Книги скачать. Векторы, способы решения задач, примеры, формулы, теория

Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии . Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод , понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии , авторы – Л.С. Атанасян и Компания . Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах . Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т . Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том . Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике .

Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов , а также и Векторное и смешанное произведение векторов . Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении . На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений , что позволит научиться решать задачи по геометрии . Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве , Уравнения прямой в пространстве , Основные задачи на прямую и плоскость , другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор . Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем . Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор .

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки :

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор . Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда:)).

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены .

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается . Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны , при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо : если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны . Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность .

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами . Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа , которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Ужин подан:

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:

А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя . Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Пример 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Пример 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Во время выполнения ЭВМ текущей программы внутри машины и в связанной с ней внешней среде (например, в технологическом процессе, управляемом ЭВМ) могут возникать события, требующие немедленной реакции на них со стороны машины.

Реакция состоит в том, что машина прерывает обработку текущей программы и переходит к выполнению некоторой другой программы, специально предназначенной для данного события. По завершении этой программы ЭВМ возвращается к выполнению прерванной программы.

Рассматриваемый процесс, называемый прерыванием программ. Принципиально важным является то, что моменты возникновения событий, требующих прерывания программ, заранее неизвестны и поэтому не могут быть учтены при программировании.

Каждое событие, требующее прерывания, сопровождается сигналом, оповещающим ЭВМ – запросами прерывания. Программу, затребованную запросом прерывания, называют прерывающей программой, противопоставляя ее прерываемой программе, выполнявшейся машиной до появления запроса.

Возможность прерывания программ – важное архитектурное свойство ЭВМ, позволяющее эффективно использовать производительность процессора при наличии нескольких протекающих параллельно во времени процессов, требующих в произвольные моменты времени управления и обслуживания со стороны процессора. В первую очередь это относится к организации параллельной во времени работы процессора и периферийных устройств машины, а также к использованию ЭВМ для управления в реальном времени технологическими процессами.

Чтобы ЭВМ могла, не требуя больших усилий от программиста, реализовывать с высоким быстродействием прерывания программ, машине необходимо придать соответствующие аппаратурные и программные средства, совокупность которых получила название системы прерывания программ.

Основными функциями системы прерывания являются:

запоминание состояния прерываемой программы и осуществление перехода к прерывающей программе

восстановление состояния прерванной программы и возврат к ней.

Вектором прерывания называется вектор «начального состояния прерывающей программы». Вектор прерывания содержит всю необходимую информацию для перехода к прерывающей программе, в том числе ее начальный адрес. Каждому запросу (номеру) прерывания соответствует свой вектор прерывания, способный инициировать выполнение соответствующей прерывающей программы. Векторы прерывания находятся в специально выделенных фиксированных ячейках памяти – таблице векторов прерываний.

Главное место в процедуре перехода к прерывающей программе занимает процедура передачи из соответствующего регистра (регистров) процессора в память (в частности, в стек) на сохранение текущего вектора состояния прерываемой программы (чтобы можно было вернуться к ее исполнению) и загрузка в регистр (регистры) процессора вектора прерывания прерывающей программы, к которой при этом переходит управление процессором.

Классификация прерываний

Запросы на прерывания могут возникать внутри самой ЭВМ и в ее внешней среде. К первым относятся, например, запросы при возникновении в ЭВМ таких событий, как появление ошибки в работе ее аппаратуры, переполнение разрядной сетки, попытка деления на 0, выход из установленной для данной программы области памяти, затребование периферийным устройством операции ввода-вывода, завершение операции ввода-вывода периферийным устройством или возникновение при этой операции особой ситуации и др. Хотя некоторые из указанных событий порождаются самой программой, моменты их появления, как правило, невозможно предусмотреть. Запросы во внешней среде могут возникать от других ЭВМ, от аварийных и некоторых других датчиков технологического процесса и т. п.

Семейство микропроцессоров Intel 80x86 поддерживает 256 уровней приоритетных прерываний, вызываемых событиями трех типов:

внутренние аппаратные прерывания

внешние аппаратные прерывания

программные прерывания

Внутренние аппаратные прерывания , иногда называемые отказами (faults), генерируются определенными событиями, возникающими в процессе выполнения программы, например попыткой деления на 0. Закрепление за такими событиями определенных номеров прерываний зашито в процессоре и не может быть изменено.

Внешние аппаратные прерывания инициируются контроллерами периферийного оборудования или сопроцессорами (например, 8087/80287). Источники сигналов прерываний подключаются либо к выводу немаскируемых прерываний процессора (NMI) либо к выводу маскируемых прерываний (INTR). Линия NMI обычно предназначает для прерываний, вызываемых катастрофическими событиями, такими, как ошибки четности памяти или авария питания.

Программные прерывания . Любая программа может инициировать синхронное программное прерывание путем выполнения команды int . MS-DOS использует для взаимодействия со своими модулями и прикладными программами прерывания от 20Н до 3FH (например, доступ к диспетчеру функций MS-DOS осуществляется выполнением команды i nt 21 h ). Программы BIOS, хранящиеся в ПЗУ, и прикладные программы IBM PC используют другие прерывания, с большими или меньшими номерами. Это распределение номеров прерываний условно и никаким образом не закреплено аппаратно.

Таблица векторов прерываний

Для того чтобы связать адрес обработчика прерывания с номером прерывания, используется таблица векторов прерываний, занимающая первый килобайт оперативной памяти. Эта таблица находится в диапазоне адресов от 0000:0000 до 0000:03FFh и состоит из 256 элементов – дальних адресов обработчиков прерываний.

Элементы таблицы векторов прерываний называются векторами прерываний. В первом слове элемента таблицы записана компонента смещения, а во втором – сегментная компонента адреса обработчика прерывания.

Вектор прерывания с номером 0 находится по адресу 0000:0000, с номером 1 - по адресу 0000:0004 и т. д. В общем случае адрес вектора прерывания находится путем умножения номера прерывания на 4.

Инициализация таблицы выполняется частично системой базового ввода/вывода BIOS после тестирования аппаратуры и перед началом загрузки операционной системой, частично при загрузке MS-DOS. Операционная система MS-DOS может изменить некоторые вектора прерываний, установленные BIOS.

Таблица векторов прерываний

Номер	Описание
	Ошибка деления. Вызывается автоматически после выполнения команд DIV или IDIV, если в результате деления происходит переполнение (например, при делении на 0). Обычно при обработке этого прерывания MS-DOS выводит сообщение об ошибке и останавливает выполнение программы. При этом для процессора i8086 адрес возврата указывает на команду, следующую после команды деления, а для процессора i80286 и более поздних моделей - на первый байт команды, вызвавшей прерывание
	Прерывание пошагового режима. Вырабатывается после выполнения каждой машинной команды, если в слове флагов установлен бит пошаговой трассировки TF. Используется для отладки программ. Это прерывание не вырабатывается после пересылки данных в сегментные регистры командами MOV и POP
	Аппаратное немаскируемое прерывание. Это прерывание может использоваться по-разному в разных машинах. Обычно оно вырабатывается при ошибке четности в оперативной памяти и при запросе прерывания от сопроцессора
	Прерывание для трассировки. Генерируется при выполнении однобайтовой машинной команды с кодом CCh и обычно используется отладчиками для установки точки прерывания
	Переполнение. Генерируется машинной командой INTO , если установлен флаг переполнения OF. Если флаг не установлен, команда INTO выполняется как NOP. Это прерывание используется для обработки ошибок при выполнении арифметических операций
	Печать копии экрана. Генерируется, если пользователь нажал клавишу В программах MS-DOS обычно используется для печати образа экрана. Для процессора i80286 и более старших моделей генерируется при выполнении машинной команды BOUND, если проверяемое значение вышло за пределы заданного диапазона
	Неопределенный код операции или длина команды больше 10 байт
	Особый случай отсутствия арифметического сопроцессора
	IRQ0 – прерывание интервального таймера, возникает 18,2 раза в секунду
	IRQ1 – прерывание от клавиатуры. Генерируется, когда пользователь нажимает и отжимает клавиши. Используется для чтения данных из клавиатуры
	IRQ2 – используется для каскадирования аппаратных прерываний
	IRQ3 – прерывание асинхронного порта COM2
	IRQ4 – прерывание асинхронного порта COM1
	IRQ5 – прерывание от контроллера жесткого диска (только для компьютеров IBM PC/XT)
	IRQ6 – прерывание генерируется контроллером НГМД после завершения операции ввода/вывода
	IRQ7 – прерывание от параллельного адаптера. Генерируется, когда подключенный к адаптеру принтер готов к выполнению очередной операции. Обычно не используется
	Обслуживание видеоадаптера
	Определение конфигурации устройств в системе
	Определение размера оперативной памяти
	Обслуживание дисковой системы
	Работа с асинхронным последовательным адаптером
	Расширенный сервис
	Обслуживание клавиатуры
	Обслуживание принтера
	Запуск BASIC в ПЗУ, если он есть

	Обслуживание часов
	Обработчик прерывания, возникающего, если пользователь нажал комбинацию клавиш
	Программное прерывание, вызывается 18,2 раза в секунду обработчиком аппаратного прерывания таймера
	Адрес видеотаблицы для контроллера видеоадаптера 6845
	Указатель на таблицу параметров дискеты
	Указатель на графическую таблицу для символов с кодами ASCII 128-255
	Используется MS-DOS или зарезервировано для MS-DOS
	Прерывания, зарезервированные для программ пользователя
	Не используются
	IRQ8 – прерывание от часов реального времени
	IRQ9 – прерывание от контроллера EGA
	IRQ10 – зарезервировано
	IRQ11 – зарезервировано
	IRQ12 – зарезервировано
	IRQ13 – прерывание от арифметического сопроцессора
	IRQ14 – прерывание от контроллера жесткого диска
	IRQ15 – зарезервировано
	Не используются
	Зарезервировано для BASIC
	Используются интерпретатором BASIC
	Не используются

Прерывания, обозначенные как IRQ0 – IRQ15 являются внешними аппаратными.

Порядок обслуживания прерываний

ЦП, обнаружив сигнал прерывания, помещает в машинный стек слово состояния программы (определяющее различные флаги ЦП), регистр программного сегмента (CS) и указатель команд (IP) и блокирует систему прерываний. Затем ЦП с помощью 8-разрядного числа (номера прерывания), установленного на системной магистрали прерывающим процессом, извлекает из таблицы векторов адрес обработчика и возобновляет выполнение с этого адреса.

При наличии нескольких источников запросов прерывания должен быть установлен определенный порядок (дисциплина) в обслуживании поступающих запросов. Другими словами, между запросами (и соответствующими прерывающими программами) должны быть установлены приоритетные соотношения, определяющие, какой из нескольких поступивших запросов подлежит обработке в первую очередь, и устанавливающие, имеет право или не имеет данный запрос (прерывающая программа) прерывать ту или иную программу. Если наиболее приоритетный из выставленных запросов прерывания не превосходит по уровню приоритета выполняемую процессором программу, то запрос прерывания игнорируется или его обслуживание откладывается до завершения выполнения текущей программы. Каждому прерыванию соответствует определенный номер, который и определяет приоритет. Более приоритетным считается запрос с меньшим номером, т.е. наибольший приоритет имеет запрос прерывания с номером 0, а наименьший – запрос с номером 255.

Состояние системы в момент передачи управления обработчику прерываний совершенно не зависит от того, было ли прерывание возбуждено внешним устройством или явилось результатом выполнения программой команды INT. Это обстоятельство удобно использовать при написании и тестировании обработчиков внешних прерываний, отладку которых можно почти полностью выполнить, возбуждая их простыми программными средствами.

Аргументы передаются обработчикам прерываний через регистры или стек.

Программная модель микропроцессора x86. Классификация, перечень и назначение пользовательских регистров.

Под программной моделью микропроцессора понимается та его часть, которая оставлена видимой и доступной для программирования. Мы рассмотрим программную модель на примере процессора i80486, который содержит 32 регистра в той или иной мере доступных для использования программистом. Данные регистры можно разделить на две большие группы:

16 пользовательских регистров, которые пользователь может свободно использовать в своих программах для реализации поставленной задачи;

16 системных регистров регистры, предназначенных для поддержки различных режимов работы, сервисных функций.

Регистрами называются области высокоскоростной памяти, расположенные внутри процессора в непосредственной близости от его исполнительного ядра. Доступ к ним осуществляется несравнимо быстрее, чем к ячейкам оперативной памяти. Соответственно, машинные команды с операндами в регистрах выполняются максимально быстро.

К пользовательским регистрам относятся:

восемь 32-битных регистров, которые могут использоваться программистами для хранения данных и адресов. Их называют регистрами общего назначения (РОН):

шесть сегментных регистров:

регистры состояния и управления:

регистр флагов EFlags/Flags;

регистр указателя команды EIP/IP.

Рис. 1.3 Пользовательские регистры микропроцессора i486

Многие из имен регистров приведены с наклонной разделительной чертой. Следует заметить, что это не разные регистры – это части одного большого 32-разрядного регистра. Их можно использовать в программе как отдельные объекты. Так сделано для обеспечения работоспособности программ, написанных для младших 16-разрядных моделей микропроцессоров фирмы Intel, начиная с i8086. Микропроцессоры i486 и Pentium имеют в основном 32-разрядные регистры. Их количество, за исключением сегментных регистров, такое же, как и у i8086, но размерность больше, что и отражено в их обозначениях - они имеют приставку E (Extended).

Рассмотрим состав и назначение пользовательских регистров.

Регистры общего назначения

Все регистры этой группы позволяют обращаться к своим “младшим” частям (см. рис. 1.3). Заметим, что как самостоятельные объекты можно использовать только младшие 16 и 8-битные части этих регистров. Старшие 16 бит этих регистров как самостоятельные объекты недоступны. Это сделано, как было отмечено выше, для совместимости с младшими 16-разрядными моделями микропроцессоров фирмы Intel.

Перечислим более подробно регистры, относящиеся к группе регистров общего назначения. Так как эти регистры физически находятся в микропроцессоре внутри арифметико-логического устройства (АЛУ), то их часто называют регистрами АЛУ:

EAX/AX/AH/AL (Accumulator register) – аккумулятор . Применяется для хранения промежуточных данных. В некоторых командах использование этого регистра обязательно;

EBX/BX/BH/BL (Base register) – базовый регистр. Применяется для хранения базового адреса некоторого объекта в памяти;

ECX/CX/CH/CL (Counter register) – регистр - счетчик . Применяется в командах, производящих некоторые повторяющиеся действия. Его использование зачастую неявно и скрыто в алгоритме работы соответствующей команды. К примеру, команда организации цикла loopкроме передачи управления команде, находящейся по некоторому адресу, уменьшает на единицу и анализирует значение регистраECX/CX;

EDX/DX/DH/DL (Data register) – регистр данных . Так же, как и регистр EAX/AX/AH/AL, он хранит промежуточные данные. В некоторых командах его использование обязательно; для некоторых команд это происходит неявно (например, умножение и деление).

Следующие два регистра используются для поддержки так называемых цепочечных операций, то есть операций, производящих последовательную обработку цепочек элементов, каждый из которых может иметь длину 32, 16 или 8 бит:

ESI/SI (Source Index register) – индекс источника . Этот регистр в цепочечных операциях содержит текущий адрес элемента в цепочке-источнике;

EDI/DI (Destination Index register) – индекс приемника (получателя). Этот регистр в цепочечных операциях содержит текущий адрес в цепочке-приемнике.

В архитектуре микропроцессора на программно-аппаратном уровне поддерживается такая структура данных, как стек .

Стек – это область памяти, специально выделяемая для временного хранения данных программы. Работу со стеком микропроцессор организует по следующему принципу: последний, занесенный в эту область, элемент извлекается первым .

Для работы со стеком в системе команд микропроцессора есть специальные команды, а в программной модели микропроцессора для этого существуют специальные регистры:

ESP/SP (Stack Pointer register) – регистр указателя стека . Содержит указатель вершины стека в текущем сегменте стека.

EBP/BP (Base Pointer register) - регистр указателя базы кадра стека . Предназначен для организации произвольного доступа к данным внутри стека.

Более подробно особенности использования стека рассматриваются в модуле №4 «Команды микропроцессора i80486», раздел «Команды работы со стеком».

На самом деле функциональное назначение регистров АЛУ на является жестким. Большинство из регистров могут использоваться при программировании для хранения операндов практически в любых сочетаниях. Но, как было отмечено выше, некоторые команды используют фиксированные регистры для выполнения своих действий.

Сегментные регистры

В программной модели микропроцессора имеется шесть сегментных регистров: CS , SS , DS , ES , FS , GS . Их существование обусловлено спецификой организации и использования оперативной памяти микропроцессорами Intel. Она заключается в том, что микропроцессор аппаратно поддерживает структурную организацию программы в виде трех частей, называемых сегментами . Соответственно, такая организация памяти называется сегментной .

Для того чтобы указать на сегменты, к которым программа имеет доступ в конкретный момент времени, и предназначены сегментные регистры . Фактически, с небольшой поправкой, как мы увидим далее, в этих регистрах содержатся адреса памяти, с которых начинаются соответствующие сегменты. Логика обработки машинной команды построена так, что при выборке команды, доступе к данным программы или к стеку неявно используются адреса во вполне определенных сегментных регистрах. Более подробно типы сегментов и соответствующих им регистров рассмотрены в разделе 3 «Сегментная организация памяти» данного модуля.

Регистры состояния и управления

В микропроцессор включены два регистра, которые постоянно содержат информацию о состоянии как самого микропроцессора, так и программы, команды которой в данный момент загружены на конвейер:

регистр флагов EFlags/Flags;

регистр указателя команды EIP/IP.

Используя эти регистры, можно получать информацию о результатах выполнения команд и влиять на состояние самого микропроцессора. Рассмотрим подробнее назначение и содержимое этих регистров:

EFlags / Flags (Flagsregister). Отдельные биты данного регистра имеют определенное функциональное назначение и называются флагами. Младшая часть этого регистра полностью аналогична региструFlagsдля i8086. На рис. 1.4 показано содержимое регистраEFlags.

Исходя из особенностей использования, флаги регистра EFlags/Flagsможно разделить на три группы:

8 флагов состояния . Эти флаги могут изменяться после выполнения машинных команд. Флаги состояния регистра EFlags отражают особенности результата исполнения арифметических или логических операций. Это дает возможность анализировать состояние вычислительного процесса и реагировать на него с помощью команд условных переходов и вызовов подпрограмм. В табл. 1.1 приведены основные флаги состояния и указано их назначение;

1 флаг управления . Обозначается DF (Direction Flag). Он находится в 10-м бите регистра EFlags и используется цепочечными командами. Значение флага DF определяет направление поэлементной обработки в этих операциях: от начала строки к концу (DF = 0) либо наоборот, от конца строки к ее началу (DF = 1). Для работы с флагом DF существуют специальные команды: cld (снять флаг DF) и std (установить флаг DF). Применение этих команд позволяет привести флаг DF в соответствие с алгоритмом и обеспечить автоматическое увеличение или уменьшение счетчиков при выполнении операций со строками;

5 системных флагов , управляющих вводом/выводом, маскируемыми прерываниями, отладкой, переключением между задачами и виртуальным режимом 8086. Прикладным программам не рекомендуется модифицировать без необходимости эти флаги, так как в большинстве случаев это приведет к прерыванию работы программы. В табл. 1.2 перечислены системные флаги и их назначение.

Рис. 1.4 Содержимое регистра EFlags

Таблица 1.1

Основные флаги состояния

Мнемо-ника флага	Флаг	Номер бита в EFlags
	Флаг переноса (Carry Flag)		1 – арифметическая операция произвела перенос из старшего бита результата. Старшим является 7, 15 или 31-й бит в зависимости от размерности операнда; 0 – переноса не было
	Флаг паритета (Parity Flag)		1 – 8 младших разрядов (этот флаг – только для 8 младших разрядов операнда любого размера) результата содержат четное число единиц; 0 - 8 младших разрядов результата содержат нечетное число единиц
	Флаг нуля (Zero Flag)		1 – результат нулевой; 0 – результат ненулевой
	Флаг знака		Отражает состояние старшего бита результата (биты 7, 15 или 31 для 8, 16 или 32-разрядных операндов соответственно): 1 – старший бит результата равен 1; 0 – старший бит результата равен 0
	Флаг переполнения (Overflow Flag)		Флаг of используется для фиксирования факта потери значащего бита при арифметических операциях: 1 – в результате операции происходит перенос (заем) в(из) старшего, знакового бита результата (биты 7, 15 или 31 для 8, 16 или 32-разрядных операндов соответственно); 0 – в результате операции не происходит переноса (заема) в(из) старшего, знакового бита результата

1. Что такое вектор?

2. Сложение векторов.

3. Равенство векторов.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

5. Свойства операций над векторами.

6. Доказательства и решение задач.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной.Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Итак, вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1).

Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху, Той же буквой, но не жирной, а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или Iа I, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или Iа I. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить, что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.

Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение:вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную “геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов а и в с координатами а 1 , а 2 и в 1 , в 2 называется вектор с с координатами а 1 + в 1 , а 2 + в 2 , т.е. а (а 1 ; а 2) + в (в 1 ;в 2) = с (а 1 + в 1 ; а 2 + в 2).
Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.а и в – векторы (рис.5).

Пусть

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем:АВ + ВС =АС.
откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в ) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов. Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой “вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот “вектор” изображается “отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Равенство векторов.