Метод наименьших квадратов простыми словами. Линейная регрессия
Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS ) -- математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функцией. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.
Сущность метода наименьших квадратов
Пусть -- набор неизвестных переменных (параметров), -- совокупность функций от этого набора переменных. Задача заключается в подборе таких значений x, чтобы значения этих функций были максимально близки к некоторым значениям. По существу речь идет о «решении» переопределенной системы уравнений в указанном смысле максимальной близости левой и правой частей системы. Сущность МНК заключается в выборе в качестве «меры близости» суммы квадратов отклонений левых и правых частей -- . Таким образом, сущность МНК может быть выражена следующим образом:
В случае, если система уравнений имеет решение, то минимум суммы квадратов будет равен нулю и могут быть найдены точные решения системы уравнений аналитически или, например, различными численными методами оптимизации. Если система переопределена, то есть, говоря нестрого, количество независимых уравнений больше количества искомых переменных, то система не имеет точного решения и метод наименьших квадратов позволяет найти некоторый «оптимальный» вектор в смысле максимальной близости векторов и или максимальной близости вектора отклонений к нулю (близость понимается в смысле евклидова расстояния).
Пример -- система линейных уравнений
В частности, метод наименьших квадратов может использоваться для «решения» системы линейных уравнений
где матрица не квадратная, а прямоугольная размера (точнее ранг матрицы A больше количества искомых переменных).
Такая система уравнений, в общем случае не имеет решения. Поэтому эту систему можно «решить» только в смысле выбора такого вектора, чтобы минимизировать «расстояние» между векторами и. Для этого можно применить критерий минимизации суммы квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, то есть. Нетрудно показать, что решение этой задачи минимизации приводит к решению следующей системы уравнений
Используя оператор псевдоинверсии, решение можно переписать так:
где -- псевдообратная матрица для.
Данную задачу также можно «решить» используя так называемый взвешенный МНК (см. ниже), когда разные уравнения системы получают разный вес из теоретических соображений.
Строгое обоснование и установление границ содержательной применимости метода даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым.
МНК в регрессионном анализе (аппроксимация данных)[править | править вики-текст] Пусть имеется значений некоторой переменной (это могут быть результаты наблюдений, экспериментов и т. д.) и соответствующих переменных. Задача заключается в том, чтобы взаимосвязь между и аппроксимировать некоторой функцией, известной с точностью до некоторых неизвестных параметров, то есть фактически найти наилучшие значения параметров, максимально приближающие значения к фактическим значениям. Фактически это сводится к случаю «решения» переопределенной системы уравнений относительно:
В регрессионном анализе и в частности в эконометрике используются вероятностные модели зависимости между переменными
где -- так называемые случайные ошибки модели.
Соответственно, отклонения наблюдаемых значений от модельных предполагается уже в самой модели. Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры, при которых сумма квадратов отклонений (ошибок, для регрессионных моделей их часто называют остатками регрессии) будет минимальной:
где -- англ. Residual Sum of Squares определяется как:
В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК (NLS или NLLS -- англ. Non-Linear Least Squares). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции, продифференцировав её по неизвестным параметрам, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений:
МНК в случае линейной регрессии[править | править вики-текст]
Пусть регрессионная зависимость является линейной:
Пусть y -- вектор-столбец наблюдений объясняемой переменной, а -- это -матрица наблюдений факторов (строки матрицы -- векторы значений факторов в данном наблюдении, по столбцам -- вектор значений данного фактора во всех наблюдениях). Матричное представление линейной модели имеет вид:
Тогда вектор оценок объясняемой переменной и вектор остатков регрессии будут равны
соответственно сумма квадратов остатков регрессии будет равна
Дифференцируя эту функцию по вектору параметров и приравняв производные к нулю, получим систему уравнений (в матричной форме):
В расшифрованной матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:
где все суммы берутся по всем допустимым значениям.
Если в модель включена константа (как обычно), то при всех, поэтому в левом верхнем углу матрицы системы уравнений находится количество наблюдений, а в остальных элементах первой строки и первого столбца -- просто суммы значений переменных: и первый элемент правой части системы -- .
Решение этой системы уравнений и дает общую формулу МНК-оценок для линейной модели:
Для аналитических целей оказывается полезным последнее представление этой формулы (в системе уравнений при делении на n, вместо сумм фигурируют средние арифметические). Если в регрессионной модели данные центрированы, то в этом представлении первая матрица имеет смысл выборочной ковариационной матрицы факторов, а вторая -- вектор ковариаций факторов с зависимой переменной. Если кроме того данные ещё инормированы на СКО (то есть в конечном итоге стандартизированы), то первая матрица имеет смысл выборочной корреляционной матрицы факторов, второй вектор -- вектора выборочных корреляций факторов с зависимой переменной.
Немаловажное свойство МНК-оценок для моделей с константой -- линия построенной регрессии проходит через центр тяжести выборочных данных, то есть выполняется равенство:
В частности, в крайнем случае, когда единственным регрессором является константа, получаем, что МНК-оценка единственного параметра (собственно константы) равна среднему значению объясняемой переменной. То есть среднее арифметическое, известное своими хорошими свойствами из законов больших чисел, также является МНК-оценкой -- удовлетворяет критерию минимума суммы квадратов отклонений от неё.
Простейшие частные случаи[править | править вики-текст]
В случае парной линейной регрессии, когда оценивается линейная зависимость одной переменной от другой, формулы расчета упрощаются (можно обойтись без матричной алгебры). Система уравнений имеет вид:
Отсюда несложно найти оценки коэффициентов:
Несмотря на то что в общем случае модели с константой предпочтительней, в некоторых случаях из теоретических соображений известно, что константа должна быть равна нулю. Например, в физике зависимость между напряжением и силой тока имеет вид; замеряя напряжение и силу тока, необходимо оценить сопротивление. В таком случае речь идёт о модели. В этом случае вместо системы уравнений имеем единственное уравнение
Следовательно, формула оценки единственного коэффициента имеет вид
Статистические свойства МНК-оценок[править | править вики-текст]
В первую очередь, отметим, что для линейных моделей МНК-оценки являются линейными оценками, как это следует из вышеприведённой формулы. Длянесмещенности МНК-оценок необходимо и достаточно выполнения важнейшего условия регрессионного анализа: условное по факторам математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю. Данное условие, в частности, выполнено, если математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, и факторы и случайные ошибки -- независимые случайные величины.
Первое условие можно считать выполненным всегда для моделей с константой, так как константа берёт на себя ненулевое математическое ожидание ошибок (поэтому модели с константой в общем случае предпочтительнее). наименьший квадрат регрессионный ковариационный
Второе условие -- условие экзогенности факторов -- принципиальное. Если это свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными: они не будут даже состоятельными (то есть даже очень большой объём данных не позволяет получить качественные оценки в этом случае). В классическом случае делается более сильное предположение о детерминированности факторов, в отличие от случайной ошибки, что автоматически означает выполнение условия экзогенности. В общем случае для состоятельности оценок достаточно выполнения условия экзогенности вместе со сходимостью матрицы к некоторой невырожденной матрице при увеличении объёма выборки до бесконечности.
Для того, чтобы кроме состоятельности и несмещенности, оценки (обычного) МНК были ещё и эффективными (наилучшими в классе линейных несмещенных оценок) необходимо выполнение дополнительных свойств случайной ошибки:
Постоянная (одинаковая) дисперсия случайных ошибок во всех наблюдениях (отсутствие гетероскедастичности):
Отсутствие корреляции (автокорреляции) случайных ошибок в разных наблюдениях между собой
Данные предположения можно сформулировать для ковариационной матрицы вектора случайных ошибок
Линейная модель, удовлетворяющая таким условиям, называется классической. МНК-оценки для классической линейной регрессии являютсянесмещёнными, состоятельными и наиболее эффективными оценками в классе всех линейных несмещённых оценок (в англоязычной литературе иногда употребляют аббревиатуру BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) -- наилучшая линейная несмещённая оценка; в отечественной литературе чаще приводится теорема Гаусса -- Маркова). Как нетрудно показать, ковариационная матрица вектора оценок коэффициентов будет равна:
Эффективность означает, что эта ковариационная матрица является «минимальной» (любая линейная комбинация коэффициентов, и в частности сами коэффициенты, имеют минимальную дисперсию), то есть в классе линейных несмещенных оценок оценки МНК-наилучшие. Диагональные элементы этой матрицы -- дисперсии оценок коэффициентов -- важные параметры качества полученных оценок. Однако рассчитать ковариационную матрицу невозможно, поскольку дисперсия случайных ошибок неизвестна. Можно доказать, что несмещённой и состоятельной (для классической линейной модели) оценкой дисперсии случайных ошибок является величина:
Подставив данное значение в формулу для ковариационной матрицы и получим оценку ковариационной матрицы. Полученные оценки также являютсянесмещёнными и состоятельными. Важно также то, что оценка дисперсии ошибок (а значит и дисперсий коэффициентов) и оценки параметров модели являются независимыми случайными величинами, что позволяет получить тестовые статистики для проверки гипотез о коэффициентах модели.
Необходимо отметить, что если классические предположения не выполнены, МНК-оценки параметров не являются наиболее эффективными оценками (оставаясь несмещёнными и состоятельными). Однако, ещё более ухудшается оценка ковариационной матрицы -- она становится смещённой инесостоятельной. Это означает, что статистические выводы о качестве построенной модели в таком случае могут быть крайне недостоверными. Одним из вариантов решения последней проблемы является применение специальных оценок ковариационной матрицы, которые являются состоятельными при нарушениях классических предположений (стандартные ошибки в форме Уайта и стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста). Другой подход заключается в применении так называемого обобщённого МНК.
Обобщенный МНК[править | править вики-текст]
Основная статья: Обобщенный метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов допускает широкое обобщение. Вместо минимизации суммы квадратов остатков можно минимизировать некоторую положительно определенную квадратичную форму от вектора остатков, где -- некоторая симметрическая положительно определенная весовая матрица. Обычный МНК является частным случаем данного подхода, когда весовая матрица пропорциональна единичной матрице. Как известно из теории симметрических матриц (или операторов) для таких матриц существует разложение. Следовательно, указанный функционал можно представить следующим образом
то есть этот функционал можно представить как сумму квадратов некоторых преобразованных «остатков». Таким образом, можно выделить класс методов наименьших квадратов -- LS-методы (Least Squares).
Доказано (теорема Айткена), что для обобщенной линейной регрессионной модели (в которой на ковариационную матрицу случайных ошибок не налагается никаких ограничений) наиболее эффективными (в классе линейных несмещенных оценок) являются оценки т. н. обобщенного МНК (ОМНК, GLS -- Generalized Least Squares) -- LS-метода с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице случайных ошибок: .
Можно показать, что формула ОМНК-оценок параметров линейной модели имеет вид
Ковариационная матрица этих оценок соответственно будет равна
Фактически сущность ОМНК заключается в определенном (линейном) преобразовании (P) исходных данных и применении обычного МНК к преобразованным данным. Цель этого преобразования -- для преобразованных данных случайные ошибки уже удовлетворяют классическим предположениям.
Взвешенный МНК[править | править вики-текст]
В случае диагональной весовой матрицы (а значит и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК (WLS -- Weighted Least Squares). В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении:
Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК.
Сущность метода наименьших квадратов заключается в отыскании параметров модели тренда, которая лучше всего описывает тенденцию развития какого-либо случайного явления во времени или в пространстве (тренд – это линия, которая и характеризует тенденцию этого развития). Задача метода наименьших квадратов (МНК) сводится к нахождению не просто какой-то модели тренда, а к нахождению лучшей или оптимальной модели. Эта модель будет оптимальной, если сумма квадратических отклонений между наблюдаемыми фактическими величинами и соответствующими им расчетными величинами тренда будет минимальной (наименьшей):
где - квадратичное отклонение между наблюдаемой фактической величиной
и соответствующей ей расчетной величиной тренда,
Фактическое (наблюдаемое) значение изучаемого явления,
Расчетное значение модели тренда,
Число наблюдений за изучаемым явлением.
МНК самостоятельно применяется довольно редко. Как правило, чаще всего его используют лишь в качестве необходимого технического приема при корреляционных исследованиях. Следует помнить, что информационной основой МНК может быть только достоверный статистический ряд, причем число наблюдений не должно быть меньше 4-х, иначе, сглаживающие процедуры МНК могут потерять здравый смысл.
Инструментарий МНК сводится к следующим процедурам:
Первая процедура. Выясняется, существует ли вообще какая-либо тенденция изменения результативного признака при изменении выбранного фактора-аргумента, или другими словами, есть ли связь между «у » и «х ».
Вторая процедура. Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать эту тенденцию.
Третья процедура.
Пример . Допустим, мы имеем информацию о средней урожайности подсолнечника по исследуемому хозяйству (табл. 9.1).
Таблица 9.1
|
Номер наблюдения |
||||||||||
|
Урожайность, ц/га |
Поскольку уровень технологии при производстве подсолнечника в нашей стране за последние 10 лет практически не изменился, значит, по всей видимости, колебания урожайности в анализируемый период очень сильно зависели от колебания погодно-климатических условий. Действительно ли это так?
Первая процедура МНК. Проверяется гипотеза о существовании тенденции изменения урожайности подсолнечника в зависимости от изменения погодно-климатических условий за анализируемые 10 лет.
В данном примере за «y » целесообразно принять урожайность подсолнечника, а за «x » – номер наблюдаемого года в анализируемом периоде. Проверку гипотезы о существовании какой-либо взаимосвязи между «x » и «y » можно выполнить двумя способами: вручную и при помощи компьютерных программ. Конечно, при наличии компьютерной техники данная проблема решается сама собой. Но, чтобы лучше понять инструментарий МНК целесообразно выполнить проверку гипотезы о существовании связи между «x » и «y » вручную, когда под рукой находятся только ручка и обыкновенный калькулятор. В таких случаях гипотезу о существовании тенденции лучше всего проверить визуальным способом по расположению графического изображения анализируемого ряда динамики - корреляционного поля:
Корреляционное поле в нашем примере расположено вокруг медленно возрастающей линии. Это уже само по себе говорит о существовании определенной тенденции в изменении урожайности подсолнечника. Нельзя говорить о наличии какой-либо тенденции лишь тогда, когда корреляционное поле похоже на круг, окружность, строго вертикальное или строго горизонтальное облако, или же состоит из хаотично разбросанных точек. Во всех остальных случаях следует подтвердить гипотезу о существовании взаимосвязи между «x » и «y », и продолжить исследования.
Вторая процедура МНК. Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемый период.
При наличии компьютерной техники подбор оптимального тренда происходит автоматически. При «ручной» обработке выбор оптимальной функции осуществляется, как правило, визуальным способом – по расположению корреляционного поля. То есть, по виду графика подбирается уравнение линии, которая лучше всего подходит к эмпирическому тренду (к фактической траектории).
Как известно, в природе существует огромное разнообразие функциональных зависимостей, поэтому визуальным способом проанализировать даже незначительную их часть - крайне затруднительно. К счастью, в реальной экономической практике большинство взаимосвязей достаточно точно могут быть описаны или параболой, или гиперболой, или же прямой линией. В связи с этим, при «ручном» варианте подбора лучшей функции, можно ограничиться только этими тремя моделями.
|
Гипербола: |
||
|
|
|
Парабола второго порядка: 
:
Нетрудно заметить, что в нашем примере лучше всего тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемые 10 лет характеризует прямая линия, поэтому уравнением регрессии будет уравнение прямой.
Третья процедура. Рассчитываются параметры регрессионного уравнения, характеризующего данную линию, или другими словами, определяется аналитическая формула, описывающая лучшую модель тренда.
Нахождение значений параметров уравнения регрессии, в нашем случае параметров и , является сердцевиной МНК. Данный процесс сводится к решению системы нормальных уравнений.
(9.2)
Эта система уравнений довольно легко решается методом Гаусса. Напомним, что в результате решения, в нашем примере, находятся значения параметров и . Таким образом, найденное уравнение регрессии будет иметь следующий вид: 
Которое находит самое широкое применение в различных областях науки и практической деятельности. Это может быть физика, химия, биология, экономика, социология, психология и так далее, так далее. Волею судьбы мне часто приходится иметь дело с экономикой, и поэтому сегодня я оформлю вам путёвку в удивительную страну под названием Эконометрика =) …Как это не хотите?! Там очень хорошо – нужно только решиться! …Но вот то, что вы, наверное, определённо хотите – так это научиться решать задачи методом наименьших квадратов . И особо прилежные читатели научатся решать их не только безошибочно, но ещё и ОЧЕНЬ БЫСТРО;-) Но сначала общая постановка задачи + сопутствующий пример:
Пусть в некоторой предметной области исследуются показатели , которые имеют количественное выражение. При этом есть все основания полагать, что показатель зависит от показателя . Это полагание может быть как научной гипотезой, так и основываться на элементарном здравом смысле. Оставим, однако, науку в сторонке и исследуем более аппетитные области – а именно, продовольственные магазины. Обозначим через:
– торговую площадь продовольственного магазина, кв.м.,
– годовой товарооборот продовольственного магазина, млн. руб.
Совершенно понятно, что чем больше площадь магазина, тем в большинстве случаев будет больше его товарооборот.
Предположим, что после проведения наблюдений/опытов/подсчётов/танцев с бубном в нашем распоряжении оказываются числовые данные:
С гастрономами, думаю, всё понятно: – это площадь 1-го магазина, – его годовой товарооборот, – площадь 2-го магазина, – его годовой товарооборот и т.д. Кстати, совсем не обязательно иметь доступ к секретным материалам – довольно точную оценку товарооборота можно получить средствами математической статистики
. Впрочем, не отвлекаемся, курс коммерческого шпионажа – он уже платный =)
Табличные данные также можно записать в виде точек и изобразить в привычной для нас декартовой системе .
Ответим на важный вопрос: сколько точек нужно для качественного исследования?
Чем больше, тем лучше. Минимально допустимый набор состоит из 5-6 точек. Кроме того, при небольшом количестве данных в выборку нельзя включать «аномальные» результаты. Так, например, небольшой элитный магазин может выручать на порядки больше «своих коллег», искажая тем самым общую закономерность, которую и требуется найти!
Если совсем просто – нам нужно подобрать функцию , график
которой проходит как можно ближе к точкам 
. Такую функцию называют аппроксимирующей
(аппроксимация – приближение)
или теоретической функцией
. Вообще говоря, тут сразу появляется очевидный «претендент» – многочлен высокой степени, график которого проходит через ВСЕ точки. Но этот вариант сложен, а зачастую и просто некорректен (т.к. график будет всё время «петлять» и плохо отражать главную тенденцию)
.
Таким образом, разыскиваемая функция должна быть достаточно простА и в то же время отражать зависимость адекватно. Как вы догадываетесь, один из методов нахождения таких функций и называется методом наименьших квадратов
. Сначала разберём его суть в общем виде. Пусть некоторая функция приближает экспериментальные данные :
Как оценить точность данного приближения? Вычислим и разности (отклонения) между экспериментальными и функциональными значениями (изучаем чертёж)
. Первая мысль, которая приходит в голову – это оценить, насколько великА сумма , но проблема состоит в том, что разности могут быть и отрицательны (например, 
)
и отклонения в результате такого суммирования будут взаимоуничтожаться. Поэтому в качестве оценки точности приближения напрашивается принять сумму модулей
отклонений:
или в свёрнутом виде: (вдруг кто не знает: – это значок суммы, а – вспомогательная переменная-«счётчик», которая принимает значения от 1 до )
.
Приближая экспериментальные точки различными функциями, мы будем получать разные значения , и очевидно, где эта сумма меньше – та функция и точнее.
Такой метод существует и называется он методом наименьших модулей . Однако на практике получил гораздо бОльшее распространение метод наименьших квадратов , в котором возможные отрицательные значения ликвидируются не модулем, а возведением отклонений в квадрат:
, после чего усилия направлены на подбор такой функции , чтобы сумма квадратов отклонений 
была как можно меньше. Собственно, отсюда и название метода.
И сейчас мы возвращаемся к другому важному моменту: как отмечалось выше, подбираемая функция должна быть достаточно простА – но ведь и таких функций тоже немало: линейная , гиперболическая , экспоненциальная , логарифмическая , квадратичная и т.д. И, конечно же, тут сразу бы хотелось «сократить поле деятельности». Какой класс функций выбрать для исследования? Примитивный, но эффективный приём:
– Проще всего изобразить точки 
на чертеже и проанализировать их расположение. Если они имеют тенденцию располагаться по прямой, то следует искать уравнение прямой
с оптимальными значениями и . Иными словами, задача состоит в нахождении ТАКИХ коэффициентов – чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.
Если же точки расположены, например, по гиперболе
, то заведомо понятно, что линейная функция будет давать плохое приближение. В этом случае ищем наиболее «выгодные» коэффициенты для уравнения гиперболы 
– те, которые дают минимальную сумму квадратов 
.
А теперь обратите внимание, что в обоих случаях речь идёт о функции двух переменных
, аргументами которой являются параметры разыскиваемых зависимостей
:
И по существу нам требуется решить стандартную задачу – найти минимум функции двух переменных .
Вспомним про наш пример: предположим, что «магазинные» точки имеют тенденцию располагаться по прямой линии и есть все основания полагать наличие линейной зависимости
товарооборота от торговой площади. Найдём ТАКИЕ коэффициенты «а» и «бэ», чтобы сумма квадратов отклонений 
была наименьшей. Всё как обычно – сначала частные производные 1-го порядка
. Согласно правилу линейности
дифференцировать можно прямо под значком суммы:
Если хотите использовать данную информацию для реферата или курсовика – буду очень благодарен за поставленную ссылку в списке источников, такие подробные выкладки найдёте мало где:
Составим стандартную систему:
Сокращаем каждое уравнение на «двойку» и, кроме того, «разваливаем» суммы:
Примечание
: самостоятельно проанализируйте, почему «а» и «бэ» можно вынести за значок суммы. Кстати, формально это можно проделать и с суммой
Перепишем систему в «прикладном» виде:
после чего начинает прорисовываться алгоритм решения нашей задачи:
Координаты точек мы знаем? Знаем. Суммы 
найти можем? Легко. Составляем простейшую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(«а» и «бэ»). Систему решаем, например, методом Крамера
, в результате чего получаем стационарную точку . Проверяя достаточное условие экстремума
, можно убедиться, что в данной точке функция 
достигает именно минимума
. Проверка сопряжена с дополнительными выкладками и поэтому оставим её за кадром (при необходимости недостающий кадр можно посмотреть )
. Делаем окончательный вывод:
Функция 
наилучшим образом (по крайне мере, по сравнению с любой другой линейной функцией)
приближает экспериментальные точки 
. Грубо говоря, её график проходит максимально близко к этим точкам. В традициях эконометрики
полученную аппроксимирующую функцию также называют уравнением пАрной линейной регрессии
.
Рассматриваемая задача имеет большое практическое значение. В ситуации с нашим примером, уравнение 
позволяет прогнозировать, какой товарооборот («игрек»)
будет у магазина при том или ином значении торговой площади (том или ином значении «икс»)
. Да, полученный прогноз будет лишь прогнозом, но во многих случаях он окажется достаточно точным.
Я разберу всего лишь одну задачу с «реальными» числами, поскольку никаких трудностей в ней нет – все вычисления на уровне школьной программы 7-8 класса. В 95 процентов случаев вам будет предложено отыскать как раз линейную функцию, но в самом конце статьи я покажу, что ничуть не сложнее отыскать уравнения оптимальной гиперболы, экспоненты и некоторых других функций.
По сути, осталось раздать обещанные плюшки – чтобы вы научились решать такие примеры не только безошибочно, но ещё и быстро. Внимательно изучаем стандарт:
Задача
В результате исследования взаимосвязи двух показателей, получены следующие пары чисел:
Методом наименьших квадратов найти линейную функцию, которая наилучшим образом приближает эмпирические (опытные)
данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции 
. Найти сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Выяснить, будет ли функция лучше (с точки зрения метода наименьших квадратов)
приближать экспериментальные точки.
Заметьте, что «иксовые» значения – натуральные, и это имеет характерный содержательный смысл, о котором я расскажу чуть позже; но они, разумеется, могут быть и дробными. Кроме того, в зависимости от содержания той или иной задачи как «иксовые», так и «игрековые» значения полностью или частично могут быть отрицательными. Ну а у нас дана «безликая» задача, и мы начинаем её решение :
Коэффициенты оптимальной функции найдём как решение системы:
В целях более компактной записи переменную-«счётчик» можно опустить, поскольку и так понятно, что суммирование осуществляется от 1 до .
Расчёт нужных сумм удобнее оформить в табличном виде:
Вычисления можно провести на микрокалькуляторе, но гораздо лучше использовать Эксель – и быстрее, и без ошибок; смотрим короткий видеоролик:
Таким образом, получаем следующую систему
:
Тут можно умножить второе уравнение на 3 и из 1-го уравнения почленно вычесть 2-е
. Но это везение – на практике системы чаще не подарочны, и в таких случаях спасает метод Крамера
:
, значит, система имеет единственное решение.
Выполним проверку. Понимаю, что не хочется, но зачем же пропускать ошибки там, где их можно стопроцентно не пропустить? Подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы:
Получены правые части соответствующих уравнений, значит, система решена правильно.
Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: – из всех линейных функций экспериментальные данные наилучшим образом приближает именно она.
В отличие от прямой
зависимости товарооборота магазина от его площади, найденная зависимость является обратной
(принцип «чем больше – тем меньше»)
, и этот факт сразу выявляется по отрицательному угловому коэффициенту
. Функция 
сообщает нам о том, что с увеличение некоего показателя на 1 единицу значение зависимого показателя уменьшается в среднем
на 0,65 единиц. Как говорится, чем выше цена на гречку, тем меньше её продано.
Для построения графика аппроксимирующей функции найдём два её значения:
и выполним чертёж:
Построенная прямая называется линией тренда
(а именно – линией линейного тренда, т.е. в общем случае тренд – это не обязательно прямая линия)
. Всем знакомо выражение «быть в тренде», и, думаю, что этот термин не нуждается в дополнительных комментариях.
Вычислим сумму квадратов отклонений 
между эмпирическими и теоретическими значениями. Геометрически – это сумма квадратов длин «малиновых» отрезков (два из которых настолько малы, что их даже не видно)
.
Вычисления сведём в таблицу:
Их можно опять же провести вручную, на всякий случай приведу пример для 1-й точки:
но намного эффективнее поступить уже известным образом:
Еще раз повторим: в чём смысл полученного результата?
Из всех линейных функций
у функции 
показатель является наименьшим, то есть в своём семействе это наилучшее приближение. И здесь, кстати, не случаен заключительный вопрос задачи: а вдруг предложенная экспоненциальная функция 
будет лучше приближать экспериментальные точки?
Найдем соответствующую сумму квадратов отклонений – чтобы различать, я обозначу их буквой «эпсилон». Техника точно такая же:
И снова на всякий пожарный вычисления для 1-й точки:
В Экселе пользуемся стандартной функцией EXP
(синтаксис можно посмотреть в экселевской Справке)
.
Вывод
: , значит, экспоненциальная функция приближает экспериментальные точки хуже, чем прямая 
.
Но тут следует отметить, что «хуже» – это ещё не значит
, что плохо. Сейчас построил график этой экспоненциальной функции – и он тоже проходит близко к точкам 
– да так, что без аналитического исследования и сказать трудно, какая функция точнее.
На этом решение закончено, и я возвращаюсь к вопросу о натуральных значениях аргумента. В различных исследованиях, как правило, экономических или социологических, натуральными «иксами» нумеруют месяцы, годы или иные равные временнЫе промежутки. Рассмотрим, например, такую задачу.
Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В настоящее время существует два способа определения аналитической функции:
С помощью построения интерполяционного многочлена n-степени, который проходит непосредственно через все точки заданного массива данных. В данном случае аппроксимирующая функция представляется в виде: интерполяционного многочлена в форме Лагранжа или интерполяционного многочлена в форме Ньютона.
С помощью построения аппроксимирующего многочлена n-степени, который проходит в ближайшей близости от точек из заданного массива данных. Таким образом, аппроксимирующая функция сглаживает все случайные помехи (или погрешности), которые могут возникать при выполнении эксперимента: измеряемые значения в ходе опыта зависят от случайных факторов, которые колеблются по своим собственным случайным законам (погрешности измерений или приборов, неточность или ошибки опыта). В данном случае аппроксимирующая функция определяется по методу наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.
Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов используется:
Для решения переопределенных систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных;
Для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений;
Для аппроксимации точечных значений некоторой аппроксимирующей функцией.
Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из условия минимума суммы квадратов отклонений расчетной аппроксимирующей функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:
Значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках ,
Заданный массив экспериментальных данных в узловых точках .
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
В зависимости от условий задачи аппроксимирующая функция представляет собой многочлен степени m
Степень аппроксимирующей функции не зависит от числа узловых точек, но ее размерность должна быть всегда меньше размерности (количества точек) заданного массива экспериментальных данных.
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией (линейная регрессия).
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой (квадратичная аппроксимация).
∙ В случае если степень аппроксимирующей функции m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой (кубическая аппроксимация).
В общем случае, когда требуется построить аппроксимирующий многочлен степени m для заданных табличных значений, условие минимума суммы квадратов отклонений по всем узловым точкам переписывается в следующем виде:
- неизвестные коэффициенты аппроксимирующего многочлена степени m;
Количество заданных табличных значений.
Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получим следующую систему уравнений:
Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем виде:
Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана в матричном виде:
В результате была получена система линейных уравнений размерностью m+1, которая состоит из m+1 неизвестных. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных все коэффициенты изменят свои значения, так как они полностью определяются исходными данными.
Аппроксимация исходных данных линейной зависимостью
(линейная регрессия)
В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости. В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:
Координаты узловых точек таблицы;
Неизвестные коэффициенты аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости.
Необходимым условием существования минимума функции является равенству нулю ее частных производных по неизвестным переменным. В результате получаем следующую систему уравнений:
Преобразуем полученную линейную систему уравнений.
Решаем полученную систему линейных уравнений. Коэффициенты аппроксимирующей функции в аналитическом виде определяются следующим образом (метод Крамера):
Данные коэффициенты обеспечивают построение линейной аппроксимирующей функции в соответствии с критерием минимизации суммы квадратов аппроксимирующей функции от заданных табличных значений (экспериментальные данные).
Алгоритм реализации метода наименьших квадратов
1. Начальные данные:
Задан массив экспериментальных данных с количеством измерений N
Задана степень аппроксимирующего многочлена (m)
2. Алгоритм вычисления:
2.1. Определяются коэффициенты для построения системы уравнений размерностью
Коэффициенты системы уравнений (левая часть уравнения)
- индекс номера столбца квадратной матрицы системы уравнений
Свободные члены системы линейных уравнений (правая часть уравнения)
- индекс номера строки квадратной матрицы системы уравнений
2.2. Формирование системы линейных уравнений размерностью .
2.3. Решение системы линейных уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего многочлена степени m.
2.4.Определение суммы квадратов отклонений аппроксимирующего многочлена от исходных значений по всем узловым точкам
Найденное значение суммы квадратов отклонений является минимально-возможным.
Аппроксимация с помощью других функций
Следует отметить, что при аппроксимации исходных данных в соответствии с методом наименьших квадратов в качестве аппроксимирующей функции иногда используют логарифмическую функцию, экспоненциальную функцию и степенную функцию.
Логарифмическая аппроксимация
Рассмотрим случай, когда аппроксимирующая функция задана логарифмической функцией вида:
Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:
x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;
y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .
По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. 2 была наименьшей.
На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда
y = kx или y = a + bx.
Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ 2 , то на графике строят зависимость n от λ -2 .
Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ сумму квадратов отклонений наших точек от прямой
Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум
или
(19)
Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом
, (20)
где n число измерений.
Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).
Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x i , y i найти наилучшие значения a и b.
Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек x i , y i от прямой
и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум
;
.
Совместное решение этих уравнений дает
(21)
Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны
(23)
. (24)
При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.
Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 5 .
Таблица 5
| n | M, Н · м | ε, c -1 | M 2 | M · ε | ε - kM | (ε - kM) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
По формуле (19) определяем:
.
Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)
0.005775 кг -1 · м -2 .
По формуле (18) имеем
S J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м 2 .
Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2 .
Результаты запишем в виде:
J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2 ;
Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону
R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.
Свободный член определяет сопротивление R 0 при температуре 0° C , а угловой коэффициент произведение температурного коэффициента α на сопротивление R 0 .
Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6 ).
Таблица 6
| n | t°, c | r, Ом | t-¯ t | (t-¯ t) 2 | (t-¯ t)r | r - bt - a | (r - bt - a) 2 ,10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
По формулам (21), (22) определяем
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .
Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:
.
Пользуясь формулами (23), (24) имеем
;
0.014126 Ом .
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1 .
α = (23 ± 4) · 10 -4 град
-1 при P = 0.95.
Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
где d 0 толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),
λ длина волны падающего света.
λ = (600 ± 6) нм;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
тогда уравнение примет вид y = a + bx .
.Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 7 .
Таблица 7
| n | x = m | y = r 2 , 10 -2 мм 2 | m -¯ m | (m -¯ m) 2 | (m -¯ m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2 , 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |
Загрузка...