدر است؟
پاسخ.زاویه مثلث ABC در راس A زاویه ای است که توسط نیم خطوط AB و AC تشکیل می شود. زوایای مثلث در رئوس B و C نیز مشخص می شود.

سوال 22.به چه بخش هایی مساوی می گویند؟
پاسخ.اگر طول آن‌ها مساوی باشد، قطعه‌ها برابر نامیده می‌شوند.
سوال 23. به چه زوایایی مساوی می گویند؟
پاسخ.به زوایای مساوی گفته می شود که اندازه های آنها مساوی باشد.
سوال 24.به چه مثلث هایی مساوی می گویند؟
پاسخ.به مثلث هایی همگن گفته می شود که اضلاع متناظر آنها مساوی و زوایای متناظر با هم مساوی باشند. در این حالت، زوایای مربوطه باید در مقابل اضلاع مربوطه قرار گیرند.
سوال 25.چگونه در شکل اضلاع و زوایای مربوطه برای مثلث های مساوی مشخص شده اند؟
پاسخ.در نقاشی، بخش های مساوی معمولا با یک، دو یا سه خط و زوایای مساوی با یک، دو یا سه قوس مشخص می شوند.

سوال 26.با استفاده از شکل 23، وجود مثلثی برابر با داده شده را توضیح دهید.
پاسخ.

اجازه دهید یک مثلث ABC و یک پرتو a داشته باشیم (شکل 23، a). اجازه دهید مثلث ABC را طوری حرکت دهیم که راس A آن با ابتدای پرتو a منطبق باشد، راس B روی پرتو a بیفتد و راس C نسبت به پرتو a و امتداد آن در نیم صفحه داده شده باشد. رئوس مثلث ما در این موقعیت جدید با A 1، B 1، C 1 نشان داده می شود (شکل 23، b).
مثلث A 1 B 1 C 1 برابر است با مثلث ABC.
سوال 27.به چه خطوطی موازی می گویند؟ برای نشان دادن خطوط موازی از چه علامتی استفاده می شود؟
پاسخ.اگر دو خط را قطع نکنند موازی نامیده می شوند. برای نشان دادن موازی خطوط از علامت استفاده می شود

سوال 28.ویژگی اصلی خطوط موازی را فرموله کنید.
پاسخ.از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، حداکثر می توان یک خط در صفحه موازی با خط داده شده رسم کرد.
سوال 29.یک قضیه را مثال بزنید.
پاسخ.اگر خطی که از هیچ یک از رئوس مثلث نمی گذرد، یکی از اضلاع آن را قطع کند، آنگاه فقط یکی از دو ضلع دیگر را قطع می کند.

نشانه های موازی دو خط

قضیه 1. اگر در محل تلاقی دو خط یک سکانس:

زوایای مورب مساوی هستند یا

زوایای مربوطه مساوی هستند یا

پس مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است

خطوط موازی هستند(عکس. 1).

اثبات ما خود را به اثبات مورد 1 محدود می کنیم.

فرض کنید که در محل تقاطع خطوط a و b توسط یک AB متقاطع، زوایای قرار گرفته برابر هستند. به عنوان مثال، ∠ 4 = ∠ 6. اجازه دهید ثابت کنیم که a || ب

فرض کنید خطوط a و b موازی نباشند. سپس در نقطه ای M قطع می شوند و در نتیجه یکی از زوایای 4 یا 6 زاویه خارجی مثلث ABM خواهد بود. اجازه دهید، برای قطعیت، ∠ 4 گوشه بیرونی مثلث ABM، و ∠ 6 گوشه داخلی باشد. از قضیه زاویه خارجی یک مثلث نتیجه می شود که ∠ 4 بزرگتر از ∠ 6 است و این با شرط در تضاد است، به این معنی که خطوط a و 6 نمی توانند قطع شوند، بنابراین موازی هستند.

نتیجه 1. دو خط متمایز در یک صفحه عمود بر یک خط موازی هستند(شکل 2).

اظهار نظر. روشی که مورد 1 قضیه 1 را اثبات کردیم، روش اثبات با تناقض یا تقلیل به پوچی نامیده می شود. این روش به این دلیل نام خود را به خود اختصاص داد که در ابتدای استدلال، فرضی مخالف (مخالف) آن چیزی است که باید اثبات شود. به این دلیل که با استدلال بر اساس فرض انجام شده به نتیجه ای پوچ می رسیم به پوچی می گویند. دریافت چنین نتیجه ای ما را وادار می کند که فرضی را که در ابتدا مطرح شد رد کنیم و فرضی را که لازمه اثبات بود بپذیریم.

وظیفه 1.خطی بسازید که از یک نقطه M معین و موازی با یک خط معین a است و از نقطه M نمی گذرد.

راه حل. یک خط p را از نقطه M عمود بر خط a رسم می کنیم (شکل 3).

سپس یک خط b را از نقطه M عمود بر خط p رسم می کنیم. خط b مطابق با نتیجه قضیه 1 موازی با خط a است.

یک نتیجه گیری مهم از مسئله مورد نظر حاصل می شود:
از طریق نقطه ای که روی یک خط معین نیست، همیشه می توان خطی موازی با خط داده شده رسم کرد..

ویژگی اصلی خطوط موازی به شرح زیر است.

بدیهیات خطوط موازی. از طریق یک نقطه معین که روی یک خط معین نیست، فقط یک خط موازی با خط داده شده وجود دارد.

برخی از خصوصیات خطوط موازی را که از این اصل بدیهی آمده است در نظر بگیرید.

1) اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، آنگاه خط دیگر را قطع می کند (شکل 4).

2) اگر دو خط مختلف با خط سوم موازی باشند، پس موازی هستند (شکل 5).

قضیه زیر نیز درست است.

قضیه 2. اگر دو خط موازی با یک سکانت قطع شوند، آنگاه:

زوایای دروغگویی برابر است.

زوایای مربوطه برابر هستند.

مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است.

نتیجه 2. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است.(شکل 2 را ببینید).

اظهار نظر. قضیه 2 معکوس قضیه 1 نامیده می شود. نتیجه گیری قضیه 1 شرط قضیه 2 است. و شرط قضیه 1 نتیجه قضیه 2 است. هر قضیه ای معکوس ندارد، یعنی اگر یک قضیه داده شده درست باشد، در این صورت ممکن است قضیه معکوس نادرست باشد.

اجازه دهید این را با مثال قضیه زوایای عمودی توضیح دهیم. این قضیه را می توان به صورت زیر فرموله کرد: اگر دو زاویه عمودی باشند، آنگاه با هم برابرند. قضیه معکوس این خواهد بود: اگر دو زاویه مساوی باشند، آنگاه آنها عمودی هستند. و این البته درست نیست. دو زاویه مساوی اصلاً نباید عمودی باشند.

مثال 1دو خط موازی با یک سوم عبور می کنند. مشخص است که تفاوت بین دو زاویه یک طرفه داخلی 30 درجه است. آن زوایا را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط را برآورده کند.

در این مقاله در مورد خطوط موازی صحبت می کنیم، تعاریف می دهیم، علائم و شرایط موازی را مشخص می کنیم. برای وضوح مطالب نظری، از تصاویر و حل مثال‌های معمولی استفاده می‌کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

خطوط موازی در هواپیمادو خط مستقیم در صفحه هستند که نقاط مشترکی ندارند.

تعریف 2

خطوط موازی در فضای سه بعدی- دو خط مستقیم در فضای سه بعدی که در یک صفحه قرار دارند و نقاط مشترکی ندارند.

لازم به ذکر است که برای تعیین خطوط موازی در فضا، توضیح "در یک صفحه قرار گرفته اند" بسیار مهم است: دو خط در فضای سه بعدی که دارای نقاط مشترک نیستند و در یک صفحه قرار نمی گیرند، نیستند. موازی، اما متقاطع

برای نشان دادن خطوط موازی، معمولاً از نماد ∥ استفاده می شود. یعنی اگر خطوط داده شده a و b موازی باشند، این شرط باید به طور خلاصه به صورت زیر نوشته شود: a ‖ b . به صورت شفاهی، موازی خطوط به صورت زیر نشان داده می شود: خطوط a و b موازی هستند، یا خط a موازی با خط b است، یا خط b موازی با خط a است.

اجازه دهید بیانیه ای را تدوین کنیم که نقش مهمی در موضوع مورد مطالعه دارد.

اصل

از طریق نقطه ای که به یک خط معین تعلق ندارد، فقط یک خط موازی با خط داده شده وجود دارد. این گفته را نمی توان بر اساس بدیهیات شناخته شده پلان سنجی اثبات کرد.

در مورد فضا، قضیه صادق است:

قضیه 1

از طریق هر نقطه ای از فضا که به یک خط معین تعلق ندارد، تنها یک خط موازی با خط داده شده وجود خواهد داشت.

اثبات این قضیه بر اساس اصل موضوع فوق (برنامه هندسه برای پایه های 10-11) آسان است.

علامت موازی شرط کافی است که تحت آن خطوط موازی تضمین می شود. به عبارت دیگر، تحقق این شرط برای تأیید واقعیت توازی کافی است.

به ویژه شرایط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در صفحه و فضا وجود دارد. توضیح می دهیم: واجب یعنی شرطی که تحقق آن برای خطوط موازی لازم است; اگر ارضا نشد، خطوط موازی نیستند.

به طور خلاصه شرط لازم و کافی برای توازی خطوط، شرطی است که رعایت آن برای موازی بودن خطوط با یکدیگر لازم و کافی است. از یک سو، این نشانه موازی بودن است، از سوی دیگر، ویژگی ذاتی خطوط موازی است.

قبل از ارائه یک فرمول دقیق از شرایط لازم و کافی، چند مفهوم اضافی دیگر را یادآوری می کنیم.

تعریف 3

خط مقطعخطی است که هر یک از دو خط داده شده را قطع می کند.

سکنت که دو خط مستقیم را قطع می کند، هشت زاویه غیر منبسط را تشکیل می دهد. برای فرمول بندی شرط لازم و کافی از زوایای متقاطع، متناظر و یک طرفه استفاده می کنیم. بیایید آنها را در تصویر نشان دهیم:

قضیه 2

اگر دو خط در یک صفحه یک سکانس را قطع کنند، برای موازی بودن خطوط داده شده کافی و لازم است که زوایای نهفته متقاطع مساوی یا زوایای متناظر مساوی یا مجموع زوایای یک طرفه برابر با 180 باشد. درجه.

اجازه دهید شرایط لازم و کافی برای خطوط موازی در صفحه را به صورت گرافیکی نشان دهیم:

اثبات این شرایط در برنامه هندسه برای پایه های 7-9 وجود دارد.

به طور کلی این شرایط برای فضای سه بعدی نیز قابل اجرا است، مشروط بر اینکه دو خط و سکنت مربوط به یک صفحه باشند.

اجازه دهید به چند قضیه دیگر اشاره کنیم که اغلب برای اثبات موازی بودن خطوط استفاده می شود.

قضیه 3

در یک صفحه، دو خط موازی با یک سوم با یکدیگر موازی هستند. این ویژگی بر اساس اصل توازی که در بالا ذکر شد اثبات می شود.

قضیه 4

در فضای سه بعدی، دو خط موازی با یک سوم موازی یکدیگر هستند.

اثبات صفت در برنامه هندسه پایه دهم مطالعه می شود.

ما مثالی از این قضایا ارائه می دهیم:

اجازه دهید یک جفت قضیه دیگر را نشان دهیم که موازی بودن خطوط را اثبات می کند.

قضیه 5

در یک صفحه، دو خط عمود بر یک سوم با یکدیگر موازی هستند.

اجازه دهید یک مورد مشابه را برای یک فضای سه بعدی فرموله کنیم.

قضیه 6

در فضای سه بعدی، دو خط عمود بر یک سوم با یکدیگر موازی هستند.

بیایید نشان دهیم:

تمام قضایای فوق، علائم و شرایط فوق، به راحتی موازی بودن خطوط را با روش های هندسه اثبات می کند. یعنی برای اثبات موازی بودن خطوط، می توان نشان داد که زوایای متناظر با هم برابر هستند، یا این واقعیت را نشان داد که دو خط داده شده بر خط سوم عمود هستند و غیره. اما ما توجه می کنیم که اغلب استفاده از روش مختصات برای اثبات موازی بودن خطوط در یک صفحه یا در فضای سه بعدی راحت تر است.

موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی

در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص، یک خط مستقیم با معادله یک خط مستقیم در صفحه یکی از انواع ممکن تعیین می شود. به طور مشابه، یک خط مستقیم داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی با برخی از معادلات یک خط مستقیم در فضا مطابقت دارد.

اجازه دهید شرایط لازم و کافی را برای موازی خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی، بسته به نوع معادله ای که خطوط داده شده را توصیف می کند، بنویسیم.

بیایید با شرط خطوط موازی در صفحه شروع کنیم. بر اساس تعاریف بردار جهت خط و بردار معمولی خط در صفحه است.

قضیه 7

برای موازی بودن دو خط غیر منطبق بر روی یک صفحه، لازم و کافی است که بردارهای جهت خطوط داده شده، هم خط باشند، یا بردارهای عادی خطوط داده شده، خطی باشند، یا بردار جهت یک خط، عمود بر آن باشند. بردار معمولی خط دیگر

بدیهی است که شرط خطوط موازی در صفحه بر اساس شرایط بردارهای خطی یا شرط عمود بردار بودن دو بردار است. یعنی اگر a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) بردارهای جهت خطوط a و b باشند.

و n b → = (n b x , n b y) بردارهای عادی خطوط a و b هستند، سپس شرط لازم و کافی فوق را به صورت زیر می نویسیم: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y یا n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y یا a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0، که t مقداری واقعی است. مختصات بردارهای جهت یا مستقیم با معادلات داده شده خطوط تعیین می شود. بیایید مثال های اصلی را در نظر بگیریم.

1. خط a در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادله کلی خط تعیین می شود: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; خط b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . سپس بردارهای عادی خطوط داده شده به ترتیب دارای مختصات (A 1 , B 1 ) و ( A 2 , B 2 ) خواهند بود. شرط توازی را به صورت زیر می نویسیم:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. خط مستقیم a با معادله یک خط مستقیم با شیب به شکل y = k 1 x + b 1 توصیف می شود. خط مستقیم b - y \u003d k 2 x + b 2. سپس بردارهای معمولی خطوط داده شده به ترتیب دارای مختصات (k 1, - 1) و (k 2 , - 1) خواهند بود و شرط موازی بودن را به صورت زیر می نویسیم:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

بنابراین، اگر خطوط موازی روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات با ضرایب شیب داده شوند، ضرایب شیب خطوط داده شده برابر خواهد بود. و گزاره برعکس درست است: اگر خطوط غیر منطبق بر روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات یک خط با ضرایب شیب یکسان تعیین شوند، آنگاه این خطوط داده شده موازی هستند.

1. خطوط a و b در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات متعارف خط روی صفحه به دست می آیند: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y یا معادلات پارامتری از خط روی صفحه: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y و x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

سپس بردارهای جهت خطوط داده شده به ترتیب عبارتند از: a x , a y و b x , b y و شرط موازی بودن را به صورت زیر می نویسیم:

a x = t b x a y = t b y

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1

دو خط داده می شود: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1 . باید تعیین کنید که آیا آنها موازی هستند یا خیر.

راه حل

معادله یک خط مستقیم را در پاره ها به شکل یک معادله کلی می نویسیم:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

می بینیم که n a → = (2, - 3) بردار نرمال خط 2 x - 3 y + 1 = 0 است و n b → = 2 , 1 5 بردار نرمال خط x 1 2 + y 5 است. = 1.

بردارهای حاصل خطی نیستند، زیرا چنین مقداری از t وجود ندارد که برابری برای آن صادق باشد:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

بنابراین شرط لازم و کافی موازی بودن خطوط روی صفحه برآورده نمی شود، به این معنی که خطوط داده شده موازی نیستند.

پاسخ:خطوط داده شده موازی نیستند.

مثال 2

خطوط داده شده y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 . آیا آنها موازی هستند؟

راه حل

بیایید معادله متعارف خط مستقیم x 1 \u003d y - 4 2 را به معادله یک خط مستقیم با شیب تبدیل کنیم:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

می بینیم که معادلات خطوط y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 یکسان نیستند (اگر غیر از این بود، خطوط یکسان بودند) و شیب خطوط برابر است، به این معنی که خطوط داده شده موازی هستند.

بیایید سعی کنیم مشکل را متفاوت حل کنیم. ابتدا بررسی می کنیم که آیا خطوط داده شده مطابقت دارند یا خیر. ما از هر نقطه از خط y \u003d 2 x + 1 استفاده می کنیم، به عنوان مثال، (0، 1) ، مختصات این نقطه با معادله خط x 1 \u003d y - 4 2 مطابقت ندارد، به این معنی که خطوط منطبق نیستند

مرحله بعدی تعیین تحقق شرط موازی برای خطوط داده شده است.

بردار عادی خط y = 2 x + 1 بردار n a → = (2, - 1) است و بردار جهت خط دوم داده شده b → = (1، 2) است. حاصل ضرب اسکالر این بردارها صفر است:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

بنابراین، بردارها عمود هستند: این به ما نشان می‌دهد که شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط اصلی وجود دارد. آن ها خطوط داده شده موازی هستند.

پاسخ:این خطوط موازی هستند.

برای اثبات موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی از شرط لازم و کافی زیر استفاده می شود.

قضیه 8

برای موازی بودن دو خط غیر منطبق در فضای سه بعدی، لازم و کافی است که بردارهای جهت این خطوط به صورت هم خط باشند.

آن ها برای معادلات داده شده خطوط در فضای سه بعدی، با تعیین مختصات بردارهای جهت خطوط داده شده و همچنین بررسی وضعیت هم خطی آنها، پاسخ به این سؤال که آیا آنها موازی هستند یا نه، به دست می آید. به عبارت دیگر، اگر a → = (a x، a y، a z) و b → = (b x، b y، b z) به ترتیب بردارهای جهت خطوط a و b باشند، برای اینکه آنها موازی باشند، وجود چنین عدد واقعی t ضروری است، به طوری که برابری برقرار است:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

مثال 3

خطوط داده شده x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . اثبات موازی بودن این خطوط ضروری است.

راه حل

شرایط مسئله معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا و معادلات پارامتریک یک خط مستقیم دیگر در فضا است. بردارهای جهت a → و b → خطوط داده شده دارای مختصات هستند: (1، 0، - 3) و (2، 0، - 6).

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2، سپس a → = 1 2 b →.

بنابراین شرط لازم و کافی برای خطوط موازی در فضا برآورده می شود.

پاسخ:موازی بودن خطوط داده شده ثابت می شود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید