Основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями .

Перечислим все основные виды неопределенностей : ноль делить на ноль (0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
• использование замечательных пределов;
• применение правила Лопиталя ;
• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей . Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Ответ:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений .

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности (0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Пример.

Вычислить предел

Методы решения пределов. Неопределённости.
Порядок роста функции. Метод замены

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.

При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила :

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:

3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

5. Предел постоянной равен самой постоянной:

6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

.

Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значения в выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден.

Пример 2.1. Вычислить предел .

Решение.

.

Выражения вида , , , , , называются неопределённостями .

Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.

Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значении х .

Пример 2.2. Вычислить предел .

Решение.

Подставляя , получим неопределенность:

.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

;

Сократим на общий множитель и получим

.

Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при . В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х в старшей степени.

Пример 2.3. Вычислить предел .

Решение. При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x 3 .

.

Здесь учитывается, что .

При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.

Пример 2.4. Вычислить предел

Решение.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1) ∞ часто используются первый и второй замечательные пределы:

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.

Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 »237 (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 2.5. Вычислить предел функции

Решение.

Пример 2.6. Вычислить предел функции .

Решение. Подставляя получим неопределенность:

.

Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

В результате получаем

Здесь учитывается второй замечательный предел .

Пример 2.7. Вычислить предел функции

Решение.

.

Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.

Пример 2.8. Найти

Решение. При подстановке , имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим

Непрерывность функции

Важным свойством функции является непрерывность.

Определение. Функция считается непрерывной , если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции.

Математически это записывается так: при

Под и понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями: , (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – Приращение переменных

Из определения функции , непрерывной в точке , следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:

Решение. Для функции точка является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы

Следовательно, , значит - точка устранимого разрыва

Производная функции

Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при

том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)" равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f"(x)=nx^(n-1)

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x n - a| < ε. (6.1)

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- ε < x n < a + ε, (6.2)

которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε , можно найти такое δ >0 (зависящее от ε ), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

,

и непрерывной слева в точке x o, если предел

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.

Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение. .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 .4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Виджет для вычисления пределов on-line

В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).