Задачи на построение сечений в параллелепипеде. Как начертить наклонное сечение

Определение

Сечение - это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве” .

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\) , не лежащая в плоскости \(\pi\) , параллельна некоторой прямой \(p\) , лежащей в плоскости \(\pi\) , то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\) . Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\) , то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) - прямая \(m\) - параллельна прямой \(p\) .

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\) . Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\) , не лежащей на прямой \(l\) , то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\) . Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\) . Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA"\) и \(BB"\) (точки \(A", B"\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A"B"\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\) . Точка \(M=a\cap A"B"\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\) .

Причем заметим, что все точки \(A, B, A", B", M\) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\) . Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\) .

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA", CC"\) перпендикулярны \((ABC)\) , то точки \(A\) и \(C\) - проекции точек \(P\) и \(K\) . Тогда прямая \(AC\) – проекция прямой \(PK\) на плоскость \(ABC\) . Продлим отрезки \(PK\) и \(AC\) за точки \(K\) и \(C\) соответственно и получим точку пересечения прямых – точку \(E\) .

2) Найдем отношение \(AC:EC\) . \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\) по двум углам (\(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\) , то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\) . Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\) , высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\) , считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\) , считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\) .

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . Т.к. \(DO\perp (ABC)\) , то и \(NO\perp (ABC)\) . Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\) . Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\) .
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\) , то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\) , то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\) , следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\) .

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . \(L\) – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\) , хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\) . Тогда медиана \(AK=\dfrac{\sqrt3}2a\) . Значит, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1{2\sqrt3}a\) . Найдем длину отрезка \(OL\) (тогда мы сможем понять, внутри или вне отрезка \(OK\) находится точка \(L\) : если \(OL>OK\) – то вне, иначе – внутри).

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{DO}=\dfrac{AQ}{AO}=\dfrac{MA}{DA}=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a\]

Значит, \(QK=\dfrac{\sqrt3}2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a=\dfrac7{10\sqrt3}a\) .

б) Обозначим \(KL=x\) .
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\) , значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\) .

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\) ).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) . Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) , проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\) .

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\) . Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\) . Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\) .

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\) , она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\) . Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\) . Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\) , получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\) . Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\) , то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\) . Но \(SB=SD\) , значит и \(SK=SP\) . Таким образом, можно найти только \(SP:PD\) .

Рассмотрим \(\triangle ASC\) . \(CM, SH\) – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то есть \(SO:OH=2:1\) .

Теперь по теореме Фалеса из \(\triangle BSD\) : \(\dfrac{SP}{PD}=\dfrac{SO}{OH}=\dfrac21\) .

3) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(CO\perp BD\) как наклонная (\(OH\) – перпендикуляр на плоскость \(ABC\) , \(CH\perp BD\) – проекция). Значит, \(CO\perp KP\) . Таким образом, сечением является четырехугольник \(CPMK\) , диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Пример 4

Дана прямоугольная пирамида \(DABC\) с ребром \(DB\) , перпендикулярным плоскости \(ABC\) . В основании лежит прямоугольный треугольник с \(\angle B=90^\circ\) , причем \(AB=DB=CB\) . Проведите через прямую \(AB\) плоскость, перпендикулярную грани \(DAC\) , и найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

Решение

1) Плоскость \(\alpha\) будет перпендикулярна грани \(DAC\) , если она будет содержать прямую, перпендикулярную \(DAC\) . Проведем из точки \(B\) перпендикуляр на плоскость \(DAC\) - \(BH\) , \(H\in DAC\) .

Проведем вспомогательные \(BK\) – медиану в \(\triangle ABC\) и \(DK\) – медиану в \(\triangle DAC\) .
Т.к. \(AB=BC\) , то \(\triangle ABC\) – равнобедренный, значит, \(BK\) – высота, то есть \(BK\perp AC\) .
Т.к. \(AB=DB=CB\) и \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\) , то \(\triangle ABD=\triangle CBD\) , следовательно, \(AD=CD\) , следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\) .

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\) ; наклонная \(BK\perp AC\) , значит и проекция \(HK\perp AC\) . Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\) . Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\) .

Соединив точки \(A\) и \(H\) , получим отрезок \(AN\) , по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\) . Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\) .

Обозначим \(AB=CB=DB=x\) . Тогда \(BK\) , как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\) , равна \(\frac12 AC\) , следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Рассмотрим \(\triangle BKD\) . Найдем отношение \(DH:HK\) .

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\) , то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\) . Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\) , следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\) . Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\) .

На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра
А, B , C , D - вершины тетраэдра .
AB , AC , AD , BC , BD , CD - ребра тетраэдра .
ABC , ABD , BDC , ADC - грани тетраэдра .

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение :
Рассмотрим грань тетраэдра D ВС . В этой грани точки N и P принадлежат грани D ВС , а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP - это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D ВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости D ВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС . Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .

Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .

Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ , АС , ВС .
В плоскости АВ D через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВ D . Аналогично в плоскости АС D через точку Р проведем прямую РR параллельно АС . Получили точку R . Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС , значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR - искомое сечение. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D МN . Пусть прямая D М пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СК D - это сечение плоскости D МN и тетраэдра. В плоскости D МN лежит и прямая NM , и полученная прямая СК . Значит, если NM не параллельна СК , то они пересекутся в некоторой точке Р . Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС . В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС . Это точка К , она получена с помощью вспомогательной плоскости D МN , т.е. мы проводим D М и получаем точку F . Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К .

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР . Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС . Получаем точки Р 1 и Р 2 . Соединяем Р 1 и М и на продолжении получаем точку М 1 . Соединяем точку Р 2 и N . В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1 . Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС . Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р 1 Р 2 , тогда прямая Р 1 Р 2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().

3. Фестиваль педагогических идей ().

Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?

Цель работы:
Развитие пространственных представлений.
Задачи:
1. Познакомить с правилами построения сечений.
2. Выработать навыки построения сечений
тетраэдра и параллелепипеда при различных
случаях задания секущей плоскости.
3. Сформировать умение применять правила
построения сечений при решении задач по
темам «Многогранники».

Для решения многих
геометрических
задач необходимо
строить сечения
многогранников
различными
плоскостями.

Понятие секущей плоскости

Секущей
плоскостью
параллелепипеда
(тетраэдра)
называется любая
плоскость, по обе
стороны от
которой имеются
точки данного
параллелепипеда
(тетраэдра).

Понятие сечения многогранника

Секущая плоскость
пересекает грани
тетраэдра
(параллелепипеда) по
отрезкам.
Многоугольник, сторонами
которого являются данные
отрезки, называется
сечением тетраэдра
(параллелепипеда).

Работа по рисункам

Сколько плоскостей можно провести
через выделенные элементы?
Какие аксиомы и теоремы вы применяли?

Для построения сечения
нужно построить точки
пересечения секущей
плоскости с ребрами и
соединить их отрезками.

Правила построения сечений

1. Соединять можно только две
точки, лежащие в плоскости одной
грани.
2. Секущая плоскость пересекает
параллельные грани по
параллельным отрезкам.

Правила построения сечений

3. Если в плоскости грани отмечена
только одна точка, принадлежащая
плоскости сечения, то надо
построить дополнительную точку.
Для этого необходимо найти точки
пересечения уже построенных
прямых с другими прямыми,
лежащими в тех же гранях.

10. Построение сечений тетраэдра

11.

Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться
Треугольники
Четырехугольники

12.

Построить сечение тетраэдра
DABC плоскостью, проходящей
через точки M,N,K
1. Проведем прямую через
точки М и К, т.к. они лежат
в одной грани (АDC).
D
M
AA
N
K
BB
CC
2. Проведем прямую через
точки К и N, т.к. они
лежат в одной грани
(СDB).
3. Аналогично рассуждая,
проводим прямую MN.
4. Треугольник MNK –
искомое сечение.

13. проходящей через точку М параллельно АВС.

D
1. Проведем через точку М
прямую параллельную
ребру AB
2.
М
Р
А
К
С
В
Проведем через точку М
прямую параллельную
ребру AC
3. Проведем прямую через
точки K и P, т.к. они лежат в
одной грани (DBC)
4. Треугольник MPK –
искомое сечение.

14.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
D
1. Проводим КF.
2. Проводим FE.
3. Продолжим
EF, продолжим AC.
F
4. EF AC =М
5. Проводим
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Проводим EL
L
EFKL – искомое сечение
K
B

15.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K
СКакие
какойпрямые
точкой,
лежащей в
можно
Соедините
получившиеся
Какие
точки
можно
сразу
той
же
грани
можно
продолжить,
чтобы
получить
точки,
лежащие
в
одной
соединить?
соединить
полученную
дополнительную
точку?
грани,
назовите
сечение.
дополнительную точку?
D
АС
ЕLFK
FСЕК
иточкой
K,и Е
и FК
F
L
C
M
A
E
K
B

16.

Построить сечение
тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
О

17.

Вывод: независимо от способа
построения сечения одинаковые

18. Построение сечений параллелепипеда

19.

Тетраэдр имеет 6 граней
Треугольники
Пятиугольники
В его сечениях могут получиться
Четырехугольники
Шестиугольники

20. Построить сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точку Х параллельно плоскости (ОСВ)

В1
А1
Y
Х
D1
S
В
А
D
Z
1. Проведем через
С1
точку X прямую
параллельную ребру
D1C1
2. Через точку X
прямую
параллельную ребру
D1D
3. Через точку Z прямую
параллельную ребру
С
DC
4. Проведем прямую через
точки S и Y, т.к. они лежат в
одной грани (BB1C1)
XYSZ – искомое сечение

21.

Построить сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки
M,A,D
В1
D1
E
A1
С1
В
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – искомое сечение
М
D
С

22. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К, Т

N
М
К
R
S
Х
Т

23. Выполните задания самостоятельно

м
т
к
м
Д
к
т
Постройте сечение: а) параллелепипеда;
б) тетраэдра
плоскостью, проходящей через точки М, Т, К.

24. Использованные ресурсы

Соболева Л. И. Построение сечений
Ткачева В. В. Построение сечений
тетраэдра и параллелепипеда
Гобозова Л. В. Задачи на построение
сечений
DVD-диск. Уроки геометрии Кирилла и
Мефодия. 10 класс, 2005
Обучающие и проверочные задания.
Геометрия. 10 класс (Тетрадь)/Алешина
Т.Н. – М.: Интеллект-Центр, 1998

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ И РАЗРЕЗОВ НА ЧЕРТЕЖАХ

Формирование чертежа детали производится путем последовательного добавления необходимых проекций, разрезов и сечений. Первоначально создается произвольный вид с указанной пользователем модели, при этом задается ориентация модели, наиболее подходящая для главного вида. Далее по этому и следующим видам создаются необходимые разрезы и сечения.

Главный вид (вид спереди) выбирается таким образом, чтобы он давал наиболее полное представление о формах и размерах детали.

Разрезы на чертежах

В зависимости от положения секущей плоскости различают следующие виды разрезов:

А) горизонтальные, если секущая плоскость располагается параллельно горизонтальной плоскости проекций;

Б) вертикальные, если секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций;

В) наклонные - секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций.

Вертикальные разрезы подразделяются на:

· фронтальные - секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций;

· профильные - секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций.
В зависимости от числа секущих плоскостей разрезы бывают:

· простые - при одной секущей плоскости (рис.107);

· сложные - при двух и более секущих плоскостях (рис.108)
Стандартом предусмотрены следующие виды Сложных разрезов:

· ступенчатые, когда секущие плоскости располагаются параллельно (рис.108 а) и ломаные - секущие плоскости пересекаются (рис.108 б)

Рис.107 Простой разрез

А) б)

Рис.108 Сложные разрезы

Обозначение разрезов

В случае, когда в простом разрезе секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, разрез не обозначается (рис.107). Во всех остальных случаях разрезы обозначаются прописными буквами русского алфавита, начиная с буквы А, например А-А.

Положение секущей плоскости на чертеже указывают линией сечения – утолщенной разомкнутой линией. При сложном разрезе штрихи проводят также у перегибов линии сечения. На начальном и конечном штрихах следует ставить стрелки, указывающие направление взгляда, стрелки должны находиться на расстоянии 2-3 мм от наружных концов штрихов. С наружной стороны каждой стрелки, указывающей направление взгляда, наносят одну и ту же прописную букву.

Для обозначения разрезов и сечений в системе КОМПАС используется одна и та же кнопка Линия разреза, расположенная на странице Обозначения (рис.109).

Рис.109 Кнопка Линия разреза

Соединение половины вида с половиной разреза

Если вид и разрез представляют собой симметричные фигуры (рис.110), то можно соединять половину вида и половину разреза, разделяя их штрихпунктирой тонкой линией, являющейся осью симметрии. Часть разреза обычно располагают справа от оси симметрии, разделяющей часть вида с частью разреза, или снизу от оси симметрии. Линии невидимого контура на соединяемых частях вида и разреза обычно не показываются. Если с осевой линией, разделяющий вид и разрез, совпадает проекция какой-либо линии, например, ребра гранной фигуры, то вид и разрез разделяются сплошной волнистой линией, проводимой левее оси симметрии, если ребро лежит на внутренней поверхности, или правее, если ребро наружное.

Рис. 110 Соединение части вида и разреза

Построение разрезов

Построение разрезов в системе КОМПАС изучим на примере построения чертежа призмы, задание для которого изображено на рис.111.

Последовательность построения чертежа следующая:

1. По заданным размерам построим твердотельную модель призмы (рис.109 б). Сохраним модель в памяти компьютера в файле с именем «Призма».

Рис.112 Панель Линии

3. Для построения профильного разреза (рис.113) начертим линию разреза А-А на главном виде с помощью кнопки Линия разреза.

Рис.113 Построение профильного разреза

Направление взгляда и текст обозначения можно выбрать на панели управления командой внизу экрана (рис.114). Завершается построение линии разреза нажатием на кнопку Создать объект.

Рис.114 Панель управления командой построения разрезов и сечений

4. На панели Ассоциативные виды (рис.115) выберем кнопку Линия разреза, затем появившейся на экране ловушкой укажем линию разреза. Если все сделано верно (линия разреза должна быть обязательно построена в активном виде), то линия разреза окрасится в красный цвет. После указания линии разреза А-А на экране появится фантом изображения в виде габаритного прямоугольника.

Рис.115 Панель Ассоциативные виды

С помощью переключателя Разрез/сечение на Панели свойств выбирается тип изображения – Разрез (рис.116) и масштаб отображаемого разреза.

Рис.116 Панель управления командой построения разрезов и сечений

Профильный разрез построится автоматически в проекционной связи и со стандартным обозначением. При необходимости проекционную связь можно отключать переключателем Проекционная связь (рис.116). Для настройки параметров штриховки, которая будет использована в создаваемом разрезе (сечении) используется элементы управления на вкладке Штриховка.

Рис.117 Построение горизонтального разреза Б-Б и сечения В-В

Если выбранная секущая плоскость при построении разреза совпадает с плоскостью симметрии детали, то в соответствии со стандартом такой разрез не обозначается. Но если просто стереть обозначение разреза, то из-за того, что вид и разрез в памяти компьютера связаны между собой, то сотрется и весь разрез. Поэтому для того, чтобы удалить обозначение, вначале следует разрушить связь вида и разреза. Для этого щелчком левой кнопки мыши выделяется разрез, а затем щелчком правой кнопки мыши вызывается контекстное меню, из которого выбирается пункт Разрушить вид (рис.97). Теперь обозначение разреза можно удалить.

5. Для построения горизонтального разреза проведем через нижнюю плоскость отверстия на виде спереди линию разреза Б-Б. Предварительно обязательно двумя щелчками левой кнопки мыши вид спереди следует сделать текущим. Затем строится горизонтальный разрез (рис.117).

6. При построении фронтального разреза совместим часть вида и часть разреза, т.к. это симметричные фигуры. На линию разделяющую вид и разрез проецируется наружное ребро призмы, поэтому разграничим вид и разрез сплошной тонкой волнистой линией, проводимой правее оси симметрии, т.к. ребро наружное. Для построения волнистой линии используется кнопка Кривая Безье, расположенной на панели Геометрия, вычерчиваемая стилем Для линии обрыва (рис.118). Последовательно указывайте точки, через которые должна пройти кривая Безье. Закончить выполнение команды следует нажатием на кнопку Создать объект.

Рис.118 Выбор стиля линии для обрыва

Построение сечений

Сечением называется изображения предмета, которые получаются при мысленном рассечении предмета плоскостью. На сечении показывают только то, что расположено в секущей плоскости.

Положение секущей плоскости, с помощью которой образуется сечение, на чертеже указывают линией сечения, так же как для разрезов.

Сечения в зависимости от расположения их на чертежах разделяются на вынесенные и наложенные. Вынесенные сечения располагаются чаще всего на свободном поле чертежа и обводятся основной линией. Наложенные сечения располагают непосредственно на изображении предмета и обводят тонкими линиями (рис.119).

Рис.119 Построение сечений

Рассмотрим последовательность построения чертежа призмы с вынесенным наклонным сечением Б-Б (рис.117).

1. Сделаем вид спереди активным двойным щелчком левой кнопкой мыши по виду и начертим линию разреза с помощью кнопки Линия разреза. Выберем текст надписи В-В.

2. С помощью кнопки Линия разреза, расположенной на панели Ассоциативные виды (рис.115), появившейся ловушкой укажем линию секущей плоскости В-В. С помощью переключателя Разрез/сечение на Панели свойств следует выбрать тип изображения – Сечение (рис.116), масштаб отображаемого сечения выбирается из окна Масштаб.

Построенное сечение располагается в проекционной связи, что ограничивает его перемещение по чертежу, но проекционную связь можно отключать с помощью кнопки Проекционная связь.

На готовом чертеже следует прочертить осевые линии, при необходимости проставить размеры.

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
В задачах используются в основном простейшие многогранники.
Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

что значит построить сечение многогранника плоскостью;
как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
как задается плоскость;
когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

тремя точками;
прямой и точкой;
двумя параллельными прямыми;
двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

Метод следов.

Метод вспомогательных сечений.

Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 класов входят учебники авторов:

Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той последовательности, в какой он может применяться для обучения учащихся. Из изложения темы “Многогранники” предлагается исключить следующие параграфы: “Построение сечений призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем, чтобы систематизировать данный материал в конце этой темы “Многогранники”. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа “от простого к сложному” можно весьма условно следующим образом:

Определение сечения многогранников.
Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)

УРОК 1.
Тема урока: “Построение сечений многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.

Этапы урока:

Актуализация опорных знаний.
Постановка задачи.
Изучение нового материала:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

Закрепление материала.

Примеры построений сечений методом следов.

Подведение итогов урока.

Ход урока.

Актуализация опорных знаний.

Вспомним:
- пересечение прямой с плоскостью;
- пересечение плоскостей;
- свойства параллельных плоскостей.

Постановка задачи.

Вопросы к классу:
- Что значит построить сечение многогранника плоскостью?
- Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?
- Как задается плоскость?
- Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

Изучение нового материала.

А) Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости (рис.1). Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

Какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

Может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные сечения плоскостью (на модели). Какие многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА 1 В 1 В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S 1 , принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S 2 пересечением прямых QR и BC.
Прямая S 1 S 2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
Прямая S 1 S 2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D. Аналогично получаем TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.
Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.
Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.
Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.5)).

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных многогранников плоскостью PQR? И выполните правильное построение (рис. 6).

Вариант 1.

Вариант 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами нахождения площади сечения многогранника.

Этапы урока:

Актуализация опорных знаний.

Вспомнить теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

Решение задач на нахождение площади сечения:

Без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;

С использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

Актуализация опорных знаний.

Вспомним теорему о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Решение задач.

ABCD – правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равной а и высотой DH равной h . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Найти площадь сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки Е и F на ребрах А 1 D 1 и C 1 D 1 соответственно, если A 1 E = k · D 1 E и C 1 F = k · D 1 F.

Построение сечения:

Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A 1 B 1 C 1 D 1 , а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая EF будет являться следом секущей плоскости на плоскость грани A 1 B 1 C 1 D 1 (рис.8).
Аналогично получаются прямые ED и FD.
EDF – искомое сечение.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной а плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА 1 , а N – середина ребра СС 1 .

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Ответ: S = 1/2 · a 2 .