Пример нахождения максимального потока методом Форда—Фалкерсона. Метод нахождения максимального потока
При планировании рационального распределения продукции в сети распределения необходимо согласовывать пропускную способность каналов с потребностями клиентов и с мощностью производственного предприятия. Данный класс задач решается методом нахождения максимального потока.
Рассмотрим сеть распределения (рис. 4.21), в которой выделены пункты 0 (вход, например, склад готовой продукции производителя) и п (выход, распределительные центры, склады оптовых и розничных организаций, потребитель) и каждой дуге (отрезку), связывающей пункты i и j, сопоставлено число dij > 0, называемое пропускной способностью дуги. Величина пропускной способности характеризует максимальное допустимое количество материального потока, которое может проходить по соответствующей дуге в единицу времени.
Рис. 4.21.
Количество продукции, проходящее по дуге от i до j , будем называть потоком по дуге (i ,j ) и обозначать через . Очевидно, что
Если учесть, что весь материальный поток, вошедший в промежуточный пункт сети, должен полностью выйти из него, получим
Из естественного требования равенства потоков на входе и на выходе имеем
Величину Z назовем величиной потока в сети и поставим задачу максимизации Z при соблюдении обозначенных выше условий.
Поиск максимального потока сводится к поиску пропускной способности минимального разреза.
Рассмотрим универсальный алгоритм поиска в матричной форме.
Начальный этап алгоритма состоит в построении матрицы D 0, в которую заносятся значения пропускных способностей (для неориентированной дуги берем симметричные значения элементов матрицы ).
Основные шаги алгоритма состоят в поиске некоторого пути и коррекции потока на этом пути.
При поиске пути используем процесс отмечаний. Метим символом * нулевые строку и столбец матрицы (вход сети). В 0-й строке отыскиваем , метим соответствующие столбцы индексами
и переносим метки столбцов на строки. Затем берем ί-ю отмеченную строку, ищем в ней непомеченный столбец с , которому сопоставляем метки-индексы
Метки столбцов переносим на строки, и этот процесс продолжаем до тех пор, пока не будет отмечен п-й столбец.
Затем "обратным ходом" по индексам выясняем путь, приведший к η-й вершине, уменьшаем пропускные способности дуг пути (элементы матрицы) на V n и увеличиваем симметричные элементы на эту же величину.
Такая процедура продолжается до тех пор, пока отмечание n -й вершины не станет невозможным.
Максимальный поток может быть найден вычитанием из исходной матрицы D 0, получаемой после приведенной выше корректуры матрицы пропускных способностей:
Пример 4.4
Производство размещено в Москве. Для распределения продукции предприятие привлекает посредников, которые работают с предприятием через распределительные центры различных уровней. В европейской части России работает оптовое предприятие 1, обслуживаемое центральным распределительным центром. Оптовое предприятие 2 работает в ближайшем зарубежье (Украина, Белоруссия) и обслуживается региональным распределительным центром. Есть у предприятия на местном рынке (Москва и Московская область) свои клиенты – ритейлеры, которые получают продукцию с городского распределительного центра. Запасы регионального и городского распределительных центров пополняются с центрального распределительного центра.
Выделим фрагмент распределительной сети:
- склад готовой продукции производственного предприятия;
- центральный распределительный центр;
- региональный распределительный центр;
- городской распределительный центр;
- два оптовых предприятия;
- розничная точка, принадлежащая компании;
- потребители.
Рис. 4.22.
Каждое звено сети распределения обозначим цифрой, а над дугами проставим пропускную способность. Пропускная способность в зависимости от вида звена может быть выражена через объем производственной мощности, плановую потребность (спрос) потребителей и емкость рынка.
Граф сети распределения продукции представлен на рис. 4.23. Построим матрицу D 0, в которую занесем значения пропускных способностей звеньев распределительной сети (рис. 4.24).
Рис. 4.23.
Рис. 4.24.
Из нулевой строки отметим вершины (строки-столбцы) 1, 2 и 3 индексами μ = 0 и V, равными 30,10 и 10.
Из помеченной строки 1 отметим вершины 4 и 5 индексами μ = 1 и V4 = min (30,15) = 15, V5 = min (30,10) = 10.
Из строки 3 отметим вершину 6 и, наконец, из строки 4 – вершину 7 (рис. 4.25).
Рис. 4.25.
Обратным ходом по μ обнаруживаем путь: к вершине 7 от 4, к вершине 4 от 1, к вершине 1 от 0; корректируем элементы D 0 на величину потока V7 = 15.
Очередной шаг дает путь с потоком 5 (рис. 4.26).
Рис. 4.26.
Последующий шаг дает результат, представленный на рис. 4.27.
Рис. 4.27.
Дальнейшее отмечание невозможно. Отсюда получаем матрицу максимального потока (рис. 4.28).
Рис. 4.28.
В результате применения алгоритма нахождения максимального потока в сети получены результаты, представленные на рис. 4.29. Пары цифр в скобках, показанные на дугах графа, означают максимальную пропускную способность дуги и рекомендуемый объем поставки товаров в сеть.
Транспортная задача
Может возникать в физике, экономике и т.д.
На отдельные компоненты транспортной сети
(сеть железнодорожных, автомобильных и т.д.
путей; сеть трубопроводов и т.д.) наложены
ограничения – их максимально допустимая
нагрузка.
Необходимо определить максимально
возможное количество пассажиров, товара,
продукта и т.д., которое можно провезти по этой
сети и каким образом.
Мы построим графовую дискретную модель
этой транспортной задачи и решим ее в этой
модели.
работая в отделе статистического управления Военновоздушных сил США в Вашингтоне, впервые решил
задачу о максимальном потоке в ходе подготовки
воздушного моста во время блокады Западного Берлина.
В 1951 году Джордж Данциг впервые сформулировал
задачу в общем виде. В 1955 году, Лестер Форд и
Делберт Фалкерсон впервые построили алгоритм,
специально предназначенный для решения этой задачи.
Их алгоритм получил название алгоритм ФордаФалкерсона.
В 2010 году исследователи Джонатан Кёлнер и
Александер Мондры из МТИ вместе со своими
коллегами Дэниелем Спилманом из Йельского
университета и Шень-Хуа Тенем из ЮжноКалифорнийского университета продемонстрировали
очередное улучшение алгоритма.Дан ориентированный граф
(транспортная сеть) G=(V, E), вершина
графа s (источник) и вершина t (сток).
Каждой дуге (i, j) приписана некоторая
пропускная способность с(i,j) 0 (без
потери общности считаем её
целочисленной величиной),
определяющая максимальное значение
потока, который может протекать по
данной дуге.Потоком
в
сети
называют
целочисленную функцию f(i, j), заданную
на множестве дуг E и обладающей
следующими свойствами:
1. Ограничение потока пропускной
способностью
Для любой дуги (i, j) E выполняется
неравенство f(i, j) c(i, j).2. Сохранение потока
Для любой вершины q V,
выполняется равенство
q s
и
q t
f (i, q) f (q, j)
i V
(i , q) E
j V
(q , j) E
Т. е. сумма потока, заходящего в q, равна
сумме потока, выходящего из q (поток без
потерь и накоплений)Требуется определить значение
максимального потока, который
можно пропустить от источника s к
стоку t, и его распределение по дугам.Пример
У компании Lycky Puck в Ванкувере есть фабрика
(источник s), производящая хоккейные шайбы, а в
Виннипеге – склад (сток t), где эти шайбы хранятся.
Компания арендует места на грузовиках других фирм
для доставки шайб с фабрики на склад. Поскольку
грузовики ездят по определенным маршрутам (ребрам)
между городами (вершинами) и имеют ограниченную
грузоподъемность, компания Lycky Puck может
перевозить не более c(u,v) ящиков в день между каждой
парой городов u и v. Компания Lycky Puck не может
повлиять на маршруты и пропускную способность. Ее
задача – определить, какое наибольшее количество
ящиков в день можно отгружать, и затем производить
именно такое количество, поскольку не имеет смысла
производить шайб больше, чем можно отправить на
склад.Методы решения задачи
Линейное программирование
Представить задачу о максимальном потоке как задачу
линейного программирования. Переменными являются
потоки по рёбрам, а ограничениями - сохранение потока
и ограничение пропускной способности.
Алгоритм Форда-Фалкерсона
Найти любой увеличивающий путь. Увеличить поток по
всем его рёбрам на минимальную из их остаточных
пропускных способностей. Повторять, пока
увеличивающий путь есть. Алгоритм работает только
для целых пропускных способностей.
10.
Пример 1Дадим формулировку задачи о максимальном
потоке в терминах линейного программирования.
Пусть ХKM - объем перевозок из пункта К в пункт М.
К = 0,1,2,3, М = 1,2,3,4, причем перевозки возможны
лишь в пункт с большим номером. Значит, всего
имеется 9 переменных ХKM, а именно, Х01 , Х02 , Х03 , Х12
, Х13 , Х14 , Х23 , Х24 , Х34 .
s=0
t=4
11.
Задача линейного программирования,нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:
F → max ,
Х01 +Х02 +Х03 =F
-Х01 +Х12 +Х13 +Х14 = 0
-Х02 -Х12 +Х23 +Х24 = 0
-Х03 -Х13 -Х23 +Х34 = 0
-Х14 -Х24 -Х34 = - F
Х01 ≤ 2
Х02 ≤ 3
Х03 ≤ 1
Х12 ≤ 4
Х13 ≤ 1
Х14 ≤ 3
Х23 ≤ 1
Х24 ≤ 2
Х34 ≤ 2
ХКМ ≥ 0 , К, М = 0, 1, 2, 3, 4
F≥0.
12.
Разрезомназывают множество дуг,
удаление которых из сети приводит к
«разрыву» всех путей, ведущих из s в t.
Пропускная способность разреза – это
суммарная пропускная способность дуг, его
составляющих.
!!! Найти разрезы в примере 1
13.
Теорема Л. Форда и Д. Фалкерсона:Величина каждого потока из s в t не
превосходит
пропускной
способности
минимального разреза, разделяющего s и t,
причем поток, достигающий этого значения,
существует.
(Величина
максимального
потока
в
транспортной
сети
равна
величине
минимального разреза в ней)
!!! Найти минимальный разрез в примере 1
14.
С алгоритмической точки зрения этатеорема малопродуктивна.
Генерация всех подмножеств дуг и
проверка,
является
ли
очередное
подмножество разрезом – «лобовое решение»,
приводит к высокой сложности алгоритма.
Кроме того, данный факт не помогает
найти способ распределения максимального
потока по дугам.
15.
Алгоритм Форда-Фалкерсона«Техника меток» Л. Форда и Д. Фалкерсона
заключается в последовательном
(итерационном, поиском в ширину) построении
максимального потока путем поиска на каждом
шаге увеличивающей цепи, то есть пути, по
которому можно увеличить поток.
При этом узлы (вершины графа)
специальным образом помечаются. Отсюда и
возник термин «метка».
16.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаЧто представляет из себя метка
вершины?
первая цифра в метке – это номер
вершины, из которой идет поток в
данную вершину;
вторая цифра в метке – численное
значение потока, который можно
передать в данную вершину.
17.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаНа каждом шаге алгоритма вершины сети
могут находиться в одном из трех состояний:
вершина не имеет метки;
вершине присвоена метка, и она не
просмотрена, т. е. не все смежные с ней
вершины обработаны;
вершине присвоена метка, и она
просмотрена.
18.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаКак только вершина-сток становится
помеченной, это говорит о том, что
очередная увеличивающая поток цепочка
найдена, итоговый суммарный поток
необходимо увеличить на величину потока
найденной цепочки, и перейти к
следующему шагу алгоритма.
19.
Алгоритм Форда-ФалкерсонаДуга e=(u, v) сети является допустимой
дугой из u в v относительно потока f, если
e=(u, v) и f(e)
e=(v, u) и f(e)>0 (дуги второго типа,
обратные).
Второе условие говорит о том, что
допустимыми являются и дуги, входящие в
вершину u, по которым «уже пропущен
ненулевой поток».
Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс дискретной математики и (или) теории графов. С его помощью Вы освоите тему "Максимальный поток и минимальный разрез в сети". Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу : там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же задача о максимальном потоке в сети решается путём сведения к задаче линейного программирования.
Введём обозначения:
- n =|V | − размер графа (количество вершин);
- m =|E | − мощность графа (количество рёбер);
- A − матрица инцидентности орграфа сети размером n ×m ; каждый её элемент a ik =1, если из i -й вершины выходит k -я дуга; a ik =−1, если в i -ю вершину входит k -я дуга; и a ik =0 в остальных случаях; в каждом столбце такой матрицы ровно одна единица, одна минус единица, а остальные нули;
- s − номер вершины-источника сети; из этой вершины должны только выходить дуги, и любая другая вершина должна быть достижима из источника;
- t − номер вершины-стока сети; в эту вершину должны только входить дуги, и из любой другой вершины должен быть достижим сток;
- a s − s A ; в ней должны быть только единицы, т.к. из источника должны только выходить дуги;
- a t − t -я строка матрицы инцидентности орграфа сети A ; в ней должны быть только минус единицы, т.к. в сток должны только входить дуги;
- A st − матрица инцидентности орграфа сети A с выброшенными из неё s -й и t -й строками;
- e − вектор-столбец длины m ; в каждом его элементе e k будет величина потока в k -й дуге;
- c − вектор-столбец длины m ; в каждом его элементе c k ≥0 задаётся пропускная способность k -й дуги.
Тогда задача о максимальном потоке в сети может быть сформулирована как задача линейного программирования:
Максимизируется общий поток, выходящий из источника (1). При этом в любой промежуточной вершине входящий поток равен выходящему (2), а пропускные способности дуг ограничены (3).
Задача, двойственная к задаче о максимальном потоке − это задача о минимальном разрезе. Для построения минимального разреза можно воспользоваться теоремами двойственности. Нужно:
- удалить из орграфа сети все пустые (e k = 0) и насыщенные (e k = c k ) дуги;
- найти компоненты связности оставшегося графа;
- если таких компонент две, то выброшенные дуги дают минимальный разрез;
- если появится больше двух компонент связности, то у орграфа сети есть несколько минимальных разрезов (соответствующая задача линейного программирования вырожденная).
Для вырожденной задачи на данной странице строится первый, ближайщий к источнику минимальный разрез.
Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script . Включите их.
Введите исходные данные в находящиеся ниже области ввода. В первой области нужно (точнее, можно) ввести координаты вершин для рисования орграфа сети. Они задаются в виде матрицы n ×2: в первом столбце − x -е координаты, во втором − y -е. Числа можно задавать целые, с десятичной точкой или в экспоненциальной форме. Числа разделяйте пробелами. Общее количество строк в этой области ввода определяет размер орграфа n − количество вершин. Эти исходные данные (координаты вершин) не являются обязательными: если их не задать, то орграф сети будет рисоваться в виде правильного n -угольника, а количество вершин будет определяться максимальным номером вершины в следующей области ввода.
В следующей области ввода левая часть − обязательная для заполнения. В ней определяется структура орграфа сети. Каждая дуга в орграфе соединяет две вершины. Номера этих вершин задаются в виде матрицы m ×2 в левой части второй области ввода. На каждой строке вначале задаётся 1-я вершина (хвост, источник) дуги, а затем через пробел 2-я (остриё, сток) дуги. В этих столбцах должны быть натуральные числа от 1 до n включительно. Числа разделяйте пробелами. В правой части задаются пропускные способности дуг − положительные действительные числа. Если этот столбец не задан, все пропускные способности считаются одинаковыми (единичными). Общее количество чисел в каждом из этих столбцов определяет мощность орграфа m − количество дуг.
Посчитать
Потоки в сетях
Задача о максимальном потоке
Пусть задана сеть, состоящая из множества вершин Е и множества дуг, соединяющих некоторые упорядоченные пары вершин, взятых из Е. Будем предполагать, что она является симметрическим графом, т. е. если дуга () входит в сеть, то в нее входит и симметричная дуга (), хотя реально такой дуги может и не быть. Для определенности присвоим вершинам сети следующие номера: . Каждая вершина характеризуется интенсивностью . Вершины, для которых , назовем источниками, вершины, для которых , - стоками, а остальные - промежуточными. По путям сети направляются некоторые потоки - однородное вещество (газ, жидкость) или транспорт - из источников в стоки. Каждой дуге () сети поставлено в соответствие число , называемое пропускной способностью дуги. Под пропускной способностью дуги понимается максимальный поток, который она может пропустить за единицу времени. Пусть , и для остальных вершин, тогда - единственный источник, - единственный сток, а - промежуточные вершины сети.
Ставится задача определить для заданной сети максимальную величину потока из источника в сток . Под потоком в сети из источника в сток будем понимать совокупность потоков {} по всем дугам сети, где - поток по дуге (), 
, равный количеству перемещаемой по ней субстанции в единицу времени. Математически задача о максимальном потоке формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения для всех , максимизирующие
(3.9)
при ограничениях:
(3.11)
Условие (3.9) отражает величину максимального потока, который равен количеству вещества, вытекающего из источника, или притекающего в сток. Условия (3.10) означают, что поток по каждой дуге должен быть неотрицательным и не превышать ее пропускной способности; из условия (3.11) следует, что количество вещества, притекающего в любую промежуточную вершину, равно количеству вещества, вытекающего из нее.
До сих пор мы рассматривали сети с единственным источником и стоком. На практике, однако, число источников и стоков может быть произвольным. Покажем, что с помощью незначительных изменений топологии задачи такого типа могут быть сведены к уже рассмотренным.
Проиллюстрируем это на примере.
Рассмотрим сеть, состоящую из трех источников и двух стоков (Рис. 3.10). Пусть, для определенности, данная сеть описывает следующую задачу.
Места добычи нефти расположены в географических пунктах . Из мест добычи нефть транспортируется на нефтеперерабатывающие заводы через некоторые промежуточные пункты . Совокупность пунктов с соединяющими их транспортными магистралями изобразим в виде сети на Рис. 3.10, дуги соответствуют транспортным магистралям, а вершины - отдельным пунктам (местам добычи, заводам, станциям перекачки или железнодорожным станциям). Пропускные способности транспортных магистралей приписаны дугам сети. Чтобы определить, какое максимальное количество нефти можно транспортировать из мест добычи на нефтеперерабатывающие заводы, необходимо расширить сеть, добавив один фиктивный источник и один фиктивный сток (фиктивные дуги на рисунке нанесены штриховыми линиями).
Очевидно, что величину потока как в исходной сети, так и в расширенной сети определяют пропускные способности дуг исходной сети. Таким образом, задача о максимальном потоке из множества источников во множество стоков равносильна задаче о максимальном потоке из единственного источника в единственный сток.
Рис. 3.10. Введение фиктивного источника и стока
Пример 3.
Приведем пример решения задачи о максимальном потоке в Excel. Рассмотрим некоторую транспортную сеть (Рис. 3.11.). Предположим также, что транспортные потоки могут идти в обоих направлениях некоторых дуг (очевидно, данный случай является более общим и сложным для решения, чем случай односторонних транспортных потоков). На рисунке обозначены максимальные пропускные способности в обоих направлениях: например из пункта 3 в пункт 6 может быть транспортирован поток интенсивностью 4 единицы, и такой же поток – из пункта 6 в пункт 3 (нули у окончаний некоторых дуг означают невозможность транспортировки в соответствующем направлении). Требуется определить максимальную пропускную способность сети в целом, т.е. максимальное значение потока .
Рис. 3.11. Сетевой график примера 3.
Решение.
Так как предполагается, что для каждого промежуточного узла сети полный входящий поток должен быть равен полному выходящему потоку, то задача может быть сформулирована следующим образом:
Максимизировать при ограничениях:
Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 3.12.
Рис. 3.12. Данные для решения задачи о максимальном потоке
Диапазон ячеек A6:Q6 отведем под расчетные значения переменных. В ячейки A8:A14, а также в целевую ячейку F13 введем следующие формулы
| C6+D6+I6-E6-H6-J6 |
|
| G6+N6+H6+K6-L6-I6-M6-P6 |
|
| F13 (целевая) |
После запуска Поиска решения введем следующие ограничения:
В окне диалога Поиска решения в для диапазона изменяемых ячеек укажем A6:Q6.
В результате решения получим ответ: ; потоки в дугах представлены ниже
| Пункты (узлы) | Пункты (узлы) | ||
Следует отметить, что данная задача имеет неединственное оптимальное решение, то есть при максимальном потоке в 17 единиц может иметь место различное распределение потоков по дугам.
Загрузка...